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Sin, Cos et Cercle Trigo

Dans cet exercice, on étudie une fonction qui dépend de x et qui contient du cos et du sin. On commence par analyser les valeurs de la fonction à deux points spécifiques. Ensuite, on découvre les propriétés de la fonction et détermine si elle est impaire ou périodique. Finalement, on effectue une étude de fonctions en utilisant la dérivée. On résout une équation pour identifier les variations de la fonction et trouver ses maximums et minimums. En résumé, cet exercice est un exercice d'analyse de fonctions qui utilise des propriétés de trigonométrie et de symétrie pour déterminer les caractéristiques de la fonction.

Dans cet exercice on va étudier une fonction qui dépend de x et qui a du cos et du sin à la fois. En général dans ces exos ils sont assez sympas, ils vous filent la dérivée donc vous n'avez pas trop à vous embêter à calculer ça et ils vous font au début découvrir quelques propriétés et puis on va étudier ce qu'on peut. J'ai déjà rédigé le début. On vous met dans le bain d'abord avec f2,0 et f2,pi sur 2. f2,0 très facile, x vaut 0 donc ça ça dégage, sin0 vaut 0, ça dégage aussi. Ensuite vous avez montré que f est un paire à tapoter graphiquement. Alors moi je vous ai remis à apprendre par coeur ces deux formules cos est paire, cos de moins x est toujours égal à cos x, sinus est impair, sinus de moins x est toujours égal à moins sinus x. Donc on calcule f de moins x est égal à tout ça, on remplace avec ces deux notions et on trouve assez vite que f de moins x est bien égal à moins f de x. Qu'est ce que ça veut dire dans le concret? f est impair, cf admet o comme centre de symétrie. Donc le centre du repère o est un centre de symétrie pour la couronne. C'est à dire que c'est un peu comme ce qui se passe pour la fonction x3 qui est comme ça, ou la fonction tout bêtement y égale x qui passe aussi par o comme ça. Certaines sont symétriques par rapport au centre. Très bien. Question 3 on vous disait, f est-elle depi-parodique? Alors on sent que ça et ça ce sont des éléments depi-parodiques, il n'y a pas de problème, mais ça, ce x, va créer des problèmes. En effet pour vérifier qu'elle est depi-parodique, on sait que la propriété d'être depi-parodique se traduit comme ça mathématiquement, quelle que soit x, f de x plus 2pi égale f de x, c'est à dire que si je prends une valeur de x donnée et que je regarde 2pi plus loin, je retrouverais normalement le même niveau sur la fonction. Par exemple, le sinus va être un truc un peu comme ça, si j'ai une valeur ici, et que je regarde 2pi plus loin, je retombe ici. C'est un peu l'idée. Alors ici j'ai f de x plus 2pi égale, je remplace par 2, cos x plus 2pi je sais que c'est cos x, donc je mets juste cos x ici, et sin x ici, car celles-ci sont 2pi périodiques. Donc voilà, je remplace à chaque fois, par contre ce qui me reste, qui ne disparaît pas, c'est ça, donc je sépare ce terme là, et je me retrouve ici avec f de x, et derrière un 2pi cos x. C'est faux, on n'a pas toujours f de x plus 2pi égale f de x, parce que ça, ce n'est pas souvent égal à 0. Ce n'est pas du tout tout le temps égal à 0, donc il y a ce truc là en plus, ce n'est pas possible, c'est donc non périodique. Un peu plus complexe maintenant, la question 4. Pour la partie 4, il faut faire une étude de fonctions, ils sont sympas, ils vous donnent des dérivés parce que c'est en terminal qu'on saura bien les calculer. Première sous-étape, parce qu'en gros il faut étudier le sin de f' et ils vous le décomposent. Première sous-étape, question A, résoudre dans moins pi pi l'équation sin x positif ou nul. C'est assez simple, quand on part de moins pi, moins pi lui est nul, donc ça rentre dans le contexte de ça, donc j'ai mis x égale moins pi comme première solution. Puis quand je balade jusqu'à 0, exclu, tout ça est négatif. Et ensuite quand j'arrive là, tout ça est positif, donc j'ai bien x appartient à 0 pi qui est le reste des solutions. On vous dit en déduire les variations de la fonction f. Premier truc, je me mets sur 0 pi, pourquoi? Parce que la fonction f est impaire, donc quoi que je trouve sur 0 pi, je pourrais ensuite compléter par symétrie par rapport au point O sur moins pi 0, donc c'est plus simple de faire ça. J'écris f' x positif ou nul, c'est pas très beau ça, f' x positif ou nul, si et seulement si, je mets positif ou nul au hasard, je vais tester celui-là. Moins x sin x positif, or sin x nul, enfin c'est positif, donc je peux le dégager, positif sur 0 pi, on vient de le montrer. Donc si et seulement si, moins x positif, si et seulement si, x négatif. Donc sur 0 pi, x n'étant pas négatif, f' x est toujours négatif. Donc je mets moins ici, or je peux compléter par symétrie, donc je vais mettre un moins ici également, et je vois que la fonction est toujours décroissante. On me dit quels sont les extrémas, quels sont les minimums et maximums, et bien ça je ne vais pas trop me prendre la tête, f' x est max en moins pi, f' x est min en pi, et si vous faites le calcul avec la fonction f' à chaque fois, vous trouvez que dans un cas ça vaut pi, de l'autre, elle vaut moins pi. Pour le tracer, je ne vais pas le faire à la main, je vais vous le montrer, ça ressemble à ça, entre moins pi et pi, vous avez une fonction impair qui passe par 0, qui est maximale en moins pi, et qui est minimum en pi. Voilà, j'espère que c'était clair cet exercice, sur ce je vous dis à la prochaine, posez des questions s'il y a besoin, bye bye!

Etude de fonction trigo 1

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