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Sin, Cos et Cercle Trigo

Ce cours porte sur l'étude de la fonction f(x) = -cosine(3x)/3. Tout d'abord, la fonction parité de f est démontrée, car elle est paire pour tout x. Ensuite, il est montré que f est périodique, avec une période de 2pi. Il est recommandé d'étudier la fonction sur l'intervalle [-pi, pi] à cause de sa parité et de sa périodicité. Le signe de f'(x) est ensuite étudié et il est montré que f(x) est toujours positif ou nul sur l'intervalle [0, 2pi]. Finalement, un tableau de variation de la fonction sur [-pi, pi] est dressé en utilisant sa parité et sa périodicité. Le même tableau est étendu sur [-3pi, pi] en utilisant la même méthode.

Encore une étude de fonction avec du cosinus ou du sinus. Ici on a f2x égale moins cos3 sur 3. Ils sont sympas, comme d'hab on vous dit, f' sera donné, au début on doit faire quelques petites propriétés. Et ensuite une étude de f' avec f' déjà calculée. Donc petit 1, montrer que f est paire. Quel que soit x, soit x appartenant à R. On a f2-x égale moins 1 tiers de cos3 de 2-x. Or on sait que cosinus de moins x vaut cos x, parce que cos est paire. Donc là ça change pas grand chose, ça fait moins 1 tiers de cos3 de 2-x égale f de x. Donc par définition, f est paire. f est-elle depi périodique? Oui, on sait que cos est depi périodique, comme cos est depi périodique, ça depi p. Cos3 est depi p elle même, et f également. Vous pouvez juste écrire cos, si vous voulez, vous l'écrivez, vous mettez moins cos3 de x plus 2pi égale moins cos3 de x et donc on retrouve f. Je vais vous le mettre en français. f' interprété graphiquement, donc graphiquement on peut étudier la fonction, c'est sur quel intervalle? Sur R, oui. On peut étudier f avec la parité sur R' avec parité. Pourquoi? Parce qu'on sait avec la parité que une fonction paire admet, cf admet Oy comme axe de symétrie. Donc on pourra compléter sur R'. Comme axe de symétrie. Ensuite, on peut même, vu qu'elle est depi périodique, se limiter à un intervalle de taille 2pi. Donc en fait on pourrait se limiter à un intervalle de taille 2pi, entre moins pi et pi par exemple. Vu qu'on est entre moins pi et pi mais qu'on sait qu'elle est paire, on peut en fait se limiter à 0pi. Donc c'est moins pi pi, mais vu qu'elle est paire, je réduis, je reste sur R' et donc ça devient 0pi. On va étudier là dessus, voilà la conséquence. Et ensuite, deuxième conséquence pour le graph, interpréter graphiquement ça veut dire qu'une fois que j'aurai le motif entre 0 et pi, je le dédouble, ça me donne quelque chose entre moins pi et pi, et puis j'ai plus qu'à prendre ce motif et à le répéter à l'infini pour tracer la fonction. C'est le principe d'une fonction périodique. Donc ça c'est très bien. Question suivante, on vous dit f'x égale ça. Étudiez le signe de f'x. Donc c'est la question numéro 2. Donc on a f'x égale cette chose là. On va pouvoir dire f'x est positif ou nul si et seulement si sin x est positif ou nul. Or, vu qu'on se met sur 0pi, sin x est toujours positif ou nul. Donc f'x toujours positif ou nul. Je peux tracer mon petit tableau de variation. Je ne sais pas si c'est ça la suite de la question, mais j'imagine que oui. On va dire le sens de variation, c'est parfait. Petit b, x, entre 0 et pi, je vais mettre moins pi ici, je vais dire compléter à droite entre 0 et pi, puis je compléterai ensuite par symétrie. f'x est ici, f'x est ici. J'ai dit f'0, d'ailleurs ici, est toujours positif sur 0pi. Donc la fonction monte comme ça. Or, ensuite je peux compléter maintenant par symétrie. Symétrie par rapport à l'axe y, si elle monte comme ça à droite, ça veut dire qu'elle descendait comme ça à gauche. Je peux compléter comme ceci sans même faire l'étude. Enfin sans même faire l'étude sur moins pi 0, puisque je sais que c'est vrai par propriété géométrique de symétrie. Tracer le tableau de variation. Ah oui zut, le sens de variation sur l'intervalle 0, 2pi. Moi je l'ai fait sur moins pi pi, comme vous avez vu, on va le faire sur 0, 2pi, en fait on va le tracer sur moins pi, 3pi. Moi je l'ai fait sur moins pi pi, et bien je prends moins pi pi, et qu'est-ce que je fais? Sur 2pi plus loin, je le redécoupe et je dis que ça va être le même comportement. Donc qu'est-ce que je fais? J'allonge. J'appelle ça la fonction B, question B et C. J'allonge mon tableau, et je dis que tout ce qui s'est passé sur la période moins pi pi, c'est exactement la même chose que ce qui va se passer sur la période pi, 3pi, qui fait aussi une taille de 2pi. Donc je vais mettre 2pi ici, 3pi ici, et je vais pouvoir dire que ça redescend, et ça remonte. Et si vous voulez, c'est comme ça, il y a un 0, là il y a un 0, et un plus. Voilà ce que ça donne. Donc en gros si vous avez compris que ça c'est une période, et qu'on vous dit ensuite sur moins pi, 3pi, qu'est-ce que ça donne, vous le dédoublez et vous faites la même chose. La question que vous demandez aussi sur 0, 2pi, il se trouve que je l'ai fait en même temps. Voilà, j'espère que c'était clair. Dites-moi si vous avez des questions, sinon je vous retrouve pour une prochaine vidéo. Bye bye!

Etude de fonction trigo 2

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