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Sin, Cos et Cercle Trigo

Ce cours traite de l'étude des variations de la fonction exponentielle de cos x. On commence par montrer que f est une fonction paire et symétrique. On explique ensuite comment interpréter graphiquement f sur un intervalle de taille de pi en utilisant la périodicité de la fonction. On donne la dérivée de f et on montre que f' est négative sur l'intervalle de 0 à pi, ce qui implique que f décroît sur cet intervalle. En déduisant les extrémums de f sur l'intervalle de moins pi à pi, on trouve un maximum en 0 et des minimums en moins pi et pi. En suivant le tableau de variations de f, on peut tracer la fonction sur moins 2 pi à 3 pi, qui monte et descend périodiquement.

Une fonction où il faut étudier les variations de l'exponentielle de cos x, là on mélange encore deux chapitres, l'exponentielle et la frigo. C'est un peu comme d'hab dans les autres fonctions, on vous donne quelques petites propriétés à regarder et on vous donne ensuite f'. On vous fait étudier f' et on vous donne le calcul. C'est quasiment un exercice complet de deux fonctions sauf qu'on vous donne la dérivée parce que le programme veut que c'est plus en terminale qu'on vous donne la... qu'on vous... qu'on attend de vous de le faire. En soi c'est qu'une formule à connaître mais voilà. Montrer que f est paire, donc facile, on écrit f de moins x, donc si vous voulez pour x appartient à R si je mal ais un petit peu, soit x appartient à R, et j'essaie de montrer, enfin j'espère que f de moins x vaut f de x, cos de moins x, or je sais que cos de moins x ça vaut cos x parce que cos est paire et donc tout bêtement ça fait f de x. Parfait. Interpréter graphiquement, ça veut dire c'est f symétrique par rapport à l'axe y et un axe de symétrie vertical. Et ensuite on a f de, on peut juste dire cos, on pourrait dire une phrase en français, cos étant, depuis parodique, exponentielle de cos également mais sinon on peut faire le calcul, ça marche aussi, e de cos x égale f de x. Donc concrètement ça veut dire que la fonction elle est sur, par exemple sur un intervalle de taille de pi, de moins pi à pi par exemple, si je la trace, j'ai plus qu'à prendre ce dessin, à le calquer et à le coller pour avoir la fonction totale sur tout l'ensemble. C'est à dire, vous avez déjà vu les fonctions sinus etc j'imagine, elles ressemblent à ça, c'est à dire que je prends ce bout là, je le recopie, ça donne ce bout là, enfin je peux le recopier une infinité de fois. J'ai le motif de base, donc l'idée là graphiquement c'est, je peux étudier f sur moins pi pi, mais en fait vu qu'elle est paire, ça va pas être moins pi pi, vu qu'elle est périodique, je peux me mettre un motif de taille de pi, je vais exprès de ne pas prendre 0 de pi parce que je veux utiliser derrière le fait qu'elle est paire. Donc je mets sur moins pi pi, puis vu que c'est paire, je vais mettre juste sur 0 pi et je ferai la symétrie. Donc je mets sur 0 pi en concluant. Ça c'est la conclusion des deux. J'ai symétrie par rapport à x, j'ai f de pi périodique, ça me donne le fait que je peux étudier sur juste un intervalle de taille de pi. Donc ça c'est parfait, petit 2 on va déduire le plus petit intervalle, c'est fait. Petit 3 on vous donne la dérivée. Alors on vous dit que la dérivée c'est cette chose là, donc déjà je vois qu'elle est quasiment, ça c'est positif donc il faut juste étudier le signe, c'est plutôt simple. On vous met en plus sur moins pi pi, donc c'est parfait, c'est exactement ce que je comptais faire. Moi j'ai dit que même que c'est même pas sur moins pi pi, c'est sur 0 pi. Donc pi est exclu. Sur 0 pi, on a f' de x est égal à moins sin x exponentiel de cos x. Et donc je vais pouvoir dire f' de x, positif ou nul, si et seulement si, moins sin x, positif ou nul. Parce que je sais que ça c'est positif ou nul donc je peux le simplifier. Or sur 0 pi, sin x est positif ou nul, donc moins sin x n'arrive pas. Donc ça veut dire que j'en conclue que sur 0 pi, f' est toujours négative. Sur 0 pi je sais que c'est le contraire et donc j'en déduis que f' sur 0 pi, f' est donc négative. Et donc j'ai f' de x qui va être négative, ça veut dire f qui va décroître. Et qu'est-ce que je fais pour compléter mon dessin? Donc ça c'est f f' de x f, je le dis par symétrie qu'elle est donc croissante de moins pi à 0. Si j'ai compris qu'elle décroissait de 0 à pi, par symétrie, par rapport à l'axe Y, parce que la fonction est paire, je peux dire qu'entre moins pi et 0 elle croît. Voilà mon tableau d'avancement, alors pas du tout mon tableau d'avancement, pardon, mon tableau de variation. C'était de la chimie que j'avais en tête. Montrer qu'elle est croissante sur moins pi à 0 ou décroissante sur 0 pi, c'est fait. En déduisant les extrémales sur, alors ça c'est une faute de frappe, i, i c'est l'intervalle j'imagine, moins pi à pi. Parfait, extrémum, on a un max en 0 avec f de 0 égal, alors je ne sais pas trop combien ça vaut, e de cos 0, e de 1, e, et en moins pi, et en pi, f de moins pi égale e de cos moins pi, égale, ben cos moins pi c'est moins 1, donc ça fait 1 sur e, ça fait e puissance moins 1, ça fait 1 sur e, f de pi c'est la même chose, c'est e puissance moins 1 égale 1 sur e. Donc on a un minimum en moins pi et en pi. A la fin on vous dit, tracer cf sur moins 2 pi, 3 pi, si on a compris qu'entre moins pi et pi ça donne ça, jusqu'à 3 pi j'ai qu'à recopier tout le tableau. Donc en gros je peux prendre tout ce tableau, le recopier ici et dire là j'ai 2 pi, 3 pi, donc elle monte et elle descend. Et si on va aller jusqu'à moins 2 pi j'ai compris que c'était ça qu'il y avait, donc il y a un truc qui descend, monte, descend, monte, descend. Je vais juste vous montrer le dessin, ça va être plus facile, comme ça on s'arrêtera là. Voilà, donc on a une fonction périodique comme ça, entre moins pi, moins 2 pi, 3 pi, vous voyez ce que ça donne, c'est un truc qui monte, qui descend, qui monte, qui descend, à l'infini. J'espère que c'était clair et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Posez des questions si besoin bien sûr. A toute!

Etude de fonction trigo 3

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