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Sin, Cos et Cercle Trigo

Ce cours traite de la résolution d'équations trigonométriques plus complexes que celles habituellement enseignées. Il met l'accent sur la résolution dans un intervalle spécifique et présente un théorème qui permet de trouver deux solutions possibles à une équation comportant le sinus d'un angle connu. L'exemple donné montre comment trouver quatre solutions possibles pour une telle équation dans l'intervalle entre moins 2 pi et 2 pi. La méthode consiste à tester différentes valeurs de k pour déterminer les solutions valables dans l'intervalle donné.

Quelques équations trigonométriques qui vont plus loin que les équations très simples qu'on peut déjà avoir vu et on va pousser un peu dans la résolution. Celle-ci sera un petit peu hors programme, sera plus vue en terminal mais surtout ce qui va compter c'est la notion de résoudre dans R puis dans un certain intervalle. C'est un détail qui va être un classique d'exercice quand même mais j'ai envie de passer un peu de temps dessus. Donc cos2x est le cos 8pi sur 2. Premier truc à faire, 8pi sur 2 en fait c'est 4pi donc il faut tout de suite le simplifier, 4pi c'est 0 donc ça fait 1. Donc quand est-ce que cos vaut 1? On regarde le cos c'est l'axe horizontal, on sait que c'est au point 0 que ça vaut 1. Cos de 0 vaut 1, donc cos de 2pi vaut 1, 4pi, 2npi, moins 2pi, moins 4pi, tout ça. Donc on peut dire que 2x doit être égal à 2npi pour tout n dans z. Super, donc x doit être égal à npi pour tout n dans z. Voilà ma solution dans le grand R. S, l'ensemble solution pour tous les réels qu'on peut imaginer, c'est l'ensemble des npi. Ensuite on vous dit dans pi, 5pi, donc je réduis à tout ce qui se passe entre pi et 5pi uniquement plutôt que dans tout R. Qu'est-ce qu'il vaut npi là-dedans? C'est soit pi lui-même, puis 2pi, 3pi, 4pi, 5pi. Très simple, très efficace. Une version un peu plus avancée, qui demande en fait un théorème qui est limite première, ça dépend des profs. Certains profs le voient mais bon je vous le mets quand même ici. C'est ce théorème là. Donc ça c'est clair qu'on le voit en terminale, ensuite plutôt au lycée, c'est pas toujours le cas donc je vous le mets. Sinus x égale sinus A, avec A connu. S'il y a seulement ci deux choses, soit x vaut A, A de capi près, donc le plus de capi est juste là pour dire quel que soit le nombre de tours. Soit x vaut pi moins A. Et pourquoi ça c'est vrai? Parce qu'en fait quand vous avez le cercle trigo et que vous avez cette valeur là d'un sinus, par exemple ça c'est sinus de A, vous voyez qu'il y a deux manières de l'atteindre. Soit ici, soit ici. Ici c'est pi moins A, et ici c'est A. Donc en gros l'idée c'est que vous avez soit x égale A, soit x égale pi moins A. C'est un peu l'idée que quand on fixe un niveau de sinus vous avez deux solutions possibles. Et donc ici, si sinus x moins 2 pi sur 3 vaut sinus pi sur 5, ça veut dire quoi? Soit x moins 2 pi sur 3, donc ce qui est ici, vaut A, donc pi sur 5, A de capi près. Soit ça vaut pi moins pi sur 5, donc 4 pi sur 5, A de capi près. Ensuite tout ce qu'il y a à faire c'est simplifier, donc on met ensemble, on met pi sur 15, j'ai pi sur 3, pi sur 5, donc je mets tout en 15e. Il me semble, si je ne me trompe pas, que ça fait 13 pi sur 15 ici, et là ça devient 22 pi sur 15. Donc là j'ai ma solution sur R. Sur R c'est l'ensemble des 13 pi sur 15 à 2 capi près, et union, l'ensemble des 22 pi sur 15 à 2 capi près. Très bien. La difficulté c'est qu'on va vous dire, mais quels sont ceux qui sont inclus dans moins 2 pi, 2 pi uniquement? On va chercher. Là il y a toute une méthode pour dire quels sont ceux dans moins 2 pi, 2 pi. Déjà je vais écrire moins 2 pi, 2 pi en 15e, exprès, donc ça fait entre moins 30 pi sur 15 et 30 pi sur 15. Je vais regarder parmi les familles ici et ici, ces deux familles de solutions, quelles sont celles qui sont bien comprises entre moins 2 pi et 2 pi. Donc si je prends la première famille, 13 pi sur 15 plus 2 capi, qu'est-ce que je fais? La méthode, et ça c'est vraiment important parce que même si il y avait cette résolution qui est un peu hors programme, c'est assez important de savoir faire ce truc-là, on tente, on teste des valeurs de k. On essaye déjà k égale 0. Donc k vaut 0, j'ai juste ça, 13 pi sur 15. 13 pi sur 15 c'est bien compris entre moins 30 et plus 30 pi sur 15. Quand k égale moins 1, je prends 13 pi sur 15, j'enlève moins 2 pi. Je prends k égale moins 1, ça fait moins 2 pi, je prends moins 30 pi sur 15, ça fait moins 17 pi sur 15, ce qui est bien compris là-dedans. Donc c'est ok. Quand je prends k égale 1, je fais 2 pi plus 13 pi sur 15, je suis au-delà de 2 pi par définition. Donc c'est mort, pas besoin de le calculer, je sais que ce n'est pas possible. Ensuite, 22 pi sur 15, je fais le même travail. Alors vous pourriez me dire, qu'en est-il de k égale 2 et k égale 3? C'est au-dessus de 2 pi dans tous les cas, donc c'est fini. Pour k égale moins 2 et moins 3, je n'ai pas été complet. Si k égale moins 1 c'est ça, pour k égale moins 2, je dois prendre ce nombre-là, qui est genre moins 17 pi sur 15, je ne sais pas trop où c'est, c'est vers ici si vous voulez. Et je dois faire, en gros, oui c'est ça, j'ai 13 pi sur 15, moins 17 pi sur 15, je dois refaire un tour, moins 2 pi. Mais si je fais moins 2 pi encore plus, je suis encore plus loin que moins 2 pi par définition. Si je prends moins 17 pi sur 15 et je lui fais moins 2 pi, c'est sûr que je finis ici. Donc c'est exclu pour k égale moins 2 et les autres. De la même manière exactement, je retiens k égale 0 pour cette famille-là. Quand k égale moins 1, j'enlève moins 2 pi et ça me donne quelque chose qui est toujours entre moins 30 et 30, donc c'est bon. Si je fais k égale moins 2 et plus, je vais encore me retrouver trop loin ici, donc ce n'est pas possible. Et pour k égale 1, c'est la même chose, même argument qu'au-dessus. Donc je me retrouve au final avec 4 solutions. La solution ici, la solution ici, celle-ci et celle-ci. Donc je peux dire S sur moins 2 pi, 2 pi, C, C cadré, L. Donc voilà, c'est un peu laborieux, ce n'est pas complexe spécialement théoriquement, c'est un peu laborieux. C'est plus simple de trouver dans R l'ensemble des solutions en soi. Après il faut un peu aller les chercher une par une et surtout faire en sorte de ne pas en oublier. Mais c'est gérable. J'espère que c'était clair et je vous dis à la prochaine. Bye bye.

Equations trigos : ensembles de résolution

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