Home

Première

Maths

Analyse

Sin, Cos et Cercle Trigo

Une fonction périodique se caractérise par la répétition d'un motif de taille fixe appelé la période. Mathématiquement, cela signifie que pour tout nombre de périodes ajoutées, la valeur de la fonction reste la même. Pour vérifier qu'une fonction est périodique, il suffit de vérifier que f(x+T) = f(x) pour une période T donnée. Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π, ce qui permet de résoudre certains exemples en trouvant une période commune.

une petite méthode, un petit point de cours sur ce que c'est une fonction périodique. C'est très important de le comprendre. Physiquement, enfin visuellement, une fonction périodique ça se repère tout de suite parce que c'est une fonction qui est tracée comme la répétition d'un motif. Par exemple si je fais un truc comme ça, hop, et ensuite je vois que ça reprend ainsi, à l'infini, je n'ai pas très bien fait, mais vous avez compris l'idée, là je peux me dire, ça je sens que c'est une fonction périodique. Parce que c'est le même motif d'une certaine taille, cette taille de motif on va l'appeler la période, un même motif d'une certaine taille, grand T, qui est répété plein de fois. Donc là la période ça serait grand T ici. Et ensuite je reprends ce motif et je le recopie plein de fois. Mathématiquement, dire que c'est la même chose, enfin dire qu'une fonction est périodique c'est dire que f de x plus T y a la f de x quel que soit le nombre de T qu'on rajoute. Pourquoi? Si je prends un point au pif ici, hop, là j'ai une valeur de f de ce x là, ça c'est x. Si je prends x plus T, où est-ce que j'arrive? Je me décale de T, j'arrive ici, ça c'est x plus T. Si je me redécale de T, j'arrive ici, ça c'est x plus 2T. La fonction est périodique si à chaque fois j'ai bien la même valeur, f de x égale la valeur de f de x plus T, en effet, et f de x plus 2T, c'est-à-dire qu'en fait je retrouve le même point, la même hauteur de point quand je me décale de T. Et ça marche pour tous les points, parce que si je prends celui-ci, je redécale de T, je trouve la même hauteur, la même hauteur. C'est une manière de traduire mathématiquement le fait que le motif se répète. Voilà pourquoi dire le motif se répète correspond mathématiquement à cette propriété-là f de x plus T égal f de x. On va vérifier si f de x plus T égal f de x pour chacun des exemples au-dessus. Petit A, on vous dit f de x égale cosinus de pi x avec grand T égal 1. Donc on fait f de x plus 1 et on espère retomber sur f de x. Donc c'est cos de pi, en parenthèse, x plus 1. Ça c'est cos de pi x plus 2 pi. Or cosinus est périodique de 2 pi, donc ça, ça fait juste cos de pi x. Et cos de pi, ça tombe bien, c'est f de x. Et donc j'ai bien montré que pour toutes x, f de x plus 1 égal f de x. Donc c'est bon, la fonction est périodique de période 1. Je vais en refaire un deuxième. Petit B, je vais vous laisser faire les deux autres. Je vais faire le petit C qui est un peu moche, et je vais vous laisser faire le BLD pour vous entraîner. Donc petit C, 2 tiers 2. On va le regarder, je vais le recopier parce que sinon je vais galérer. On va faire le petit C ensemble qui est un peu moche, mais je vous laisserai faire le BLD qui vous permettra de vous entraîner. Donc petit C, c'est ça. Donc calcul, f de x plus ce qu'on me donne, 2 pi sur 7, égale. Alors c'est 2 tiers, pourquoi pas, le 2 tiers ne me pose pas de problème de toute façon. 7 fois x plus 2 pi sur 7, vous voyez l'idée déjà, on voit déjà que 7 fois, comme par hasard, 2 pi sur 7, ça va laisser un 2 pi, ça va fonctionner. Plus pi sur 4, égale 2 tiers 2, cause 7x plus pi sur 4 que je mets ensemble, et je vais sortir ce truc là, 2 pi sur 7 fois 7, plus 2 pi sur 7 fois 7, ça fait 2 pi. Et ce terme est donc fini ici. En gros on s'arrange pour trouver la période, on s'arrange souvent pour voir 7 fois x plus combien égale 2 pi. On s'arrange pour avoir un 2 pi en plus dans le cause ou dans le signe, pour que ça puisse dégager, et qu'on puisse en sortir. Il ne faut pas être surpris que ça fonctionne, c'est fait exprès. Donc ça, ça fait 7x plus pi sur 4, parce que cause, lui, est de période 2 pi. En fait, pour ces exos là, souvent on se base sur la connaissance unique de sinus et cosinus sont périodiques 2 pi. Donc on fait apparaître une période qu'on connaît, celle de base, de sinus et cause, et ça nous permet de résoudre l'exercice. Donc là ça fait bien f2x, donc ça marche. On a bien une fonction qui, quel que soit x, f2x plus 2 pi sur 7, égale f2x, qui vient donc de période 2 pi sur 7. Je vous laisse faire les deux autres exemples, voilà l'idée générale d'une fonction périodique. J'espère que c'était clair, et je vous dis à la prochaine. Bye bye.

Point 3 : les fonctions périodiques

RELATED

Recommended videos

Calcul d'expressions 1

Calcul d'expressions 2

Points sur le cercle trigo