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Sin, Cos et Cercle Trigo

Ce cours aborde les exercices de mathématiques qui impliquent des sommes de sinus et de cosinus. En utilisant un cercle trigo, les valeurs des angles sont placées et les valeurs des sinus et cosinus associées peuvent être extraites rapidement. Dans l'un des exemples, les valeurs s'annulent et il ne reste que 0. Pour résoudre certains problèmes, il est important de connaître les valeurs clés de sinus et de cosinus, comme celles pour π sur 6, π sur 4, π sur 3, π sur 2, et 0. Les angles sont également présentés comme demi-racines successives dans l'ordre de leur valeur croissante. En utilisant ces connaissances sur les valeurs clés et le cercle trigo, le cours montre comment résoudre efficacement l'exercice.

Un exercice intéressant parce qu'il nous fait calculer différentes expressions où on a des sommes de sinus et de cosinus. Ce qui peut être bien, et c'est souvent le cas dans ces exos, soit on peut se lancer comme si on connaissait toutes les valeurs, soit on peut essayer de faire un cercle. Le cercle trigo, pour savoir le faire rapidement et le lire, peut nous faire gagner beaucoup de temps. Donc je vais faire rapidement un cercle trigonometrique. Donc encore une fois, rappel, tout de suite, on ne se trompe pas. On sait qu'ici on va lire les valeurs de cos, ici on va lire les valeurs de sin, et ensuite ici j'ai un sac de rayon 1, j'ai l'angle 0, j'ai l'angle π sur 2, l'angle π, l'angle 3π sur 2, l'angle 2π si vous voulez, que je n'écris pas, au niveau de 0. Alors, on parle ici de cosinus de 0, π sur 4, π sur 2, 3π sur 4, π. Donc j'ai envie de placer tous les angles avant toute chose. Donc pour l'instant c'est la question A. Alors je vais rapidement copier-coller ce cercle, parce que je vais le réutiliser dans les questions B et C. Je vais dupliquer tout ça, et je le ferai de même pour la question B, et de même pour la question C. Alors, pour le petit a on parle de 0, on veut le cosinus de 0, donc c'est un point qui sera ici, 0 c'est ce point. On parle de cosinus π, qui est en face, donc je fais exprès de prendre 0 et π en premier. On parle de 0, π, π sur 4, 3π sur 4, π sur 4, pas très compliqué. C'est la moitié ici de π sur 2, π sur 4 est ici. 3π sur 4, je comprends que c'est un peu la même chose symétrique. 3π sur 4 c'est comme π auquel j'ai enlevé 1π sur 4. Donc c'est aussi, ou c'est la moitié entre π sur 2 et π si vous voulez. Donc c'est assez symétrique de ce π sur 4 que je viens de tracer. Très bien, et enfin il reste π sur 2 qui est ici. Ça c'est intéressant, ça veut dire que si je fais la somme pour A, si pour A comme ça, A qu'est-ce que je fais? Je somme cette valeur-là plus cette valeur-là de cosinus. Elles sont symétriques, donc en l'occurrence ça vaut 1 et moins 1, mais on sait que, alors les anglais disent cancel out, si vous voulez ça s'auto-annule, les deux se compensent. Donc là ça se compense, celle-ci je me rends compte que ça a des valeurs. Une valeur ici quelconque, je me fiche de combien elle vaut. En l'occurrence on sait que π sur 4 c'est √2 sur 2, vous devez la prendre par cœur, mais c'est pour vous dire, on n'a même pas besoin de savoir la valeur parce qu'elle se compense avec la valeur ici qui est la même en négative. Donc ces deux-là se compensent aussi. Donc ces deux-là s'annulent, ces deux-là s'annulent, il ne reste plus que ce π sur 2 qui vaut également 0. Donc en fait je peux en déduire assez vite que le tout vaut 0. Oups. Voilà, c'est intéressant parce qu'on peut se lancer dans les formules et réciter, mais c'est plus intéressant je pense de bien comprendre comment fonctionne le CIRC pour résoudre en deux secondes. Alors le B et le C ça va être un peu le même délire, donc B c'est cos-π, je vais vous le faire comme ça, donc moins π ça va être, moins π c'est ce point là, moins 3π sur 4, alors on part de 0 et on prend moins 3π sur 4, donc ça va être celui-ci, ça c'est moins 3π sur 4, ensuite on vous dit moins π sur 2, moins π sur 4, en fait c'est un peu le même délire qu'avant, moins π sur 2 c'est celui-ci, et moins π sur 4 c'est celui-ci. Donc qu'est-ce qui se passe? Ben en fait, moins 3π sur 4 et moins π sur 4, ces deux là ont des valeurs de cosinus qui vont s'annuler, en effet c'est la valeur ici qui est négative, et la valeur ici qui est la même en positive, ces deux là s'annulent. Donc qu'est-ce qu'il me reste? Quand j'enlève ça et ça, il me reste cos-π sur 2, qui lui vaut 0, parce qu'on a le cos de ce point là qui est nul, donc il ne me reste plus à la fin que cos-π, cos-π c'est simple ça vaut moins 1. Donc par étude graphique je peux répondre B égale moins 1. Super. Enfin, pour C, alors j'ai quoi? J'ai π sur 6, π sur 3, π sur 2, bon à un moment là je vais quand même vous donner autre chose que le truc graphique, je vais vous donner, alors laissez-moi le faire en une seconde. Pour cette petite question-là, j'ai préféré donc vous rappeler le cours, c'est-à-dire qu'il y a quelques valeurs à connaître par cœur pour sinus et cosinus, entre 0, π sur 6, π sur 4, π sur 3, π sur 2, donc ces cinq valeurs, il faut connaître les valeurs du sin et du cos. Quand vous connaissez celle du sin, vous vous retenez que celles du cos sont les mêmes mais écrites dans l'autre sens, donc vous retrouvez bien ces cinq là mais ici dans l'ordre des croissants. Le moyen mnémotechnique marrant c'est de se dire qu'en fait ça ce sont toutes des demi-racines et elles sont successives, donc par exemple là on aurait racine de 0 sur 2, racine de 1 sur 2, racine de 2 sur 2, racine de 3 sur 2, et 1 c'est aussi racine de 4 sur 2. Si vous le dites comme ça, ça vous aidera peut-être à retenir, moi c'est comme ça que j'ai retenu à l'époque. Donc vous les avez par cœur, et ensuite vous pouvez résoudre cet exo avec un mélange de connaissances de cette table et de géométrie sur le cercle. On se rend compte qu'on veut le sinus de pi sur 6 plus le sinus de 5 pi sur 6, on se rend compte que ça c'est les mêmes, donc je peux écrire 2 sin pi sur 6, en virant ça comme ça, plus sin pi sur 3 plus sin 2 pi sur 3, je vois que le sinus à chaque fois va être le même, c'est la valeur ici, donc je peux dire plus 2 sin pi sur 3, ce qui là me fait dégager ça et ça, et enfin il reste sin pi sur 2, parfait, et il reste sin pi qui vaut 0, ça c'est 0. Donc là c'est assez simple, 2 sin pi sur 6, parfait, je regarde ma table, 2 fois sin pi sur 6 ça fait 2, point 1,5, 2 fois sin pi sur 3, ça fait 2 fois racine de 3, donc racine de 3, et enfin le dernier, sin pi sur 2 qui vaut 1, ok ça fait 3 plus racine de 3. C'est fini! Cette question était donc un mélange de bien se repérer sur le cercle pour gagner du temps, plus la révision des valeurs classiques des angles qu'il faut connaître. J'espère que ça vous a aidé, posez des questions s'il y a besoin. Bye bye!

Somme de sin et cos

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