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Sin, Cos et Cercle Trigo

Dans cet exercice de trigonométrie, on doit trouver les coordonnées de quatre points d'un carré à partir d'un point donné. Le premier point est donné par ses coordonnées, qui sont liées à la trigo, et se trouve sur le cercle de rayon 1 de centre haut, associé à l'angle pi sur 4. En utilisant la définition géométrique du carré, on peut trouver les coordonnées des autres points en observant que les diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et ont une même longueur. Pour trouver les coordonnées des points B et D, on ajoute plus pi sur 2 au premier angle, pour obtenir des angles de 3pi sur 4 et 7pi sur 4 respectivement. On peut ensuite lire facilement les coordonnées de ces points sur le cercle trigo en utilisant les valeurs du sinus et du cosinus. En utilisant la caractérisation du carré par ses diagonales, on peut trouver les coordonnées de tous les points du carré.

Cet exercice est intéressant, alors il est plus simple quand on sait déjà qu'on est dans un chapitre de trigonométrie, il est plus intéressant hors contexte parce qu'il vous force à retrouver le fait qu'on va faire de la trigo. Imaginons que vous êtes en train d'étudier autre chose, boum, on vous balance cet exo, racine de 2 sur 2, ça doit vous faire tilter, outre le fait qu'on est dans un chapitre de trigo maintenant, ça doit toujours vous faire tilter sur de la trigonométrie, pensez à du cos et du sin de pi sur 4. Vous connaissez vos valeurs, vous savez que ça c'est lié à ça. Donc, premier truc que je vais faire, je comprends que j'ai un point 0, on parle d'un certain carré, que je comprends être comme ça, intuitivement, et on me dit que le point A a pour coordonnée racine de 2, racine de 2, ça me rappelle la trigo, je sais que ce point A est sur le cercle de rayon 1 de centre haut. C'est un point associé à l'angle pi sur 4, 45° si vous voulez penser encore en degrés, et qui a pour coordonnée en effet racine de 2 sur 2 et racine de 2 sur 2 le cos et le sin de pi sur 4. Ici j'ai pour rappel la valeur du cos, la valeur du sin. Comment je trace les autres points? Il faut que je reprenne la définition géométrique du carré. Un carré, c'est un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, qui ont une taille égale, ça pourrait faire un rectangle, et qui sont perpendiculaires. Donc on va utiliser ça, on va dire qu'il y a le point C du quadrilatère ABCD, du carré ABCD, qui est en face. Tout simplement pourquoi? Parce que je continue la diagonale, et je sais que comme les diagonales se coupent en leur milieu, la diagonale va être séparée en deux par le point O. Donc le point C appartient également au cercle, première étape du raisonnement. Ensuite en termes de trigo, qu'est-ce que j'ai fait pour passer de A à C? Hop, j'ai fait plus pi. J'ai rajouté un demi-tour, un demi-cercle. Plus pi, ça veut dire que ici, C, c'est en fait pi sur 4 plus 4 pi sur 4, 5 pi sur 4. Ça c'est très bien, ça me donne... Ensuite je vais pouvoir trouver facilement, 5 pi sur 4, grâce à la lecture sur le cercle trigo, je vais pouvoir trouver très facilement les valeurs de C. C on peut l'écrire. C c'est donc cos 5 pi sur 4, sin 5 pi sur 4, ces coordonnées. Et elles sont assez faciles, on est à l'opposé pour le sinus. Donc au lieu d'avoir cette valeur là, on a cette valeur là. Donc négative par rapport à celle qu'on connaît. Et on a aussi la même valeur de cosinus mais en négatif. Donc en gros on sait que c'est moins racine de 2 sur 2. Donc C c'est assez vite expédié. L'idée ensuite c'est de trouver B et D. On va encore utiliser la caractérisation du carré par ses diagonales. On sait que pour un carré, les diagonales sont orthogonales. Il faut donc que je trace une diagonale qui est à un angle 90°, pi sur 2 si vous voulez, par rapport à la première diagonale. Elles se coupent en leur milieu et elles ont même longueur. Je comprends donc que les deux points B et D sont sur le cercle et situés de la manière que je viens d'utiliser. Donc qu'est-ce que je comprends? Ici j'avais fait plus pi, mais là pour passer de ici à ici, j'ai fait plus pi sur 2, plus 90°. Je comprends donc que le point B n'a pas, ne croitons pas un angle pi sur 4, mais bien un angle pi sur 4 plus pi sur 2, c'est-à-dire 3pi sur 4. Et si vous voulez c'est la même chose ici. Là j'ai plus pi sur 2. Je comprends que D c'est donc 5pi sur 4 plus 2pi sur 4, 7pi sur 4. Et c'est comme ça que je trouve les 4 points de mon carré. Le carré, si je commence à le tracer, ça va être un peu moche, mais ça fait un carré ici si vous voulez. Et donc, très facilement maintenant, je peux déduire. Voici les coordonnées de B et D. B, je me rends compte que c'est le cos et le sin de 3pi sur 4, que je peux tous les deux lire très facilement. Le cos, c'est l'opposé du cos de pi sur 4, donc c'est moins racine de 2 sur 2. Et le sin, c'est le même. En effet, on a la même hauteur ici, donc c'est racine de 2 sur 2. Et pour D, c'est en fait le contraire. Les cos sont similaires, mais directement les sinus sont opposés. Voilà pour cet exercice, il est intéressant parce qu'il fallait bien caractériser le problème avec les propriétés géométriques du carré, notamment via ces diagonales. Et ensuite, c'était de la lecture de Sartre-Trigon. Donc un peu avancé comme lecture, mais intéressant. Posez des questions s'il y a besoin, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

Petit problème cercle trigo

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