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Sin, Cos et Cercle Trigo

Dans cet exercice, on utilise une fonction contenant uniquement la variable inconnue X en termes de causes. Pour résoudre l'équation, on utilise un changement de variable en remplaçant X par X² et X. On résout ensuite les racines X1 et X2 et on les compare à la contrainte de l'intervalle de X entre -1 et 1. Ensuite, on résout F2X égale à 0 en utilisant les valeurs de X1 et X2, qui sont ensuite comparées à un deuxième inéquation pour obtenir la réponse finale.

Un exercice assez intéressant où on a une fonction avec du cause X et uniquement du cause X. C'est à dire que l'inconnu X ne s'exprime qu'à travers des causes. Quand on a ça, on va utiliser un changement de variable, comme on a déjà vu dans certains exemples du chapitre des polynômes, justement pour se rapporter une structure polynomiale. On va remplacer ça par X², on va remplacer ça par X, et on va appliquer ce qu'on connaît sur les polynômes pour résoudre l'équation f2x égale 0. Première étape, reconnaître la structure polynomiale. C'est 4 fois un truc au carré plus 2 fois racine de 2 moins 1 fois le truc moins racine de 2, donc c'est du X² et du X, polynôme. On va résoudre les X1 et les X2, les racines, puis ensuite on va se dire, bon attend, on avait dit qu'on a trouvé X1 et X2, mais ça c'est censé être égal à cause X, et c'est là qu'en deuxième temps, la partie trigo va intervenir. J'ai rédigé un peu le début. On vous dit, on pose X égale cause X, très bien, montrer que X est entre moins 1 et 1, on sait par définition du cause que le cause X est entre moins 1 et 1, donc X entre moins 1 et 1. Si vous voulez la manière de le voir, c'est le cause se lie sur l'axe des X, et on sait que là c'est un rayon 1, là c'est une valeur moins 1, le cosinus c'est la valeur qui est toujours, c'est les valeurs qu'on lie sur l'axe des X. C'est toujours entre moins 1 et 1, un peu comme ça. On peut aussi se dire, bon c'est que pour les nombres positifs, mais quand vous avez la définition du cause sur les triangles en troisième, on vous dit que c'est le côté adjacent sur l'hypoténuse, c'est toujours à côté sur un côté plus grand, donc c'est une fraction qui est plus petite que 1. Voilà, c'est ça l'intuition derrière. Montrer que résoudre ça revient à résoudre ça, en fait c'est simple, on prend l'expression ici, on remplace cause par X, donc c'est X² ici, et là c'est X. Donc ça y a le 0, si et seulement si, 4X2 plus 2√2 moins 1 fois X, moins √2 y a le 0. Là résoudre, on vous dit résoudre sur moins 1, 1, alors déjà je vais résoudre tout court, puis on verra si les solutions sont bien dans moins 1, 1 ou pas, parce que c'est la contrainte que j'ai sur X. Trouvons X1 et X2, le premier truc qu'on fait c'est delta. Là j'ai un truc intéressant à vous raconter, donc on va s'y pencher deux secondes. Delta c'est quoi? B2 moins 4rac, donc B2 moins 4 fois 4, pour le A, fois moins √2. Je mets 4 en facteur, parce que là il y a 2² qui vaut 4, et il y a un 4 ici. Ça fait √2 moins 1² plus 4√2. Là tout de suite, il faut faire attention, mais c'est vachement bien si vous le connaissez, donc je vous le conseille, je vous conseille de l'apprendre par cœur. Je vais mettre un petit cœur par-dessus, ça peut être utile, vous allez me dire, si on ne le connait pas comment on fait? Ben justement, si vous ne le connaissez pas, vous galérez un peu plus. Tout de suite, moi je reconnais, alors après c'est la force de l'habitude du prof et tout, mais je reconnais que là c'est A moins B² plus 4A fois B. Parce que là-dedans il y aura du moins 2√2 quand je vais développer, là il y a du plus 4√2. L'idée c'est qu'il y a un peu une manière de voir les identités remarquables de troisième, qui peut être comme ceci. En fait on peut faire le lien entre deux carrés parfaits. Donc √2 moins 1², je sais que ça va me donner un truc comme ça. Pourquoi? √2² moins 2√2 plus 1 plus 4√2 devient √2², c'est de là ce qu'on pense, plus 2√2 plus 1. Un élève normal, je pense, va simplifier √2² et mettre 2. Ce n'est pas faux, mais je pense que ça vous fait passer à côté ce beau résultat d'avoir un delta qui est complètement un carré parfait en fait. Vous avez ce carré parfait, vous pouvez avoir un carré parfait comme ça. Je ne sais pas trop comment faire, si vous ne pensez pas à ça, vous allez peut-être rater le carré parfait. En tout cas moi je vous le fais avec ça en tête, comme ça au moins vous avez une chance de le voir. Ensuite on vous dit quels sont x1 et x2, on applique le cours. C'est √2 moins 1, plus √2 plus 2√2 plus 1, le tout sur 2a. A c'était 4 ici, donc ça fait sur 8, il me semble. Et x2 égale moins 2√2 moins 1, moins √2 delta qui est 2√2 moins 1. On sent qu'il y a des trucs qui vont simplifier, le tout sur 8. Donc là ça fait moins 2√2 plus 2√2, on est content, ça dégage. Moins 2√2 plus 2√2, là ça fait plus 2, plus moins 2. Attendez, est-ce que j'ai fait une bêtise? Est-ce que ça fait 0? Mais non. Ça fait 0 ça? Ah non, je me suis trompé. Il y a un plus ici, je me disais que c'était bizarre que la solution fasse 0, on l'aurait vu avant. Hop, c'était pas possible. Donc là il y a un plus qui vient d'ici, je vais juste me le recopier. Donc moins 2√2 plus 2√2, ce qu'on pense. Et là j'ai plus 2, plus donc j'ai 4 sur 8, 1 demi. Et ici j'ai... Alors cette fois-ci c'est plus 2, moins 2, ce sont les √2 qui ne vont pas dégager, donc j'ai moins 4√2 sur 8, ça fait moins √2 sur 2. Top. Ensuite on vous dit résoudre. On a trouvé x1 et x2, ensuite résoudre f2x égale 0. Il ne faut pas se tromper, parce que juste pour vérifier ça, ça appartient bien à moins 1, 1, donc on est content, on la garde. Et ça, ça appartient aussi bien à moins 1, 1, on la garde. On vous dit maintenant de trouver les solutions de f2x égale 0, il suffit de remplacer et de dire comme x égale cos x, je vais chercher quand est-ce que cos x vaut les valeurs qu'on a trouvées. Je vais vous faire ça tout de suite. L'important c'est de ne pas se tromper. Ici on a x1 égale cos x, si et seulement si, cos x égale 1,5. On a dit qu'on voulait absolument que x soit compris entre moins pi et pi, parfait on va regarder sur moins pi pi ce que ça donne. Entre moins pi et pi, quand est-ce que cos x égale 1,5? 1,5 c'est ici, c'est quand on a un cos exactement là, ça c'est 1,5 ici, je vais vous zoomer un peu plus, voilà, là j'ai la valeur 1,5, là j'ai 1. Cos x égale 1,5, on connait nos valeurs classiques, uniquement pour pi sur 3 de ce côté. Et moins pi sur 3 de l'autre. On vous a dit qu'on voulait parcourir entre moins pi et pi, quand je parle de moins pi, je trouve moins pi sur 3, pi sur 3, ce sont les deux seules solutions. Nous on veut, c'est sûr, moins pi pi il me semble, si je ne me trompe pas, moins pi pi, oui c'est ça. On a x1 égale cos x, si et seulement si, x égale pi sur 3, x égale moins pi sur 3, ça c'est parfait. Ensuite on pourra dire x2 égale cos x, si et seulement si, cos x égale racine de 2 sur 2, racine de 2 sur 2 ce n'est pas bien compliqué, on sait que c'est lié à pi sur 4, donc ça ça va être la même chose que ce dessin, mais cette fois-ci avec pi sur 4, c'est à dire, je vais virer tout ça, dégager un petit peu ça, ce ne sera pas un demi, ce sera racine de 2 sur 2, ce ne sera pas pi sur 3, ce sera pi sur 4, on aura donc pi sur 4 ici, moins pi sur 4 ici, même raisonnement que juste avant, je vais pouvoir dire si et seulement si, x égale moins pi sur 4, ou x égale pi sur 4. Et de la même manière, on était toujours sur moins pi pi, c'était ça que l'on comptait. Je peux dire à la fin que f2x égale 0, si et seulement si, x appartient à l'ensemble, soit moins pi sur 4, je vais les ranger dans l'ordre, moins pi sur 3, moins pi sur 4, pi sur 4, pi sur 3. Et voilà, la réponse à cette question. La suite de l'exercice, ce n'est pas bien compliqué, c'est juste ensuite faire une inéquation. Une équation, je vous conseille d'essayer de la faire de votre côté, posez moi des questions si vous n'y arrivez pas, et cette question va se résoudre en gros à résoudre, comme on a déjà vu dans le chapitre des polynômes, une inéquation du degré 2, et ensuite il faudra appliquer ça à quand est-ce que le cosinus est positif, etc. Donc ce n'est pas trop compliqué, ça va un peu plus loin, mais j'ai envie de vous faire une vidéo relativement courte, donc je ne vais pas le finir ici, je vous laisse le tenter de votre côté. Vous avez le forum pour poser la question si vous n'êtes pas sûr, et je vous dis à la prochaine!

Exo bilan sur les changements de variable X=...

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