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Sin, Cos et Cercle Trigo

Ce cours explique comment trouver la valeur de cos ou sin d'un réel donné en utilisant une formule admise. Pour trouver sin²x en fonction de cos²x, on utilise l'identité fondamentale de l'intrigo, sin²x + cos²x = 1. Pour trouver cosinus et sinus de pi sur 8, on utilise la formule cos²x = 1 + cos2x le tout sur 2. Ensuite, il est important de justifier pourquoi la solution positive est la bonne. En effet, pour pi sur 8, le cosinus et le sinus doivent être positifs car l'angle est compris entre 0 et pi sur 2. Enfin, il est recommandé de poser des questions dans le forum si besoin.

Un autre exercice assez classique, trouver la valeur pour un réel donné comme par exemple ici pi sur 8 de cos ou sin de pi sur 8. Ici on vous dit la technique pour ça, ça va être d'utiliser une formule admise. Bon ben c'est parti, si on admet cette formule, on nous dit cos²x égale 1 plus cos²x le tout sur 2. Et on vous dit, dans la question 1 bien sûr, exprimer sin²x, donc qui est ici, en fonction de cos²x. On a sin²x plus cos²x, l'identité fondamentale de l'intrigo, égale 1 pour toute x. Et donc dans l'expression qui est ici, je vais écrire or, donc je vais remplacer cos²x qui est 1, par 1 moins sin²x, qui est égale à 1 plus cos²x le tout sur 2. Donc ça c'est parfait, j'ai plus qu'à inverser un peu les termes et dire sin²x, ça que je veux, on dit sin²x en fonction. Sin²x est égal à 1 moins cos²x sur 2. Question 2, trouver cosinus et sinus pi sur 8. Je vais pouvoir écrire en appliquant la formule basique cosinus²pi sur 8 égale 1 plus cos2pi sur 8 le tout sur 2. Tout de suite, quand j'applique sans réfléchir, je comprends pourquoi la technique a fonctionné, c'est qu'en fait le cos2x ici va me donner accès à un cospi sur 4 que lui je connais. Donc c'est top, ça me donne cos²pi sur 8 égale 1 plus cospi sur 4 racine de 2 sur 2 le tout sur 2. Et si je mets tout en fois 2, ça fait 2 plus racine de 2 le tout sur 4. J'ai ça d'un côté, ensuite j'ai sin²pi sur 8 va être égal à 1 moins racine de 2 sur 2 le tout sur 2, égale 2 moins racine de 2 le tout sur 4. Petite pause, j'ai répondu cos²pi et sin²pi, j'ai pas encore fait cos et sin, parce qu'il faut réfléchir, si je prends cos et sin, je peux trouver deux solutions à chaque fois. Vu que j'ai cos²pi, je peux trouver soit plus la racine de ça, soit moins la racine de ça. Or ce qu'il faut faire, petit circuit de trivaux rapide, c'est la deuxième partie de la question, ça ne l'est pas se tromper, parce qu'il faut justifier pourquoi est-ce que le cos2pi sur 8 vaut racine de tout ça, ou moins racine de tout ça, il ne faut pas mettre ça sous le tapis, c'est vraiment un des détails importants. Il faut dire que cospi sur 8, enfin que pi sur 8 en gros est un angle, pi sur 8, qui est compris entre 0 et pi sur 2. Et donc je sais qu'on est dans cette zone là, et dans cette zone là justement, on a le cos et le sin qui sont positifs. Pour pi sur 8, je sais que le cos et le sin doivent être positifs, parce que je peux les voir sur le dessin. Ils sont du côté positif de cet axe là, positif de cet axe là. Donc ce n'est pas possible que la solution négative, celle qui dit que le cosinus est ici ou que le sinus est ici, soit la bonne. Et donc je peux conclure, comme j'ai compris que cospi sur 8 était positif strict, sinpi sur 8 était aussi positif strict, alors, cospi sur 8 égale racine de 2 plus racine de 2 sur 4, égale racine de 2 plus racine de 2, le tout sur 2, et sinpi sur 8 égale racine de 2 moins racine de 2, le tout sur 2. Voilà, pour cet exercice, j'ai bien voulu insister à la fin sur ça, ce détail, c'est le plus important, enfin ce détail, ce n'est pas vraiment un détail, justement c'est quelque chose qui peut apparaître comme un détail, mais qui va être le plus important, c'est de justifier qu'on a une solution positive et pas négative. Ce n'est pas juste prendre la racine, il faut expliquer pourquoi ce n'est pas moins la racine. Sur ce, je vous laisse, j'espère que c'était clair, si vous avez des questions en plus, dites-le dans le forum, et je vous retrouve à la prochaine.

Valeur particulière d'un cos

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