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Fonctions

Variations et Extremums

Dans cet exercice, nous traduisons des informations sur des fonctions en écriture explicite. La première fonction est affine avec une écriture de 3x-2. La deuxième fonction affine est de 2x-2 plus 6. La troisième fonction est une fonction carrée avec une écriture de x². La quatrième fonction est une fonction inverse avec une écriture de 1 sur x. Connaissant le fait que les fonctions affines passent par zéro et la fonction carrée s'annule également en zéro, la fonction inverse n'a pas d'antécédent par cas et n'est pas définie en zéro. La fonction carrée est la seule fonction restante qui peut avoir plusieurs antécédents. La fonction g est croissante sur son ensemble de définitions, ce qui signifie que la fonction g est 3x-2 et la fonction h est -2x plus 6.

Dans cet exercice, on va traduire certaines informations qu'on nous donne sur les fonctions pour trouver leur écriture explicite. Avant de commencer, on va faire un peu l'état des lieux des expressions qu'on nous donne. 3x-2, c'est une fonction affine. 2x-2 plus 6, c'est aussi une fonction affine. x², c'est la fonction carrée. 1 sur x, c'est la fonction inverse. Maintenant, on va regarder cette information-là. On nous dit que 0 n'a pas d'antécédent par cas. Donc 0 n'a pas d'antécédent par cas, en fait, les fonctions affines, celles-ci passent forcément par 0 parce qu'elles vont s'annuler. La fonction carrée, elle aussi s'annule, en 0 ça fait 0. Donc en fait, la fonction inverse n'a pas d'antécédent par cas. D'ailleurs, elle n'est pas définie en 0. Et donc, on sait que k²x, c'est 1 sur x. Ensuite, on nous donne cette information-là, 4 a plusieurs antécédents par f. Alors, ce qu'il faut savoir, c'est que les fonctions affines, elles sont strictement croissantes ou strictement décroissantes. Donc elles ne peuvent pas avoir plusieurs antécédents, parce que ça voudrait dire qu'il y a un changement de variation. Donc en fait, la seule fonction qui peut avoir plusieurs antécédents dans les fonctions restantes, c'est la fonction numéro 3, qui est la fonction carrée. Donc on sait que f²x, c'est x². Alors maintenant, il reste g et h. Sur h, on n'a aucune information, et sur g, on sait qu'elle est croissante sur son ensemble de définitions. Donc ce qu'il faut regarder, parce que là, il nous reste deux fonctions affines, on se rappelle que dans une fonction affine, c'est le coefficient directeur qui va dire si la fonction est croissante ou décroissante. Quand le coefficient directeur est positif, la fonction est croissante. Quand il est négatif, la fonction est décroissante. Donc ici, le coefficient directeur de la fonction 1 est positif, donc elle est croissante. Celui de la fonction 2, il est négatif, donc elle est décroissante. Et donc, comme on dit que g est croissante sur son ensemble de définitions, en fait, g, c'est 3x-2, donc c'est l'écriture numéro 1. Et du coup, forcément, h, c'est la dernière, c'est h de x est égal à moins 2x plus 6.

Reconnaître des fonctions

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