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Dans ce cours, on apprend comment comparer deux nombres donnés sous forme de fractions avec des racines carrées. On utilise des inégalités successives en commençant par le plus petit noyau, puis en appliquant des fonctions croissantes ou décroissantes comme la racine carrée ou la fonction inverse. On rappelle que la racine carrée est croissante sur les nombres positifs et que la fonction inverse est décroissante sur les nombres positifs. Finalement, on peut obtenir une inégalité entre les deux nombres à comparer en appliquant ces méthodes avec des exemples concrets. On obtient donc que 2 sur 3 plus racine de 5 est strictement plus grand que 2 sur 3 plus racine de 7.

Salut! Dans cet exercice, on va voir comment comparer deux nombres. Donc là, les nombres, on nous donne sous forme de fractions avec des racines carrées. Bon, c'est pas évident à comparer. La méthode à faire, c'est de partir de quelque chose qu'on sait, et d'utiliser des inégalités successives pour obtenir à la fin une inégalité entre ces deux nombres. Avant de se lancer dans les inégalités successives, je vais faire plusieurs rappels de certaines choses qu'on utilisera. Donc, ce qu'on va utiliser, c'est que si on applique une fonction croissante dans une inégalité, on ne change pas le sens de l'inégalité. C'est la définition d'une fonction croissante. Ça veut dire que si on a une inégalité avec a plus petit que b, quand on applique la fonction f qui est dans ce cas de figure croissante, on a f de a toujours plus petit que f de b. En revanche, donc si f est décroissante et qu'on a la même inégalité, quand on applique la fonction, on inverse le sens de l'inégalité. Donc cette fois-ci, si a est plus petit que b, on applique une fonction décroissante, f de a sera plus grand que f de b. Et deux autres choses qu'on va utiliser, c'est que la fonction racine carrée, donc qui a x associé racine carrée de x, on sait qu'elle est croissante sur r+, sur les nombres positifs, et la fonction qui a x associé 1 sur x, elle, elle est décroissante sur les nombres positifs. On va travailler dans cet exercice qu'avec des nombres positifs, donc il y a que ça qui nous intéresse. Bon, ben c'est parti. Alors là, pour comparer ces deux nombres, il faut commencer par le plus petit noyau, entre guillemets. Donc là, typiquement, on va regarder ce qui se passe entre 5 et 7. Donc on sait que 5 est plus petit que 7, voilà. C'est quelque chose qu'on peut écrire parce que, ben c'est vrai, 5 est plus petit que 7, il n'y a rien besoin de montrer, aucune propriété, voilà, c'est deux nombres, il y en a un qui est plus petit que l'autre, on les connaît. Donc là, on regarde ce qui se passe. On doit avoir racine de 5 et racine de 7. Donc on va appliquer la fonction racine carrée pour faire apparaître racine carrée de 5 et racine carrée de 7. Donc on applique la fonction racine carrée qui est croissante. Donc comme elle est croissante, on ne va pas changer le sens de l'inégalité, donc on va avoir racine de 5 encore plus petite que racine carrée de 7. Donc ensuite, ce qu'il faut faire, on voit qu'il y a plus 3 à faire. Bon ben plus 3, bon ben là on fait plus 3, il n'y a rien à dire, c'est plus 3, ça ne change rien dans une inégalité. On fait plus 3 à gauche et à droite, et l'inégalité reste dans le même sens. Ensuite, ce qu'on va avoir, c'est que, notre 3 plus racine de 5 et notre 3 plus racine de 7, en réalité, ils ne sont pas comme dans l'inégalité là. Ils sont en dessous d'une fraction. Donc pour passer un nombre en dessous d'une fraction, on va appliquer la fonction inverse. On applique la fonction inverse, mais cette fois-ci, elle est décroissante. Donc quand on va appliquer la fonction inverse, on va changer le sens de l'inégalité, et donc ça va nous donner, donc, 3 plus racine de 5 va devenir 1 sur 3 plus racine de 5, et 3 plus racine de 7 va devenir 1 sur 3 plus racine de 7, mais l'inégalité dans ce sens-là, en réalité, va changer de sens, parce que la fonction qu'on a appliquée est décroissante. Et donc maintenant, on est très proche du résultat, il reste juste à avoir le 2 au-dessus. Bon ben ça, on multiplie par 2, ça ne change pas le sens de l'inégalité, parce que 2 est strictement positif, et on se retrouve avec nos deux nombres qu'on a dans une inégalité, donc on a bien comparé nos deux nombres, et donc on a que 2 sur 3 plus racine de 5 est strictement plus grand que 2 sur 3 plus racine de 7.

Comparaison de racines

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