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Dans cette vidéo, on explore la relation d'équivalence R définie pour les ensembles des réels où X est en relation avec Y si X exponentielle de Y est égale à Y exponentielle de X. Pour montrer qu'une relation est une relation d'équivalence, il faut démontrer que la relation est réflexive, symétrique et transitive, tout comme l'égalité. La relation R est donc une relation d'équivalence.Ensuite, la question 2 demande de préciser, pour chaque réel X, le nombre d'éléments dans la classe d'équivalence de X (c'est-à-dire, combien de réels sont en relation avec X selon R). On introduit la fonction T(t) = t exponentielle de -t et on note C2x la classe d'équivalence pour X. En réarrangeant l'énoncé de la relation R, on trouve que C2x est l'ensemble Y tel que F2x égale F2y où F(t) = t exponentielle de -t.Pour trouver les antécédents de F2x (c'est-à-dire, les réels en R qui sont en relation avec X selon R), on étudie le graphe de F, qui est dérivable, et on remarque qu'il y a deux parties, X supérieur à 0 et X inférieur ou égal à 0. Pour X supérieur à 0, la classe d'équivalence a deux éléments, et pour X inférieur ou égal à 0, la classe d'équivalence a un élément. Ainsi, le nombre d'éléments dans la classe d'équivalence de X dépend du signe de X.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans cette nouvelle vidéo sur les relations d'équivalence. Donc on a la relation R définie dans les ensembles des réels telles que pour X et dans relation avec Y, ça veut dire que X exponentielle de Y est égale à Y exponentielle de X. Donc on va montrer que cette relation est une relation d'équivalence. Donc pour montrer qu'une relation est une relation d'équivalence, il faut montrer trois choses. Que la relation est réflexive, que la relation est symétrique et finalement que la relation est transitive. Donc comme l'égalité, l'égalité est une relation d'équivalence sur R. Donc d'abord la réflexivité, soit X, on prend un X dans R et alors on a par la réflexivité de l'égalité, on a X exponentielle de X est égale à X exponentielle de X. Donc X est en relation avec X. Donc X est réflexive. Maintenant on montre la symétrie. On prend X et Y en relation et on va montrer que Y est en relation avec X. En relation avec Y, ça veut dire que X exponentielle de Y est égale à Y exponentielle de X. Par symétrie de l'égalité, on inverse l'égalité. Donc Y exponentielle de X est égale à X exponentielle de Y. Donc Y est en relation avec X et R est symétrique. Maintenant on a plus qu'à montrer la transitivité. X, Y, Z tel que X est en relation avec Y et Y est en relation avec Z. Et on va montrer que X est en relation avec Z. Donc on dit que c'est X est en relation avec Y. Et on exprime Y en fonction de X exponentielle de Y. Or on remarque que Y est en relation avec Z donc on peut écrire ça. Maintenant on peut remplacer Y par sa valeur et tout organiser bien. Et quand on simplifie, on a X exponentielle de Z est égale à Z exponentielle de X. Ça veut dire que X est en relation avec Z. Ainsi R est transitive. Donc R est réflexive, symétrique, transitif. Donc R est une relation d'équivalence. On peut encadrer et c'est la fin de la question. Pour la question 2, pour chaque réel X, on va préciser le nombre d'éléments dans la classe d'équivalence de X. Donc quel est le nombre d'éléments qui sont en relation avec X pour chaque réel X. Pour X, un réel fixé, on note C2x à la classe d'équivalence pour nous faciliter la tâche. C2x est Y tel que X exponentielle de Y est égale à Y exponentielle de X tel que X est en relation avec Y. On a traduit ce que ça voulait dire. Et si on arrange bien, on peut remarquer que là on a la même chose à gauche en remplaçant Y par X ou X par Y à droite ou à gauche. Ça nous donne l'idée de poser la fonction T qui associe T exponentielle de moins T. C2x devient, la classe d'équivalence de X devient les Y tel que F2x égale F2y. Finalement, la classe d'équivalence de X est l'image réciproque de F2x. Donc les antécédents de F2x dans R. Pour trouver les antécédents de F2x dans R, on va étudier le graphe de F. Pour ça, on dérive F, donc elle est bien dérivable. On a limite en plus infini et en moins infini. On a le tableau de variation de F. De plus, on peut tracer une ébauche de graphe de F en sachant que F de 0 est égal à 0. On a cette ébauche de graphe. Et là, on remarque qu'il y a deux parties. Il y a la partie X est supérieure à 0, où on voit que pour X et F2x, F2x va avoir deux antécédents. Pour toute X strictement supérieure à 0, X va avoir deux antécédents. Mais pour X inférieur ou égal à 0, F2x va n'avoir qu'un seul antécédent. On va pouvoir écrire ça. On a deux cas. Le cas dans la partie orange, ici, X est strictement supérieur ou égal à 0. F2x appartient à 0, 1 sur E. 0 exclu. Et F2x a deux antécédents. D'après le tableau de variation. Et là, ça nous aide à comprendre le tableau de variation. Sinon, X est inférieur ou égal à 0. Et F2x a un unique antécédent. Ainsi, si X est strictement supérieur ou égal à 0, la classe d'équivalence de X a deux éléments. Parce que deux antécédents. Sinon, X est inférieur ou égal à 0 et la classe d'équivalence de X a un élément. C'est ce qu'on a marqué là. Ainsi, on a répondu à la question. Préciser le nombre d'éléments de chaque classe d'équivalence de X. Et ça va dépendre du signe de X. C'est la fin de cet exercice. On se dit à la prochaine fois.

Relation d'équivalence

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