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Dans cette vidéo, on parle de la preuve de l'équivalence entre deux propositions P1 et P2, où P2 est l'injectivité de la fonction f. La question est de trouver la négation des deux propositions avec des quantificateurs, pour prouver que non P1 est équivalent à non P2. Pour cela, il est conseillé de traduire les propositions en français avant de les traduire en quantificateurs et de prendre la négation. Ensuite, la video nous guide à travers les étapes pour prouver les deux sens de cette équivalence, en utilisant la négation des propositions. Finalement, la preuve montre que P1 et P2 sont équivalentes.

Salut c'est Paul et nous sommes dans cette nouvelle vidéo où on va parler d'applications et d'ensemble, d'injectivité, d'injectivité, tout ça. Là, le but de cet exercice, ça va être, on va avoir deux propositions ici P1 et P2. P2 c'est f est injective et P1 une proposition un peu différente avec des ensembles. Voilà, sauf qu'en fait le but ça va être de prouver que P1 et P2 sont équivalentes. Donc en fait ça c'est une autre manière d'écrire que f est injective. Donc, et pour nous aider, on a la question 1 qui nous dit d'écrire avec des quantificateurs les négations des propositions ici P1 et P2. Donc comment écrire la négation de ces propositions avec des quantificateurs? D'abord, le plus simple c'est de traduire ces propriétés en français et après de les traduire du français vers des quantificateurs et après de prendre la négation. C'est toujours beaucoup plus simple et on fait beaucoup moins d'erreurs comme ça. Ça nous permet d'avoir les subtilités plutôt que de ne pas louper aucune subtilité, plutôt que de passer directement du français à une négation en quantificateur. Donc, et finalement pourquoi on nous demande d'exprimer les négations de P1 et de P2? Parce qu'en fait c'est un indice pour nous dire que c'est plus simple de prouver que non P1 équivalent à non P2. Et si on prouve que non P1 équivalent à non P2, ça nous donne P1 équivalent à P2. C'est la même chose. Donc, c'est parti. On va écrire avec des quantificateurs. On va écrire d'abord P1 avec des quantificateurs. Là, on a juste cette partie à convertir en quantificateur. Pour toute partie A et B de E, c'est quelque soit A et B dans les parties de E et après on peut écrire la suite. Pour prendre la négation, quelque soit il existe et après on a une implication. Donc A implique B, donc c'est A et non B. Donc A et non B, la négation d'une implication. Ça c'est A commanded par cœur. Donc P2 après l'injectivité, donc ça aussi c'est A commanded par cœur, la définition de l'injectivité. Pour toute X dans E, XY dans E, si les images de F de X et de Y sont égales, alors XY sont égaux. La négation, quelque soit, donc il existe toujours et F de X A implique B, donc c'est A et non B. Maintenant, on va prouver que P1 et P2 sont équivalentes. Donc comme j'ai dit, on va prouver que non P1 est équivalent à non P2. Donc on va montrer non P1 équivalent à non P2. D'abord le sens direct. On suppose non P1 et on va prouver que non P2 est vrai. On réécrit non P1 pour se remettre bien les idées en tête. Qu'est-ce qu'on va devoir utiliser? On va pouvoir poser des X et un Y tel que ça. Donc là, comment on va trouver X et Y? X et Y vont être dans A et B. Quelque part, sûrement dans A et B. On a des choses sur A et B donc on va les utiliser. D'abord, on remarque que là, on a un ensemble qui est non vide. Donc ça veut dire qu'il contient un élément. Donc il contient un élément, c'est un Y. Je note Y parce qu'il appartient à l'espace d'arrivée, à F. Donc c'est une bonne habitude de nommer ces images Y. Donc un Y appartenant à F2A inter F2B. Là, on remarque que Y, s'il appartient à F2A, ça veut dire qu'il existe un XA dans A tel que Y est égal à F2XA. Pareil, Y appartient à l'image de B, ça veut dire qu'il existe un XB dans B tel que Y est égal à F2XB. Ainsi, F2XA ici est égal à F2XB. Donc là, les XA et les XB, ça va être nos XY dans la définition de la négation de l'injectivité. Et maintenant, on a notre no F2XA est égal à F2XB et on va devoir prouver que XA est différent de XB. Alors, comme ça, là on a utilisé ça, mais maintenant on va utiliser ça. Qu'est-ce que ça veut dire que l'image de A inter B est l'ensemble vide? L'image de A inter B, c'est les F2X tel que X appartient à A inter B. Si ça c'est l'ensemble vide, c'est tout simplement que A inter B est vide. A inter B est vide, ça veut dire quoi? Ça veut dire que XA est différent de XB. On a F2XA égal à F2XB et XA différent de XB, donc on a bien non P2, donc on a bien non P1 implique non P2. On a le sens direct, maintenant le sens réciproque. On suppose non P2, on réécrit ce que c'est, donc F est non injectif, et on pose A. Maintenant, on va devoir poser, pour prouver non P1, on a une existence ici, donc on va devoir poser des A et des B qui satisfont les parties de E, qui satisfont le membre ici, cette partie de la proposition. Comment on va faire? Quelque chose de simple, d'assez intuitif, on va poser A égal le singleton X et B le singleton Y. En général, quand on doit poser des ensembles, c'est des choses assez simples comme ça. Là, on calcule F2A inter B. L'image de A inter B, c'est l'image de l'ensemble vide. On voit bien que l'intersection des deux est vide, donc c'est bien l'ensemble vide. Et on calcule l'image de A, donc c'est le singleton F2X, sauf que F2X égal F2Y, donc c'est aussi le singleton F2Y, et ça, par définition, c'est l'image de B. Donc, l'intersection des deux images n'est pas l'ensemble vide, parce qu'elles sont égales, les deux images, donc l'intersection n'est pas vide. Donc, on a ces deux choses, ainsi on a non P1. Donc, on a le sens réciproque, et ce qui nous donne non P1 équivalent à non P2, donc P1 équivalent à P2. Ok, c'est la fin de cet exercice, et on se dit à une prochaine fois!

On redéfinit l'injectivité

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