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Complexes : Géométrie

Dans cette vidéo, on examine la relation entre les nombres complexes et leurs représentations géométriques. On nous demande de trouver le lieu géométrique des points vérifiant certaines conditions. Pour la première question, on doit déterminer les points alignés en traduisant une condition sur les complexes en une forme géométrique. Pour la deuxième question, on doit trouver les points où la partie réelle d'un nombre complexe est égale à zéro. Enfin, pour la troisième question, on doit identifier les sommets d'un triangle rectangle à partir de leurs affixes complexes. Les réponses sont présentées sous forme géométrique, telles que des droites, des cercles et des axes de coordonnées.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans une nouvelle vidéo sur les complexes et un exercice portant sur la relation nombre-complexes et interprétation géométrique. Ok c'est parti! Donc cet exercice nous demande de déterminer le lieu géométrique des points M dont une affix Z vérifie une condition, de traduire une condition sur les complexes en une forme géométrique, un ensemble de points géométriques. La première question parle de points I, M et M' alignés. Des points alignés dirents, 3 points ABC sont alignés si l'argument de B-A divisé par C-A est égal à 0 modulo pi. Cela veut dire que l'angle formé par l'angle A, B, C est un angle plat. Mais il y a aussi d'autres cas, c'est si au moins 2 des points sont égaux. Donc s'ils sont égaux, il n'y a plus que 2 points, pas 3 points et donc ils sont automatiquement alignés. La deuxième question parle de la partie réelle de Z-I sur Z-I qui est égal à 0. Je traduis en forme d'angle parce que les angles se rapprochent plus de l'interprétation géométrique. La troisième question parle de M, P et Q qui sont les sommets d'un triangle rectangle. Ce que cela veut dire, c'est qu'il faut traduire cela en forme d'argument à base de ces expressions. Il faudra bien distinguer 3 cas, rectangle en M, rectangle en P ou rectangle en Q. On peut donc attaquer l'exercice. La question 1, 3 points sont alignés, on exprime ce que cela veut dire. Si et seulement si, on a I M et I M' égale à 0 modulo P, donc l'angle entre I M et I M'. Les 3 points sont alignés, donc l'angle qu'ils forment est plat ou au moins 2 des points sont égaux. On traduit cela avec des nombres complexes. L'argument de I Z-I sur Z-I égale à 0 modulo P ou Z-I égale à 0, enfin Z égale à I ou IZ égale à I ou Z égale à IZ. J'ai traduit ici les égalités. Il y a cette dernière égalité ici qui peut être enlevée, on n'en a pas besoin. Si elle est vraie, on a que l'argument de nombre complexe est égal à 0. Ainsi, elle est incluse dans le fait qu'on doit avoir IZ-I et Z sur I égale à 0. On peut factoriser par I au numérateur, sortir le I de l'argument et le passer de l'autre côté. C'est ainsi qu'on obtient le moins Pi sur 2. Qu'est-ce que cela veut dire? Z-1 sur Z-I, l'argument est égal à moins Pi sur 2 modulo Pi. Cela veut dire que le triangle IZ-I est rectangle, quelle que soit la position de Z. Cela veut dire que Z appartient au cercle dont un rayon est I1. C'est le cercle de centre racine de 2, racine de 2 ici, de diamètre 1. On retourne, c'est la réponse à la question 1. C'est pas tout à fait fini la question 1, car on doit déterminer M'. Vu que M' est le point associé à IZ et Z est associé à M, M' est l'image de M par la rotation de centre O d'angle Pi sur 2. Ça veut dire être multiplié par I, c'est la rotation de centre O d'angle Pi sur 2. Ainsi, on a juste à appliquer la rotation au centre du cercle. Cela nous donne le cercle de centre, racine de 2, racine de 2, diamètre 1. La rotation conserve les diamètres et il y a juste le centre qui change. La deuxième question. La partie réelle de Z-1 sur Z-I est égale à 0. Quels sont les points qui vérifient cela? Pour que la condition soit vérifiée, on doit avoir Z différent de I. On exclut Z égal à I de l'ensemble possible. On traduit ce que cela veut dire avec des arguments. L'argument du nombre est égal à Pi sur 2 modulo Pi. On a la même chose qu'au début avec le cercle. L'argument de Z-1 sur Z-I est égal à Pi sur 2 modulo Pi. Cela veut dire que le point M appartient au cercle de centre racine de 2, racine de 2, diamètre 1, privé de 1, 0. Z est différent de I. La question 3. On a M d'affixe Z, P d'affixe Z² et Q d'affixe Z³. Ce sont les sommets d'un triangle rectangle. Pour que M, P, Q soient un triangle, on doit avoir M, P et Q distincts. Cela exclut que Z soit égal à 0, 1 ou 1. Sinon, si Z est égal à 0, 1 ou 1, M, P ou Q seraient égaux à l'autre point. Ce serait un triangle plat. Dans le cas où le triangle est rétangulaire M, la partie réelle de Z³-Z sur Z²-Z est égale à 0. On a bien vu que partie réelle égale à 0 est équivalent à argument de Z-1, argument de Z-I est égal à Pi sur 2 modulo Pi. Pour ceci, on a que la partie réelle de Z³-Z sur Z²-Z sur Z²-Z sur Z²-Z sur Z²-Z sur Z²-Z sur Z²-Z sur Z²-Z sur Z²-Z sur Z²-Z sur Z²-Z sur Z²-Z sur Z²-Z sur Z²-Z sur Z²-Z sur Z²-Z sur Z²-Z. On traduit le fait que l'angle de sommet Z est égal à Pi sur 2 sur Z. Cela traduit le fait que le triangle soit rétangulaire M. On simplifie ici et c'est égal à 1 plus z, donc c'est équivalent à la partie réelle de z égale à moins 1. Donc ça veut dire que les points m correspondants constituent à la droite d'équation x égale à moins 1. On traduit ce que c'est la partie réelle de z égale à moins 1. Donc le carré d'angle en P, on écrit pareil. Donc là P c'est égal à z², donc c'est l'angle de sommet z². Partie réelle de z³ moins z² sur z moins z² est égal à 0. C'est équivalent à la partie réelle de z égale à 0. Donc les points m correspondants constituent à la droite d'équation x égale à 0, donc c'est l'axe des imaginaires purs. Et finalement le carré d'angle en Q, ça nous donne la partie réelle de z moins z³ sur z² moins z³ égale à 0. Et finalement, ce qui nous donne la partie réelle de z plus 1 sur z égale à 0. Et ça, on le traduit en argument. Ce qui nous donne argument de z moins moins 1 égale à 0 divisé par z moins 0. On fait apparaître ici, la partie réelle égale à 0, c'est l'argument égale à Pi sur 2. Et donc, vu qu'on a vu que quand on a des arguments égale à Pi sur 2 avec des fractions, c'est souvent des cercles, on fait apparaître ici le centre du cercle qui est le point 1 diamètre du cercle qui est moins 1, 0. Les points M correspondants constituent le cercle de centre moins 1, demi, 0, donc le centre du diamètre ici, le diamètre c'est moins 1, 0, et de rayon 1, demi. C'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine!

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