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Complexes : Géométrie

Dans cet exercice, nous devons démontrer que le triangle UVW est équilatéral si et seulement si U - V = -J^2(W - V), où J est une racine cubique de l'unité. Pour prouver cela, nous utilisons la géométrie des complexes.

Tout d'abord, nous rappelons que J représente une racine cubique de l'unité, et que les points U, V et W ont des affixes respectives U, V et W.

Nous remarquons que si U est l'image de W par une rotation centrée en V avec un angle de π/3, alors le triangle UVW est équilatéral direct. Cela est dû au fait que J est de module 1 et que V est le centre de cette rotation.

En partant de cette observation, nous pouvons démontrer que le triangle UVW est équilatéral direct si et seulement si l'équation U - V = -J^2(W - V) est valide.

Pour prouver cette équivalence, nous divisons l'exercice en deux sens. Tout d'abord, nous supposons que U - V = -J^2(W - V), ce qui signifie que U est l'image de W par une rotation centrée en V avec un angle de π/3. Ainsi, le triangle UVW est équilatéral direct.

Ensuite, nous supposons que le triangle UVW est équilatéral direct, ce qui implique que V - W = V - U. En utilisant les propriétés de J, nous montrons que cela est équivalent à l'équation U + JV + J^2W = 0. Par transitivité, nous obtenons l'équivalence recherchée.

Ensuite, nous abordons une question plus géométrique où nous devons construire un triangle équilatéral et trouver son centre de gravité. Nous utilisons les bissectrices pour faciliter la construction, mais cela pourrait aussi être fait avec les médianes ou les hauteurs.

Finalement, nous prouvons que le triangle formé par les centres de gravité des triangles b P,C, c Q,A et a R,B est également équilatéral direct. Pour cela, nous utilisons les expressions des affixes de ces points et montrons que leur somme est égale à zéro. De plus, nous montrons que les centres de gravité des triangles UVW et ABC coïncident.

En conclusion, nous avons démontré que le triangle UVW est équilatéral direct si et seulement si U - V = -J^2(W - V), en utilisant la géométrie des complexes.

Salut c'est Paul, on se retrouve sur une nouvelle vidéo pour un exercice de type problème sur les complexes et l'interprétation géométrique des complexes. Donc c'est parti. D'abord on va poser nos idées à plat. L'exercice qu'on considère le plan Euclidien, toujours au menu du repère O E1 E2. Et on note J égale E I 2pi sur 3. Donc ça quand on note J souvent c'est toujours la même chose. Les racines 3ème de l'unité, enfin ça sert de base pour les racines 3ème de l'unité, vous allez voir plus tard. Et on prend U V W, 3 points du plan, les affixes respectives. Petit U, petit V, petit W, jusqu'à là rien de transcendant. Et il faut montrer que le triangle U V W est équilatéral direct. Si et seulement si, U moins V est égal à moins J carré W moins V. Donc là déjà on voit si et seulement si. Donc ça va sûrement prouver d'abord le sens direct et après le sens réciproque. Donc en fait on voit dans les deux sens. C'est plus simple que de travailler directement par équivalence où on peut faire des erreurs. Donc J égale E I 2pi sur 3. Et comme je l'ai dit, si on prend 1 J et J carré, c'est les racines 3ème de l'unité. Et ils forment un triangle équilatéral. Donc peut-être que ça va nous servir dans l'exercice. Et après cette égalité là, U moins V égale moins J carré W moins V. En fait ça me fait penser à une forme de rotation. Où U serait l'image de W par la rotation d'un certain angle là. Vu que J c'est un nombre de module 1, ça va être bon. Et moins V ici, enfin 2 entre V du coup. Donc ça me fait penser à une forme de rotation, ça devrait vous faire penser aussi à la rotation. Pour la deuxième question, on veut montrer que le triangle UVW est équilatéral direct. Si et seulement si, on a cette égalité là. Qui ressemble un peu à cette égalité là. Donc là, à mon avis, il va falloir montrer que notre égalité là est U plus IV plus I carré oméga égale 0. C'est équivalent à U moins V est égal à moins J carré. Donc l'égalité de la question précédente et par transitivité de l'équivalence, ça va nous donner ce qu'on veut. Après il y a des choses, ça va aller plus dans la géométrie. Où on prend là une construction géométrique un peu compliquée. Où on a des triangles, PQR, 3 points du plan avec des trucs là, là je ne comprends pas beaucoup. Donc là, il va falloir faire des dessins pour bien comprendre. D'ailleurs, faire un dessin, voilà la question. Ça parle de centre de gravité par contre. Centre de gravité pour un triangle équilatéral, c'est l'intersection des médianes, des hauteurs ou des bicyclices. Les médianes, les hauteurs et les bicyclices, pour un triangle équilatéral seulement, se croisent dans le même point que dans le cas équilatéral. On va sûrement utiliser les deux premières questions. On a montré ça à question 2 en utilisant la question 1. On va sûrement devoir montrer que u plus iv plus i² ω égale à 0 dans le cas où uvw est équilatéral. On veut montrer que uvw est équilatéral direct en construisant uvw comme ça. C'est parti, on commence. La question 1, montrer que uvw est équilatéral direct si et seulement si u moins v, l'égalité. Pour prouver une équivalence, on prouve le sens direct puis le sens réciproque. Pour les trucs simples dans le type calcul, c'est facile de prouver par équivalence. Mais là, on peut faire des erreurs facilement. On va d'abord prouver le sens réciproque. On suppose que u moins v égale moins j² ω moins v. On suppose le nombre de droites de notre équivalence. Là, on explicite. Moins j² c'est égal à moins ei 4pi sur 3. C'est égal à ei 7pi sur 3. C'est égal à ei pi sur 3. Là, on explicite ce que ça veut dire. Ça veut dire que u est l'image de w par la rotation de centre v et d'angle pi sur 3. C'est la définition dans les complexes d'une rotation. Si on fait un dessin, on remarque que si u est l'image de w par la rotation de centre v et d'angle pi sur 3, c'est bien la définition d'un triangle que u, v, w est un triangle équilatéral direct. Équilatéral direct, ça veut dire que u, v, w sont bien dans le sens direct. Donc, u, v, w est équilatéral direct. Réciproquement, on a prouvé le sens réciproque. Dans l'autre sens, si u, v, w est équilatéral direct, alors v, w est égal à v, u. On a l'angle v, w, v, u est égal à plus pi sur 3. Donc, v, w et v, u sont égales, la distance. Et l'angle v, w, v, u est égal à plus pi sur 3 parce que c'est un triangle équilatéral. Donc, le pi sur 3 est direct, le plus. Donc, u, c'est l'image de w par la rotation de centre v. C'est la définition de la rotation en géométrie. Ce qui se traduit par, et là on refait le calcul à l'envers. Ainsi, u, v, w équilatéral direct est équivalent à u moins v est égal à moins j carré w moins v. Et on a bien notre équivalence, on a prouvé les deux sens. On passe à la question 2. On doit montrer que ce triangle est équilatéral direct s'il y a seulement une autre égalité. Là, on va prouver que cette égalité est équivalente à l'égalité précédente. Et par transitivité, on aura l'équivalence avec le fait que le triangle est équilatéral. On part, et là c'est du calcul, on va directement par équivalence. On regroupe tout d'un côté pour faire apparaître le égal à 0. Si on remarque que 1, j, j carré sont les racines troisième de l'unité, on a que la somme des racines troisième de l'unité est égale à 0. Là, j'ai écrit sous la forme moins j carré moins 1 est égale à j. On a du moins j carré moins 1. On peut remplacer le moins j carré moins 1 par j. D'après la question 1, on a bien prouvé que cette égalité est équivalente à l'égalité précédente. D'après la question 1, on a par transitivité de l'équivalence que u v w équilatéral direct est équivalent à u plus j v plus j carré w est égal à 0. Maintenant, on passe à la question 3. On a une construction géométrique un peu compliquée. On a a, b, c, un triangle direct quelconque. On va faire un dessin au fur et à mesure. Un triangle direct quelconque. On fait ce triangle. C'est un triangle direct. a, b, c doit être dans ce sens-là. On va mettre a, b, c. Là, ça ne va pas marcher. Il faut qu'il soit direct. Que l'ordre des points tourne dans le sens direct. Direct quelconque. Et soit p, q et r trois points du plan tels que les triangles b, p, c, c, q, a et a, r, b soient équilatéraux directs. On a p. On va faire p. On va faire q, par exemple. Il faut que q soit tel que a, q, c, a, c, q ou c, q, a soient équilatérales directs. Ça veut dire que q doit être de ce côté de a, c parce qu'il doit être direct. Et c doit être équilatéral. On prend le compas et on trace ici. On reporte la longueur a, c ici et ici. Et on a un triangle équilatéral direct. On fait de même avec p et q. Donc r et p. Maintenant, on veut tracer les points p, q, r trois points du plan tels que c'est ce qu'on a fait. On a respectivement u, v, w, le centre de gravité du triangle b, p, c, c, q, a, r, b. On va tracer les centres de gravité de ces différents triangles rouges, verts, bleus. Pour cela, j'avais dit précédemment qu'on avait le choix entre les médianes, les bisectrices ou les hauteurs. J'ai choisi les hauteurs parce que c'est plus simple à tracer. On a w ici, v et u. On aurait pu faire les bisectrices ou les médianes. C'est juste qu'on a une équerre, c'est plus simple, c'est plus rapide. L'avantage des bisectrices ou des médianes, c'est que ça se trace plus facilement au compas par exemple. Vous avez le choix. Il faut montrer que le triangle formé par u, v, w est équilatéral direct et que son centre de gravité est confondu avec celui du triangle a, b, c. Le centre de gravité de u, v, w est confondu avec celui de a, b, c. On a l'impression qu'il est équilatéral. Maintenant, il faudra s'en convaincre par le calcul. Un dessin n'est pas une preuve. Ça peut illustrer une preuve, mais on ne peut pas aller mesurer sur le dessin. Ah oui, il est bien équilatéral. On veut montrer que u, v, w sont équilatérales directs. On a prouvé que ça c'était équivalent. C'est parti. On va écrire des choses sur u, v, w. Comme a, r, b sont équilatérales de bas et de centre à w, on n'a que a, w bisectrice de r, a, b et b, w bisectrice de a, b, r. a, w c'est la bisectrice de cet angle et b, w c'est la bisectrice de cet angle-là. Ainsi, vu que c'est des bisectrices et que c'est des triangles équilatéraux, lorsqu'on fait pi sur 3, les bisectrices coupent les angles ici en pi sur 6. Et du coup, cet angle est égal à ainsi. Donc, w, b égale w, a. Et w, b, w, a. Donc, w, b, w, a, ici, est égal à 2pi sur 3 par angle complémentaire. Ainsi, on a a moins w est égal à j, b moins w. Et la fixe de w est égale à a moins j, b divisé par 1 moins j. De même pour les triangles équilatéraux. Là, j'ai réécrit, je suis allé un peu vite peut-être. Ici, on a réécrit que a moins w, ici c'est w, a. Et b moins w, w, b est égal à, on a une rotation ici d'angle 2pi sur 3, donc j, entre a moins w et b, w. Donc, ça nous donne, si on réorganise, sur la fixe de w, est égal à a moins j, b divisé par 1 moins j. Ainsi, on procède de même pour les autres triangles équilatéraux. On n'a pas besoin de refaire la démonstration. On fait la même chose, mais avec les points différents. On obtient c moins v est égal à j, a moins v. Ce qui nous donne v est égal à c moins j, a sur 1 moins j. Et pareil pour u, qui est égal à b moins j, c sur 1 moins j. Maintenant, on calcule, parce qu'on connaît les affixes de w, v et u. On calcule u plus iv plus i carré w. Et ça donne bien 0. Tout ça, ça simplifie. Donc, d'après la question 2, on a bien que u, v, w est équilatéral direct. Maintenant, on doit prouver que les deux centres de gravité concordent. Si on prend les trois équations ici, 1 plus 2 plus 3, si on somme toutes ces équations ici, plutôt celle-là, si on somme celle-là, ça nous donne que a plus b plus c moins u plus v plus w est égal à j facteur de a plus b plus c moins u plus v plus w. Ça nous dit que a plus b plus c est égal à u plus v plus w. Et si on note b1 et b2, les barils centres de abc et uvw respectivement, on a que ob1, donc o étant l'origine, ob1 est égal à oa plus ob plus oc, c'est la définition du baril centre ob1 de abc, qui est égal à ou plus ov plus ow, grâce à cette équation qui est la définition du baril centre de b2. Ainsi, b1 égal à b2 et uvw et abc ont le même baril centre. Voilà, c'est la fin de cet exercice. A plus !

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