Cours de Limite et continuité en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Limite et continuité

Introduction Convergence

Dans ce cours sur les limites de fonctions, nous allons aborder des concepts pratiques tels que les tableaux de fonctions de référence et les combinaisons de limites. Il sera important de connaître par cœur certains tableaux, par exemple la limite de 1 sur x en plus infini. Nous étudierons également des cas plus complexes, où une fonction tend vers l'infini et une autre vers moins l'infini. Dans ce contexte, nous analyserons le rapport entre ces fonctions et leur produit. Parmi les règles à connaître, il y en aura quatre appelées "formes indéterminées" pour lesquelles il n'existera pas de règles préétablies. Ces cas particuliers constitueront une source d'exercices et de pièges, il sera donc important de les comprendre et de les maîtriser. Nous aborderons également des théorèmes de convergence, similaires à ceux appliqués aux suites. Par exemple, le théorème des gendarmes, où deux fonctions encadrent une troisième et l'amènent vers la même limite finie. Il y aura également le théorème de comparaison pour les limites infinies, qui explique que si une fonction est "plus petite" qu'une autre et tend vers l'infini, alors cette dernière la suivra dans sa limite. Nous étudierons également la croissance comparée, en comparant la limite de l'exponentielle avec des polynômes, ainsi que les limites de fonctions composées. Pour les fonctions plus complexes, nous utiliserons des méthodes de décomposition en sous-blocs pour analyser leur limite. En résumé, il sera important de reconnaître les tableaux de référence pour les fonctions, de comprendre les opérations sur les limites et de mémoriser les quatre formes indéterminées. Les théorèmes de comparaison, des gendarmes, de croissance comparée et les limites des fonctions composées seront également à maîtriser. En termes de méthodes, nous présenterons deux approches pratiques pour gérer les formes indéterminées, notamment l'utilisation du terme du plus haut degré et la méthode de quantité conjuguée. En conclusion, une fois que vous aurez assimilé ces points de cours et ces méthodes, vous serez prêts à aborder les différents types de limites que nous vous présenterons. N'hésitez pas à poser des questions dans la FAQ ou à consulter les discussions déjà existantes sur les sujets qui vous intéressent. À bientôt !

Tableaux : fonctions de référence

Dans cette vidéo, nous faisons un bilan des différentes fonctions de référence en mathématiques et de leurs limites. Nous examinons également les règles pour les combinaisons de limites, telles que la somme, le produit et le quotient. Nous commençons par étudier la fonction 1/x et expliquons que sa limite devient plus ou moins l'infini lorsque x approche à la fois positif et négatif. Ensuite, nous examinons les limites de la fonction x^n, où n est un nombre entier, et montrons graphiquement comment ces fonctions tendent vers l'infini lorsque x devient de plus en plus grand. Nous discutons également de l'exponentielle et de la racine carrée, montrant comment ces fonctions évoluent graphiquement. Enfin, nous expliquons comment manipuler ces fonctions en prenant en compte le signe de l'exposant ou de l'exponentielle et comment cela peut affecter les limites. Nous encourageons les spectateurs à retenir ces propriétés et à consulter la FAQ pour plus d'informations.

Tableaux : combiner des limites

Le cours traite principalement des limites d'une somme et d'un produit, en utilisant des exemples simples pour illustrer les concepts. Globalement, on constate que lorsque les fonctions f et g tendent chacune vers une limite L et L', la somme tend vers L + L' et le produit tend vers L * L'. De plus, lorsque l'une des limites est infinie, elle l'emporte toujours. Par exemple, si L est positif, le produit tendra vers l'infini et s'inversera si L est négatif. Il est important de retenir que ces exemples ont du sens, mais il existe deux cas indéterminés où il est difficile de déterminer ce qui se passe : la multiplication de 0 par l'infini et l'addition de l'infini positif et de l'infini négatif. Une forme indéterminée signifie qu'il n'y a pas de règle fixe et que différents résultats sont possibles. Le quotient de fonctions suit des règles similaires, avec des résultats différents en fonction des limites. Les formes indéterminées à retenir sont 0 sur 0 et l'infini sur l'infini. Il est recommandé de s'entraîner à créer des exemples simples pour faciliter la compréhension. La vidéo couvre l'essentiel du sujet et insiste particulièrement sur les formes indéterminées, qui nécessitent une attention particulière.

Comparaison et encadrement

Ce cours présente deux théorèmes de comparaison en mathématiques, qui permettent de comparer des fonctions et de déterminer leurs comportements asymptotiques. Le premier théorème de comparaison stipule que si deux fonctions f et g sont telles que f tend vers l'infini et g est plus grande que f, alors f va "pousser" g et les deux fonctions tendront vers l'infini. Un exemple est donné pour illustrer ce théorème en prenant les fonctions f(x) = x²/4 + x et g(x) = x²/4 + x²/32. Il est montré graphiquement que g(x) est toujours au-dessus de f(x) et que si f tend vers l'infini, alors g tendra également vers l'infini. Le deuxième théorème présenté est le théorème des gendarmes, également appelé théorème d'encadrement. Ce théorème est basé sur le concept d'encadrement d'une fonction entre deux autres fonctions. Si f et h encadrent une fonction g telle que f est inférieure à g et g est inférieure à h, et que les limites de f et h sont égales à un réel L, alors la limite de g sera également égale à L. Une illustration graphique est donnée pour montrer comment les deux fonctions encadrent une troisième fonction et que si les limites de f et h sont les mêmes, la limite de g sera également la même. En conclusion, ces théorèmes de comparaison sont utiles pour comparer et étudier le comportement des fonctions en s'inspirant de fonctions "plus jolies" et pour déterminer leurs limites. Ils sont particulièrement utiles dans les exercices mathématiques.

Croissance comparée exp et ln

Dans ce cours, nous étudions la croissance comparée et les limites de fonctions. La croissance comparée est l'idée selon laquelle l'exponentiel dominera toujours sur les puissances de x, peu importe leur valeur. Par exemple, si nous prenons l'exponentiel de x divisé par x puissance 7000, nous pourrions penser que cette expression tendra vers 0, mais en réalité, l'exponentiel domine complètement sur les puissances de x et tendra vers l'infini. Nous pouvons également observer cette domination en examinant le graphique de l'exponentiel. Il monte rapidement vers l'infini et s'écrase rapidement vers zéro. Par conséquent, même les puissances de x comme x2 ou x3 seront éventuellement dépassées par l'exponentiel. Pour démontrer la croissance comparée de manière générale, nous utilisons le théorème de comparaison. Nous prouvons d'abord le cas particulier de E2x/x tendant vers l'infini à l'aide du tableau de variation de la fonction. Ensuite, nous utilisons ce résultat pour démontrer le cas général avec n étant un entier quelconque. Nous utilisons des astuces de changement de variable et les propriétés des puissances pour simplifier les expressions et prouver finalement que E(x/n)^n tend vers l'infini

Limite des fonctions composées

Le chapitre des limites de fonctions aborde le concept de composition de fonctions. On commence par un exemple concret : trouver la limite de racine de (1 + e^x) lorsque x tend vers l'infini. Pour cela, on décompose la fonction en deux parties : d'abord la fonction f(x) = 1 + e^x, puis ensuite on ajoute la racine. On souhaite démontrer que cette limite est égale à 1. Cependant, il faut rappeler qu'il faut utiliser un théorème mathématique pour justifier cette démarche. On ne peut pas simplement rajouter la racine de manière intuitive, il faut le prouver. Le théorème en question permet de composer deux fonctions et d'obtenir leur limite. La rédaction de cette démonstration consiste à considérer d'abord la limite de la première fonction f(x) = 1 + e^x, qui tend vers 1 lorsque x tend vers moins l'infini. Ensuite, on s'intéresse à la limite de la fonction racine en 1. On conclut alors que la limite de racine de f(x) est égale à 1. La formule générale du théorème énonce que si la limite de f(x) est b lorsque x tend vers a, et si la limite de g(x) est c lorsque x tend vers b, alors la limite de la composition g(f(x)) lorsque x tend vers a est égale à c. En résumé, ce chapitre aborde la notion de composition de fonctions pour trouver des limites. Il est important de se rappeler qu'il faut utiliser un théorème pour justifier cette démarche.

Forme indéterminée : utilisation du terme plus haut degré

Dans ce cours, nous allons voir comment déterminer les limites infinies des polynômes et des fonctions rationnelles. La méthode à utiliser est la factorisation par le terme de plus haut degré, appelé "terme de Claudegris". Ce terme sera le seul à prendre en compte pour déterminer la limite. Prenons l'exemple de la fonction G(x) = x^4 + 4x^2 - 2x. On peut voir que cette fonction a une forme indéterminée, car pour x tendant vers plus ou moins l'infini, la somme des termes tend vers l'indéterminé. En factorisant par x^4, on obtient : G(x) = (1 + 4/x^2 - 2/x^3). Peu importe que x tende vers plus ou moins l'infini, cette expression tend vers 0. Ainsi, x^4 tend vers plus l'infini. Pour une fonction rationnelle ayant un quotient de deux polynômes, la méthode est la même. On factorise le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré. Prenons l'exemple de la fonction rationnelle H(x) = 2x^2 / (1 - x). En factorisant le dénominateur par le terme de Claudegris, x, on obtient : H(x) = 2x / (x - 1/x). Cette expression tend vers -1, que ce soit pour x tendant vers plus ou moins l'infini. Ainsi, le quotient de 2x par (x - 1/x) tend vers moins l'infini pour x tendant vers moins l'infini, et vers plus l'infini pour x tendant vers plus l'infini. En résumé, il suffit de factoriser par le terme de plus haut degré pour résoudre les indéterminations des polynômes et des fonctions rationnelles. Il est important de maîtriser cette méthode qui fonctionne à tous les coups. N'hésitez pas à vous entraîner si vous avez encore des doutes.

Forme indéterminée : Méthode quantité conjuguée

La méthode de la quantité conjuguée est utilisée lorsque nous avons des racines dans une équation. Les racines ne s'additionnent pas bien, donc nous essayons souvent de multiplier la quantité conjuguée pour les supprimer. Dans l'exemple donné, nous avons une fonction avec une forme indéterminée lorsque x approche de 0. Cependant, lorsque x est proche de 0+, le terme devient 1/1, ce qui n'est pas indéterminé. Cependant, lorsque nous approchons de l'infini, la forme devient indéterminée. Dans ce cas, nous utilisons la quantité conjuguée en multipliant le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée. Cela fait disparaître les racines du dénominateur, mais en fait apparaître dans le numérateur. Cependant, le fait d'obtenir un plus au lieu d'un moins dans le numérateur rend la forme non indéterminée. Dans l'exemple donné, nous obtenons une expression simplifiée sans dénominateur, qui est racine de x plus 1 plus racine de x. Cette forme n'est plus indéterminée et tend vers l'infini lorsque nous approchons de l'infini. La méthode de la quantité conjuguée est une méthode classique utilisée lorsque nous analysons des équations avec des racines.

Limites : la Croissance comparée

La croissance comparée est une méthode très utile en mathématiques. Lorsque nous étudions la fonction e de x sur x, nous pouvons observer que lorsque x tend vers moins l'infini, cette fonction tend vers 0. De plus, grâce à la croissance comparée, nous savons que e de x l'emporte sur toute puissance de x, ce qui signifie que même lorsque x tend vers plus l'infini, cette fonction tendra toujours vers plus l'infini. Ensuite, nous étudions une autre fonction appelée h. En utilisant la croissance comparée, nous pouvons transformer cette fonction en une formulation plus simple, en posant grand x égal à x. Ainsi, lorsque x tend vers moins l'infini, grand x tend vers plus l'infini, ce qui nous permet de simplifier la fonction. Par composition des limites, nous pouvons déduire que cette fonction tendra vers 0 lorsque x tend vers moins l'infini. En général, la croissance comparée nous permet de déterminer rapidement le comportement de différentes fonctions. L'exponentielle l'emporte sur toutes les puissances de x, tandis que le logarithme perd toujours contre les puissances de x. Il est important de se rappeler de ces références de croissance comparée pour résoudre plus facilement les problèmes. Si vous avez des questions supplémentaires, n'hésitez pas à consulter la FAQ.

Double racine

Bonjour à tous, je vais corriger cet exercice sur les limites. C'est un exercice de difficulté intermédiaire qui porte sur l'étude des limites d'une fonction f(x) = √(x) + √(1+x²). Tout d'abord, il est important de déterminer sur quel ensemble de définition la fonction est définie. Pour cela, nous devons vérifier que les racines sont bien définies. Dans un premier temps, nous vérifions que la racine la plus imbriquée (√(1+x²)) est définie pour tout x réel. En observant l'expression, nous constatons que pour tout x réel, 1+x² est toujours positif, donc il n'y a pas de problème pour la première racine. Ensuite, nous regardons la deuxième racine (√(x+√(1+x²))). Si x est supérieur à 0, il n'y a aucun problème car x est positif et la racine est également positive. Si x est inférieur à 0, nous devons comparer les deux termes. En utilisant l'inégalité 1+x² > x², nous pouvons prendre la racine des deux côtés. Ainsi, nous obtenons √(1+x²) > |x|, ce qui signifie que x est négatif. Donc, l'intérieur de la racine est positif et la racine est définie pour tout x réel. Nous concluons que la fonction f est définie sur l'ensemble des réels. Ensuite, nous étudions le tableau de variation de la fonction. Pour cela, nous devons justifier la dérivabilité de la fonction sur tout l'ensemble des réels. La fonction racine n'est pas dérivable en 0 car elle a une pente infinie à cet endroit. Donc, nous devons étudier cela de plus près. En simplifiant l'expression de la fonction, nous constatons que l'intérieur des racines doit être strictement positif. Nous avons déjà montré cela précédemment. Donc, la fonction f est dérivable sur tout l'ensemble des réels. Calculons maintenant la dérivée de la fonction. En posant u(x) = x + √(1+x²), nous dérivons cette fonction et obtenons u'(x) = (√(1+x²) + x) / √(1+x²). En utilisant les formules de dérivation pour les racines, nous obtenons la dérivée de f qui est égale à (√(1+x²) + x) / 2√(1+x²). Nous constatons que le terme au numérateur et le terme au dénominateur sont strictement positifs. Par conséquent, la dérivée de f est toujours positive et la fonction f est strictement croissante sur tout l'ensemble des réels. Passons maintenant aux limites de la fonction. La limite de f lorsque x tend vers l'infini est égale à l'infini. En justifiant par composition, nous pou

Calculs de limites complexes

Bonjour à tous, dans ce cours nous allons aborder des exercices complexes sur les limites. Ces exemples sont destinés à ceux qui souhaitent se préparer pour l'année prochaine. Le premier exercice concerne des racines, il faut utiliser la quantité conjuguée pour simplifier l'expression. En utilisant cette méthode, on obtient une limite de 1/2. Le deuxième exercice porte sur des puissances et on remarque que l'expression est indéterminée. En utilisant les taux d'accroissement et la dérivée, on parvient à trouver la limite qui est égale à (n+1)/n. Le troisième exercice fait intervenir la partie entière d'un nombre. En encadrant la fonction, on peut déterminer sa limite qui est l'infini. Le quatrième exercice est composé de nombreuses racines, il faut utiliser la quantité conjuguée pour simplifier l'expression. En décomposant les termes et en utilisant les taux d'accroissement, on obtient une limite de -1/(2√a). Ces exercices représentent des exemples complexes qui permettent de se familiariser avec les limites et d'apprendre à les résoudre de manière efficace.

Asymptote et position relative

Ce cours est une transcription d'une vidéo qui traite d'une étude de fonctions avec une approche SEO friendly. Le professeur aborde une fonction classique et explique son étude d'asymptote ainsi que sa position relative. Il souligne l'importance de certains réflexes à avoir pour réussir l'exercice, tels que la factorisation et la prise en compte des limites en plus et moins l'infini. Le professeur explique qu'il factorise la fonction f2x par 2 fois x plus 4, ce qui lui permet de simplifier l'expression et de trouver rapidement la limite en plus et moins l'infini (1,5). Il souligne également l'intérêt d'une réécriture de la fonction en utilisant des polynômes de degré 1 au numérateur et au dénominateur, ce qui facilite la résolution de l'exercice. En appliquant cette réécriture, le professeur identifie deux asymptotes : une asymptote horizontale à y = 1,5 et une asymptote verticale à x = -4. Ces asymptotes permettent de répondre à la question 1. En ce qui concerne la question 2, qui porte sur la position relative de CF par rapport à l'asymptote horizontale, le professeur utilise la différence entre l'expression de la fonction et celle de l'asymptote. Grâce à la réécriture, il trouve que cette différence est égale à -3/(x + 4), ce qui lui permet de conclure que la fonction est en dessous de l'asymptote horizontale pour x très positif et au-dessus pour x négatif. Pour résumer, ce cours met en avant l'importance des réflexes de factorisation, de prise en compte des limites en plus et moins l'infini, et de réécriture pour étudier les fonctions. Il montre également comment trouver rapidement les asymptotes et déterminer la position relative de la function par rapport à celles-ci.

Étude TRES complète

Ce cours porte sur la recherche des bornes de définition d'une fonction et la détermination des limites aux bornes. Pour trouver les bornes de définition, il faut s'assurer que ce qui se trouve sous la racine carrée est positif ou nul. On sait que cela se produit lorsque x est strictement supérieur à 1 ou strictement inférieur à -1. Ensuite, il faut également vérifier que la racine carrée de x²-1 est différente de zéro, car on ne peut pas diviser par zéro. Pour résoudre ce problème, il faut faire attention à ne pas simplement supprimer -1 et 1 pour garder les valeurs entre -1 et 1. En effet, cela ne fonctionne pas car il y a des valeurs pour lesquelles la fonction deviendrait négative. On peut vérifier cela en substituant x par 0.5 par exemple. Les bornes de définition de la fonction sont donc les intervalles entre -∞ et -1, entre -1 et 1, entre 1 et ∞. Il est également utile de vérifier si la fonction est paire ou impaire. Si elle est impaire, cela signifie que si on connaît son évolution pour x croissant, on peut automatiquement en déduire son évolution pour x décroissant. Cela permet de diviser par deux la quantité de travail nécessaire pour calculer les limites. Dans cet exercice, la fonction est impaire, ce qui signifie que si on trouve les limites pour x tendant vers +∞ et x tendant vers -∞, on peut en déduire les limites pour x tendant vers -∞ et x tendant vers +∞ respectivement. En utilisant cette information, on peut trouver les limites pour les segments de droite et pour x tendant vers +∞. Dans le cas où on n'observe pas l'imparité de la fonction, on peut utiliser d'autres méthodes pour trouver les limites. Ensuite, l'auteur du cours explique comment trouver les limites pour x tendant vers 1 et x tendant vers -∞. Il utilise la propriété de la racine carrée et la règle de la parité pour simplifier les calculs. Finalement, il conclut en expliquant qu'il y a bien des asymptotes pour cette fonction. Il mentionne qu'il y a une asymptote horizontale à y = 1 pour les limites en +∞ et une asymptote verticale à y = -1 pour les limites en -∞. Il précise également qu'il y a une autre asymptote verticale à x = 0+ pour les limites lorsque x approche de 0+. En résumé, ce cours explique comment trouver les bornes de définition d'une fonction, déterminer les limites aux bornes, et identifier les asymptotes.

Asymptote oblique

L'asymptote oblique est étudiée dans ce cours. Il est précisé que cela faisait partie du programme de première, mais apparemment cela a changé. L'enseignant mentionne qu'il était habitué à faire des exercices sur les asymptotes obliques en première, et il recommande de les étudier car cela peut être demandé aux examens. Il explique que l'asymptote oblique est une droite de la forme AX plus B, vers laquelle la fonction se rapproche lorsque x tend vers plus ou moins l'infini. Dans l'exercice présenté, il simplifie une fonction en différentes fractions pour rendre le calcul plus facile. Il souligne également l'importance de séparer les fractions pour simplifier l'analyse de la fonction. Il mentionne que certaines astuces peuvent être utiles, comme reconnaître une expression comme un carré parfait. L'enseignant poursuit en étudiant les variations de la fonction. Il explique que la dérivabilité de la fonction est souvent un critère utilisé pour déterminer les variations. Il rappelle que les racines de x et la fonction valeur absolue sont des cas particuliers où la dérivabilité pose problème. Il effectue des calculs pour déterminer la dérivée de la fonction et analyse les signes de celle-ci. Il note que la fonction est dérivable en dehors des racines et utilise ces informations pour compléter un tableau des variations. Ensuite, il calcule les limites de la fonction aux extrémités de l'intervalle d'étude. Il remarque que les limites tendent vers l'infini et complète le tableau en indiquant les limites aux différents points. Il fait également une observation sur l'asymptote verticale en x=0. Enfin, l'enseignant aborde la question des asymptotes dans l'exercice. Il conclut qu'il y a une asymptote verticale en x=0 mais pas d'asymptote horizontale car la limite de la fonction tend vers l'infini. Il mentionne ensuite la nécessité de déterminer les limites et d'étudier la position relative des deux expressions, en analysant le signe de leur différence. Il rappelle la simplicité de cet exercice grâce à la bonne expression utilisée.

Croissance comparée plus lourde

Dans ce cours, il est question de la croissance comparée et de la fonction exponentielle E de x. L'objectif est de simplifier l'expression en utilisant la comparaison entre E de x et une autre puissance. On met en évidence le terme qui semble être le plus important, c'est-à-dire E de x. On simplifie ensuite l'expression en la divisant par E de x en haut et en bas. On obtient ainsi une expression idéale égale à 1-E de x. On remarque que E de x tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini. On décompose également l'expression en différentes parties et on constate que chacune tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini. On conclut donc que l'expression tend vers 0.

Difficile : BAC 2009

Ce cours est une transcription d'une vidéo qui date de 2009 et concerne l'étude d'une fonction. Dans cet exercice, il est demandé d'étudier une fonction, de trouver sa limite en plus infini, et de montrer qu'elle admet un maximum. Pour trouver la limite en plus infini, on utilise la croissance comparée. On compare la convergence de l'exponentielle à celle des puissances de x lorsque x tend vers plus infini. On constate que l'exponentielle domine toujours une puissance de x, par conséquent, la limite de la fonction est 0 lorsque x tend vers plus infini. Ensuite, pour montrer que la fonction admet un maximum, on calcule sa dérivée. On applique la formule du produit de deux fonctions, ce qui donne une expression avec des exponentielles. On utilise une règle de dérivation pour simplifier l'expression. On constate que la dérivée est positive ou nulle sur l'ensemble des réels positifs. On trouve que la dérivée est positive lorsque x est plus petit que la racine de 2 sur 2 (√2/2), et négative lorsque x est plus grand que √2/2. En construisant un tableau de variations, on détermine que la fonction monte puis descend, avec un maximum en √2/2. Pour calculer la valeur du maximum, on remplace x par √2/2 dans la fonction et on simplifie l'expression. On obtient racine de 2 sur 2 fois l'exponentielle de -1,5. Cela conclut l'exemple.

Exp : indéterminée en -∞

Ce cours aborde la démonstration d'un exercice classique en mathématiques. L'objectif est de rappeler une limite importante et d'étudier les variations d'une fonction dérivable. Le professeur utilise des techniques de calcul pour simplifier les expressions et établir les résultats demandés. Notamment, il démontre que la limite de la fonction tend vers l'infini et identifie une asymptote horizontale à la courbe. Enfin, il effectue un tableau de variations pour déterminer les intervalles où la dérivée de la fonction est positive ou nulle. La conclusion indique que la limite de la fonction, quand X tend vers moins l'infini, est égale à 1, ce qui permet de déduire une autre asymptote horizontale à la courbe.

Vers la SUP : Quantité conjuguée

Dans ce cours, il est expliqué que le nombre d'éléments de la somme reste fixe, représenté par n. En revanche, la valeur de x va augmenter. Pour résoudre cet exercice, il est conseillé d'utiliser la méthode de la quantité conjuguée. En utilisant cette méthode, on peut réécrire la somme en utilisant des racines et en les mettant en paire avec une racine principale. En multipliant chaque terme de la somme par la quantité qu'on souhaite obtenir, on obtient une expression qui peut être simplifiée. Le tout tend vers 0 lorsque x tend vers plus l'infini. La clé pour résoudre cet exercice est de dépasser les peurs et les stress liés à l'écriture et de bien comprendre les concepts fondamentaux, tels que la quantité conjuguée.