Cours de Dérivation et étude de fonctions en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Dérivation et étude de fonctions

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Dérivabilité par la définition formelle

Dans cette vidéo, nous abordons un exercice concernant la notion de prolongement par continuité. On examine une fonction f définie par f(x) = x^2*sin(1/x). On doit prouver trois choses : 1) f peut être prolongée par continuité en 0, 2) f est dérivable sur R, et 3) f' n'est pas continue en 0. Pour montrer que f peut être prolongée par continuité en 0, nous commençons par noter que f est continue sur R* (l'ensemble des réels non nuls) car elle est le produit et la composition de fonctions continues. Ensuite, nous prouvons que f a une limite finie en 0. En effet, en utilisant les bornes du sinus, nous encadrons f(x) par -x^2 et x^2. Or, ces deux expressions tendent vers 0 lorsque x tend vers 0. Donc, par encadrement, on conclut que f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Ainsi, f est prolongeable par continuité en 0. Ensuite, nous montrons que f est dérivable sur R. Comme précédemment, on remarque que f est dérivable sur R* car elle est le produit et la composition de fonctions dérivables. Pour prouver qu'elle est dérivable en 0, nous revenons à la définition fondamentale de la dérivée, qui est la limite du taux d'accroissement. En calculant le taux d'accroissement, nous trouvons que celui-ci est égal à h*sin(h). En utilisant l'encadrement du sinus, nous concluons que h*sin(h) tend vers 0 lorsque h tend vers 0. Donc, f est dérivable sur tout R. Enfin, nous démontrons que f' n'est pas continue en 0. Nous utilisons une caractérisation séquentielle de la limite pour cela. En calculant f', nous obtenons f'(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x). En choisissant une suite un égale à 1/(2πn), nous remarquons que un tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, mais f'(un) = -1 pour tout n appartenant à N. Ainsi, la limite de f'(un) n'est pas égale à 0, qui est la valeur attendue pour la dérivée en 0. Par conséquent, nous concluons que f' n'est pas continue en 0 et donc que f n'est pas C1 sur R. En résumé, dans cette vidéo, nous avons montré que la fonction f(x) = x^2*sin(1/x) peut être prolongée par continuité en 0, est dérivable sur tout R, mais que sa dérivée f' n'est pas continue en 0, ce qui signifie que f n'est pas C1 sur R.

Inégalités classiques !

Dans cette vidéo, nous avons abordé un exercice classique en mathématiques qui consiste à démontrer trois inégalités importantes. La première inégalité à démontrer est que pour tout x supérieur ou égal à 0, le sinus de x est inférieur ou égal à x. En étudiant les variations de la fonction sinus de x moins x, nous montrons que cette fonction est décroissante et atteint son maximum en 0. Ainsi, nous concluons que pour tout x dans R+, le sinus de x est inférieur ou égal à x. La deuxième inégalité à démontrer est que pour tout x appartenant à R, l'exponentielle de x est supérieure ou égale à 1 plus x. Nous utilisons le fait que la fonction exponentielle est convexe pour montrer que sa courbe se situe au-dessus de sa tangente en 0, qui est x plus 1. Par conséquent, pour tout x dans R, l'exponentielle de x est supérieure ou égale à 1 plus x. Enfin, la dernière inégalité à démontrer est que pour tout x dans (-1, +∞), le logarithme népérien de 1 plus x est inférieur ou égal à x. En utilisant le fait que la fonction ln de 1 plus x est concave, nous montrons que sa courbe se situe en-dessous de sa tangente en 0, qui est x. Ainsi, pour tout x dans (-1, +∞), ln de 1 plus x est inférieur ou égal à x. Ces inégalités sont classiques et importantes à maîtriser, et vous les utiliserez fréquemment en prépa et même dans votre vie.

Fonction réciproque

Dans ce cours, nous étudions une fonction polynomiale de degré 3, f, et nous devons montrer qu'elle possède une fonction réciproque, g, sur R. Ensuite, nous devons montrer que g est dérivable sur R et exposer g' en fonction de g. Enfin, nous devons prouver que g est deux fois dérivable sur R, exposer g'' en fonction de g et donner la valeur de g'' en 0. Tout d'abord, nous notons que f est continue et dérivable sur R puisqu'elle est un polynôme de degré 3. Nous dérivons f et remarquons que sa dérivée est strictement positive, ce qui implique que f est strictement croissante sur R. De plus, f tend vers plus l'infini lorsque x tend vers plus l'infini et f tend vers moins l'infini lorsque x tend vers moins l'infini. En analysant le graphique de f, nous observons qu'elle visite toutes les valeurs de R une seule fois, ce qui est la définition d'une fonction bijective. Par conséquent, f est bijective de R dans R et possède une fonction réciproque, g. Ensuite, nous démontrons que g est dérivable en utilisant un rappel. Si f est dérivable et bijective avec f' strictement supérieur à 0 pour tout x, alors la fonction réciproque g est dérivable sur l'image du domaine de définition de f et g' est égal à 1 sur f'g. Dans notre cas, nous avons déjà prouvé que f est dérivable sur R avec f' strictement supérieur à 0. Donc, g' de y est égal à 1 sur 3g²y plus 1, où y est dans R. Pour la question suivante, nous utilisons les résultats précédents. Nous dérivons g' à l'aide de la formule obtenue précédemment et nous obtenons une expression pour g'. Ensuite, nous remplaçons g' par cette expression pour obtenir une réponse cohérente avec les questions précédentes. Finalement, nous trouvons g' de 0, qui est égal à -1 sur 36.

Fonction C1

Dans cet exercice, nous avons deux fonctions, f(x) et g(x), et nous devons déterminer si elles sont dérivables ou continûment dérivables. Pour la fonction f(x), nous avons montré qu'elle est continue et dérivable sur R* (l'ensemble des réels non nuls). Ensuite, nous avons prouvé que f(x) est dérivable en 0 en utilisant la définition du nombre dérivé. Nous avons conclu que le taux d'accroissement de f tend vers 0 lorsque h tend vers 0, ce qui signifie que f est dérivable en 0 et que f'(0) = 0. Ensuite, nous avons examiné si f'(x) est continue en 0. Nous avons remarqué que pour tout x dans R*, f'(x) = 2x sin(1/x) - cos(1/x). En utilisant le rappel que f(x) tend vers l lorsque x tend vers a si et seulement si pour toute suite un tendant vers a, f(un) tend vers l, nous avons posé un = 1/(2πn) pour tout n dans N. Nous avons montré que un tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini et que f'(un) = -1 pour tout n dans N, ce qui est différent de 0. Par conséquent, nous avons conclu que f est dérivable sur R mais pas continue, ce qui signifie qu'elle n'est pas C1 (continûment dérivable) sur R. Pour la fonction g(x), nous avons montré de la même manière que précédemment qu'elle est C1 sur R* et dérivable en 0. Ensuite, nous avons montré que g'(x) est continue en 0 en calculant sa dérivée g'(x) = 3x² sin(1/x) - x cos(1/x). En utilisant l'inégalité triangulaire et le fait que sin(1/x) et cos(1/x) sont inférieurs ou égaux à 1, nous avons montré que g'(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0, ce qui est égal à g'(0). Par conséquent, nous avons conclu que g est C1 sur R. Résumé SEO friendly: Dans cet exercice, nous avons analysé les fonctions f(x) et g(x) pour déterminer leur dérivabilité et leur continuité. Nous avons montré que f(x) est dérivable en 0 mais pas continue sur R, tandis que g(x) est dérivable en 0 et continue sur R.

Dérivée d’une composée

Dans cette transcription de la vidéo, Corentin présente un exercice qui combine la dérivation et les polynômes. L'exercice consiste à montrer que la dérivée de la fonction f(x) est égale à une autre fonction Q(x), où f(x) est défini comme f(x) = P(1/(1-x)) * e^(1/(1-x)). On doit également trouver la relation entre les polynômes P(x) et Q(x). Pour résoudre cet exercice, Corentin propose de dériver. La dérivée de f(x) est alors égale à P'(1/(1-x)) * (1-x)^2 * e^(1/(1-x)) + P(1/(1-x)) * (1/(1-x))^2 * e^(1/(1-x)). En factorisant par e^(1/(1-x)), on obtient le polynôme Q(1/(1-x)) = P'(1/(1-x)) + P(1/(1-x)) * (1/(1-x))^2. En posant Q(x) = P'(x) + P(x) * x^2, on obtient notre polynôme Q(x) et la relation entre Q et P. Cet exercice est simple, mais il est souvent demandé lors des examens oraux et écrits car il est fréquemment utilisé.

Dérivée n-ième

Bonjour à tous, c'est Corentin. Aujourd'hui, nous avons un exercice qui demande beaucoup de calculs et de concentration. L'énoncé demande de dériver la fonction f(x) = x^2 * ln(1+x) n fois. Nous remarquons qu'il s'agit du produit de deux fonctions, ce qui nous amène à la formule de Leibniz. Selon cette formule, la dérivée n-ième de f est égale à la somme des produits de g dérivée k fois et de h dérivée n-k fois, pour k allant de 0 à n. En identifiant nos fonctions g(x) = ln(1+x) et h(x) = x^2, nous pouvons trouver les dérivées successives. Après quelques calculs, nous obtenons que g'(x) = 1+x, g''(x) = -1/(1+x)^2, et pour tout k supérieur ou égal à 3, g^(k)(x) = 0. Quant à h(x), nous avons h'(x) = 2x et h''(x) = 2. Maintenant, nous pouvons appliquer la formule de Leibniz en réinjectant les dérivées trouvées. La fonction f dérivée n fois est égale à une expression compliquée, mais nous pouvons la simplifier en factorisant par v(x). Nous travaillons alors avec v(x) qui est égal à 2x^2 + 2nx + n(n-1). En développant et simplifiant v(x), nous trouvons que f^(n)(x) = 2x^2 + 2nx + n^2 - n(x/(1+x)^2). Finalement, nous arrivons à une expression plus simple pour la dérivée n-ième de f(x) qui est 2x^2 + 2nx + n^2 - n(x/(1+x)^2). Cet exercice nécessite des calculs précis et de la rigueur. Cependant, il est important de noter qu'il est essentiel de simplifier les expressions et de diviser le travail en étapes. La compréhension de la formule de Leibniz, l'identification des fonctions et le domaine de définition, ainsi que la capacité à simplifier sont des compétences clés pour résoudre cet exercice.

Tangente

Dans cet exercice, nous devons démontrer qu'il existe une unique tangente commune aux courbes d'équation y = x² et y = 1/x. Pour cela, nous procédons de la manière suivante : 1. Nous commençons par rappeler l'équation d'une tangente en un point A : f'(A) * x - A + f'(A). 2. Nous posons f(x) = x² et calculons la tangente de f en un point A, qui est égale à 2A * x - A². 3. De la même manière, nous posons h(x) = 1/x et calculons la tangente de h en un point B, qui est égale à -x/B² + 2B. 4. Pour que les tangentes coïncident, nous égalons les coefficients directeurs et les ordonnées à l'origine des deux tangentes. - Nous obtenons 2A = -1/B² et -A² = 2/B. 5. Nous remarquons que A et B sont des inconnus que nous devons déterminer, contrairement aux exercices habituels où les points sont fixés. 6. En factorisant et en résolvant le système linéaire obtenu, nous trouvons A = -2 et B = -1.5. 7. En vérifiant, nous constatons que les tangentes en A = -2 et B = -1.5 coïncident. Ainsi, nous avons démontré l'existence d'une unique tangente commune aux courbes y = x² et y = 1/x.

Inégalités par étude de fonction

Dans cette vidéo, Corentin commence par présenter un exercice qui consiste en une étude de fonction. Il demande aux spectateurs de montrer que la fonction f est dérivable sur R+ et de calculer sa dérivée. En étudiant le signe de cette dérivée, il montre que f atteint un minimum en 1. Ensuite, il aborde une série d'inégalités à démontrer. En utilisant les résultats des questions précédentes, il montre que pour tout x dans R+ , f(2x) est supérieur ou égal à f(2). Il utilise cette inégalité pour établir une deuxième inégalité impliquant des puissances. Enfin, Corentin démontre une dernière inégalité en se référant aux questions précédentes et en utilisant une équivalence. Il divise l'expression x + y^n par y^n (sous l'hypothèse que y^n est différent de zéro) pour se ramener à une inégalité déjà démontrée. Il conclut que pour tout couple (x,y) dans R+², x + y^n est inférieur ou égal à 2^n - 1 fois x^n + y^n. En résumé, cet exercice consiste en une étude de fonction suivie par la démonstration de plusieurs inégalités, en utilisant des résultats précédents et en faisant appel à la concentration et aux astuces des spectateurs.

Racine d’une somme de puissances

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice mathématique concernant une équation fonctionnelle. L'exercice consiste à démontrer qu'une équation donnée admet une unique racine, puis d'étudier le sens de variation d'une fonction et de calculer des limites. Pour simplifier les calculs, Corentin passe à l'exponentiel logarithme et obtient une équation équivalente avec une fonction notée f(x). Il calcule certaines valeurs particulières de f, telles que f(0), et remarque qu'elle est strictement positive. Il cherche alors la limite de f lorsque x tend vers l'infini, mais ne peut pas la trouver car il ne connait pas les valeurs exactes des coefficients a (supérieurs à 0 et classés dans l'ordre croissant). Pour contourner ce problème, Corentin divise l'équation par a, ce qui lui permet d'obtenir une expression plus simple et de calculer la limite de cette nouvelle fonction qu'il appelle ftilde. Il trouve que ftilde tend vers -1 lorsque x tend vers l'infini. Il continue ensuite en calculant la dérivée de f et remarque qu'elle est strictement négative pour tout x dans R, ce qui signifie que f est strictement décroissante. Avec les résultats précédents (f(0) > 0 et limite en l'infini < 0), on peut conclure que f admet une unique racine xA. Pour étudier le sens de variation de la fonction qui associe A à xA, Corentin revient à la définition fondamentale de la croissance et de la décroissance d'une fonction. En comparant fA(x) et fB(x) pour A < B, il montre que fB(x) ≤ fA(x), donc xB ≥ xA. Ainsi, la fonction est décroissante. Enfin, Corentin cherche à calculer la limite de xA lorsque A tend vers l'infini. Comme la fonction est décroissante et minorée par 0, la limite est supérieure ou égale à 0. Par raisonnement par l'absurde, il suppose que la limite est différente de 0 et obtient une contradiction. Donc la limite de xA est bien 0. Il montre également que la limite de xA ln(A) est égale à ln(P), en remplaçant dans l'équation donnée. En résumé, cet exercice permet de démontrer l'existence et l'unicité d'une racine d'une équation fonctionnelle, d'étudier le sens de variation d'une fonction associant A à cette racine, et de calculer des limites.