Cours de Nombres réels et suites numériques en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Nombres réels et suites numériques

Irrationnalité de racine de 2

Dans ce cours sur les suites numériques et réelles, nous allons découvrir comment montrer que la racine de deux est irrationnelle et comment généraliser cela à toutes les racines nième de nombres qui ne sont pas des puissances parfaites. Nous allons utiliser le raisonnement par l'absurde pour supposer que la racine de deux est rationnelle et voir comment cela conduit à une absurdité en termes mathématiques. Nous poursuivrons ensuite avec le cas général et montrerons que, si un nombre n'est pas une puissance parfaite, alors sa racine nième est irrationnelle. Nous appliquerons l'unicité de la décomposition au facteur premier pour démontrer cela. Cette démonstration est un classique à savoir et est importante pour le raisonnement mathématique.

Irrationnalité de log de 2

Ce cours de mathématiques démontre que log2, 2 est un nombre irrationnel en utilisant la méthode de la réduction à l'absurde. En supposant que log2, 2 peut s'écrire sous la forme a sur b, l'auteur montre que cela mène à une contradiction avec la propriété des nombres premiers. Finalement, l'auteur conclut que log2, 2 ne peut être représenté par une fraction et est donc irrationnel.

Opérations sur les bornes inférieure et supérieure

Dans ce cours, on aborde la méthode pour trouver les bornes sup et inf de deux ensembles A et B, qui sont eux-mêmes bornés et non vides. On veut montrer que les bornes sup et inf des ensembles A, B, A+B (l'ensemble des éléments résultats de l'addition des éléments de A et de B), etc. existent et que l'égalité sup A+B = sup A + sup B (et de même pour les bornes inf) est valable.Une borne sup est le plus petit majorant d'un ensemble, ce qui ne veut pas dire qu'il s'agit d'un maximum. Si M est la borne sup d'A, cela signifie qu'il existe un élément de A qui est situé à une distance inférieure à n'importe quelle distance ε de M. La borne sup peut être atteinte, mais ce n'est pas obligatoire. Un maximum est une borne sup qui est atteinte, mais pas toutes les bornes sup sont des maximums.Dans l'exercice, on utilise les bornes sup et inf pour trouver la borne sup de A+B. Le majorant est trouvé en faisant la somme des bornes sup d'A et de B, et on montre que sup A + sup B est inférieur à sup A+B. Ensuite, on montre que sup A+B est égal à sup A + sup B en revenant à la définition et en utilisant la distance entre Alpha/Alpha prime et A0/B0.La même méthode est utilisée pour trouver les bornes inf.

Bornes supérieure et inférieure

Dans cette vidéo, on cherche à trouver les bornes supérieures et inférieures d'un ensemble. L'exemple utilisé est l'ensemble A, qui est composé de 1/n plus ou moins 1, avec n qui décrit n étoiles. Pour trouver les bornes, on doit comprendre comment les éléments de A évoluent. On peut ainsi remarquer que le terme en 1/n décroît vers 0, et que le terme en moins 1/n oscille entre -1 et 1. En examinant les premiers termes, on peut déduire que le plus grand élément de A est 3,5, et que le plus petit est -1. En utilisant des théorèmes d'encadrement, on peut démontrer que la borne inférieure de A est -1, et que la borne supérieure est 3,5. Cette méthode ne nécessite pas toujours de revenir à la définition de la borne supérieure et inférieure avec ε, mais peut être utilisée avec des suites et des théorèmes d'encadrement.

Suites adjacentes

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Irrationnalité de e

Dans ce cours, l'objectif est de montrer que la constante mathématique E est irrationnelle. Cette méthode est plus complexe que celle utilisée pour démontrer l'irrationalité de log de 2 et de la racine de 2, mais elle est guidée. L'énoncé invite à montrer une relation sur E et à encadrer la différence entre cette relation et E. Pour la première question, on utilise une récurrence. Pour encadrer la différence, on utilise l'intégrale de la première question et on essaie de la majorer et de la minorer. Enfin, pour montrer que E est irrationnelle, on suppose qu'elle est rationnelle puis on cherche une absurdité. Il suffit alors de prendre un n bien choisi pour montrer que l'hypothèse est fausse et donc que E est irrationnelle. Cela prouve l'intérêt de cette méthode élégante pour démontrer l'irrationalité de E.

Diamètre d'un ensemble

Dans cet exercice, on veut montrer que le sup de l'ensemble des valeurs absolues de x-y avec x et y qui parcourent A tout entier, c'est égal à sup de A-imp. Pour cela, on utilise la définition de la borne sup avec des petits epsilon. On démontre d'abord que sup de A-imp de A est un majorant de l'ensemble recherché, puis que c'est le plus petit des majorants en utilisant le fait que M et m sont les bornes sup et inf de A. En posant epsilon supérieur à 0 et en utilisant les bornes sup et inf, on montre que sup de l'ensemble B, les valeurs absolues de y-x, est égal à sup de A moins inf de A.

Suite homographique

Une suite homographique est une suite qui vérifie une relation de récurrence de la forme un+1=(aun+b)/(cun+d) définie par récurrence. Si la suite a deux solutions, on pose une suite auxiliaire qui est géométrique. Si elle a une seule solution, on pose une suite auxiliaire qui est arithmétique. On peut trouver l'expression de ces suites auxiliaires et remonter à l'expression de la suite homographique. On illustre cela avec deux exemples de suites homographiques.

Encadrement

Dans ce cours, nous allons découvrir une astuce d'encadrement en mathématiques. Cette astuce est facile et rapide, mais il faut la maîtriser pour pouvoir l'utiliser lors d'exercices. Nous avons deux suites de règles entre 0 et 1, et nous voulons prouver que les deux convergent vers 1. Pour ce faire, nous utilisons la méthode d'encadrement en exprimant la suite un entre 1 et vn, où vn tend vers 1, et en appliquant le théorème d'encadrement pour montrer que la suite un converge vers 1. La même méthode s'applique à la suite vn. Il est important de maîtriser cette astuce car elle peut être utile dans de nombreux exercices.

Suites adjacentes

Ce cours traite des suites adjacentes et leur étude de la variation. Les suites sont couplées et ont une relation de récurrence impliquant UN plus UN, UN-VN et VN plus UN. Le but est de déterminer une combinaison linéaire pour simplifier le problème. En calculant UN plus UN moins UN, on trouve que VN moins UN est une suite géométrique de raison un tiers avec un signe constant. Les sens de variation des deux suites UN et VN sont opposés, donc elles sont monotones, l'une croissante et l'autre décroissante. Les suites ont une différence qui tend vers zéro, donc elles convergent vers une même limite commune L. En trouvant la combinaison linéaire et en passant à la limite, on obtient une équation pour déterminer L. Le cours suggère de trouver soi-même les combinaisons linéaires, ce qui est un peu plus compliqué qu'en terminale.

Nombre d'or

Le nombre d'or est une valeur mathématique importante. Dans cette vidéo, nous abordons une suite particulière définie avec des radicaux, et nous cherchons à déterminer son comportement. Pour cela, nous montrons que la solution positive de l'équation x²-x-1, appelée phi, est comprise entre 1 et 2. Ensuite, nous exprimons la suite en fonction de phi. Nous montrons que la suite est croissante et qu'elle converge vers phi. Nous démontrons également que la convergence est très rapide, en utilisant une inégalité géométrique. Cette méthode permet de déterminer la vitesse de convergence vers une limite en mathématiques.