Cours d'apprentissage en ligne

Seuil de probabilité

Les intervalles de fluctuation sont utilisés pour évaluer si une modélisation probabiliste correspond à la réalité. Ils permettent de déterminer si une certaine probabilité est respectée avec un certain seuil de confiance. Pour illustrer cela, prenons l'exemple d'une troupe de théâtre qui souhaite savoir si elle est sûre de pouvoir jouer avec un intervalle de confiance de plus de 95%. On suppose que le nombre de spectateurs suit une loi binomiale de paramètres n=100 et p=0.15. Pour trouver la réponse, nous devons repérer l'intervalle demandé (plus grand que 10), les paramètres de la loi (n=100 et p=0.15) et le seuil de confiance (95%). En utilisant une calculette, nous calculons la probabilité que le nombre de spectateurs soit supérieur ou égal à 10, ce qui donne 94.5%. Cette probabilité est juste en dessous du seuil de 95%, ce qui signifie que la troupe n'est pas sûre de pouvoir jouer avec un intervalle de confiance de plus de 95%. Ainsi, les intervalles de fluctuation nous permettent d'évaluer si une modélisation probabiliste correspond à la réalité en utilisant des tests et des seuils de confiance.

Déterminer un intervalle de fluctuation

Le cours porte sur la détermination de l'intervalle de fluctuation pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale. Les paramètres de la loi binomiale sont les suivants : n = 40 et p = 0,2. Le seuil α est fixé à 0,05. Pour calculer l'intervalle de fluctuation centré au seuil 1-α, on commence par diviser α par 2, ce qui donne α/2 = 0,025. Ensuite, on cherche le plus petit entier k tel que la probabilité P(X<k) soit supérieure à α/2, soit 0,025. On cherche également le plus petit entier i tel que la probabilité P(X<i) soit supérieure à 1-α/2, soit 0,095. L'intervalle de fluctuation correspond à la zone où la variable aléatoire X a 95% de chances de se situer. On souhaite que les zones situées à l'extérieur de cet intervalle aient une probabilité de α/2, soit 2,5% de chance. Pour trouver les bornes de cet intervalle, on effectue des calculs à l'aide d'une calculatrice. En tâtonnant, on trouve que P(X<3) est égal à 0,008 et P(X<4) est égal à 0,0285. Le premier entier qui fonctionne est 3, car pour X<2, la probabilité est inférieure à α/2. Pour la borne supérieure de l'intervalle, on cherche un entier i tel que P(X<i) soit supérieur à 0,0975. On trouve notamment que P(X<12) est égal à 0,0957 et P(X<13) est égal à 0,0981. L'entier recherché est donc 13. En résumé, l'intervalle de fluctuation centré associé à la variable aléatoire X, avec un seuil de 0,095, est de 3 à 13. Cela signifie qu'il y a 95% de chances que la variable aléatoire X se situe entre 3 et 13.

Classique : efficacité d'un médicament ?

Ce cours explique comment calculer l'efficacité d'un médicament à partir d'une étude sur 400 patients. Le médicament est efficace à 90%, ce qui signifie que les patients ont 90% de chances de guérir lorsqu'ils le prennent. La loi G suit une loi binomiale avec un paramètre n de 400 et un paramètre p de 0,9. Ensuite, l'article explique comment calculer un intervalle de fluctuation centré à 95% pour G sur 400. Cela permet d'obtenir la fréquence des patients guéris, ramenée à une unité. La calculatrice est utilisée pour effectuer les calculs. Il est conclu que dans 95% des cas, le nombre de patients guéris se situera entre 348 et 371. En le ramenant en pourcentage, cela signifie que dans la très grande majorité des cas, environ 87% à 92,5% des patients guéris. Finalement, la question est posée de savoir si 87,5% est bien situé dans l'intervalle de confiance. La réponse est oui, car 87,5% est bien supérieur à la borne inférieure de l'intervalle, qui est de 87%. Cet article présente un exercice classique de calcul d'intervalle de fluctuation pour l'efficacité d'un médicament. En cas de questions supplémentaires, il est recommandé de consulter la FAQ.

Somme de VA : Bernoulli

Le cours traite de la notion de somme de variables aléatoires indépendantes, suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. On nous donne 300 variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p=0,23. La question est de déterminer la loi suivie par la somme de ces 300 variables aléatoires et d'en déduire son espérance. Pour répondre à cette question, le cours rappelle d'abord ce qu'est un schéma de Bernoulli, qui est la répétition de n épreuves identiques et indépendantes. Ensuite, il rappelle ce qu'est une loi binomiale de paramètre np, qui est la loi des variables aléatoires donnant le nombre de succès sur les n répétitions d'un schéma de Bernoulli. Comme les x1 jusqu'à x300 sont des variables aléatoires identiques et indépendantes suivant la même loi de Bernoulli, leur somme, notée x, suit une loi binomiale de paramètre n=300 et p=0,23. L'espérance de x est alors calculée en utilisant le rappel selon lequel l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale est égale à n fois p. Dans notre cas, l'espérance de x est donc égale à 300 fois 0,23, soit 69.

Somme de VA de même loi

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice de probabilité concernant une roue de loterie. La roue comporte cinq secteurs avec des valeurs de points différentes. En faisant tourner la roue quatre fois, on obtient un gain algébrique en points représenté par la variable aléatoire Z. L'objectif est de décomposer Z en une somme de variables aléatoires identiques et indépendantes, puis de calculer son espérance. En analysant l'énoncé, Corentin remarque que Z est la somme des variables aléatoires x1, x2, x3 et x4. Il explique que Z peut prendre des valeurs positives ou négatives, selon les gains obtenus lors des lancées de roues. Pour chaque lancé, les variables x1, x2, x3 et x4 suivent une loi spécifique : 300 avec une probabilité de 0,4, 100 avec une probabilité de 0,2 et -400 avec une probabilité de 0,4. En appliquant les propriétés de l'espérance, Corentin calcule l'espérance de chaque variable x, puis les additionne pour obtenir l'espérance de Z. Il montre que l'espérance de x est égale à -20, ce qui signifie que, en moyenne, les joueurs perdent 80 euros ou 80 points en jouant à ce jeu. Ainsi, le résumé SEO friendly du cours pourrait être : "Dans cette vidéo, Corentin résout un exercice de probabilité portant sur une roue de loterie. En décomposant la variable aléatoire Z en une somme de variables identiques et indépendantes, il calcule l'espérance du gain algébrique en points obtenu après quatre lancées. En moyenne, les joueurs perdent 80 points ou 80 euros en jouant à ce jeu."

Modéliser par une somme (1)

Le cours traite de la modélisation probabiliste d'événements à l'aide de variables aléatoires. Il présente un jeu consistant à lancer un dé tétraédrique et un dé cubique, puis à étudier la somme de leurs résultats. Pour modéliser cette situation, deux variables aléatoires x et y sont proposées, où x représente le résultat du dé tétraédrique et y représente le résultat du dé cubique. La somme x + y est utilisée pour représenter la somme des résultats des deux dés. L'approche recommandée est de penser de manière logique et de considérer les résultats des dés comme les valeurs des variables aléatoires. Le cours propose également un bonus, qui consiste à calculer l'espérance de la somme x + y. En utilisant l'inégalité de l'espérance, il est démontré que l'espérance de x + y est égale à l'espérance de x plus l'espérance de y. Puisque les résultats des dés sont considérés comme équiprobables, les calculs sont effectués en multipliant les valeurs possibles par leurs probabilités respectives. Finalement, il est conclu que l'espérance de x + y est égale à 6, ce qui peut être interprété comme la moyenne des scores obtenus dans le jeu.

Modéliser par une somme (2)

Dans cette vidéo, Corentin aborde la notion de somme de variables aléatoires en utilisant un exemple concret. Il commence par présenter l'exercice qui consiste à étudier les tirs réussis par Elia lors d'un entraînement au jet de 7 mètres. Elia a effectué 30 tirs le matin et 50 l'après-midi, avec des probabilités de réussite de 0,46 et 0,78 respectivement. Les tirs sont considérés comme indépendants les uns des autres. En utilisant les notations x et y pour le nombre de tirs réussis le matin et l'après-midi, on nous demande de déterminer la loi suivie par x et y. Il est ensuite demandé de comprendre ce que représente la somme des variables aléatoires x et y, puis de calculer leur espérance et de l'interpréter. On constate que x suit une loi binomiale de paramètres 30 et 0,46, tandis que y suit une loi binomiale de paramètres 50 et 0,78. La somme des variables aléatoires x et y représente le nombre total de tirs réussis au cours de la journée. Pour calculer l'espérance de x plus y, Corentin rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire binomiale est égale à sa probabilité de réussite multipliée par le nombre de tirages. En utilisant cette formule, il trouve que l'espérance de x plus y est égale à 45. Cela signifie qu'Elia peut espérer réussir 45 tirs au cours de la journée. Ce résumé en SEO friendly du cours met en valeur les points essentiels tels que les variables aléatoires, les lois binomiales, la somme des variables aléatoires et l'espérance.

Utiliser l'Inégalité de B-T

Dans ce cours, nous étudions les inégalités et les concentrations relatives à la variable aléatoire d, qui représente le débit de la Loire en mètres cubes par seconde. L'énoncé nous informe que l'espérance (valeur moyenne) de d est de 350 et que la variance (mesure de dispersion) est de 28000. Dans la première partie de l'exercice, nous devons donner une estimation maximale de la probabilité suivante et l'interpréter. Cette probabilité correspond à la différence entre le débit de la Loire et sa valeur moyenne étant supérieure ou égale à 200. En utilisant l'inégalité de Bien-Aimé Tchibitchev, nous pouvons majorer cette probabilité par la variance de d divisée par 200 au carré, soit 28000/40000, ce qui donne 0,7. Ainsi, la probabilité que le débit de la Loire s'écarte de plus ou moins 200 mètres cubes par seconde de sa valeur moyenne est inférieure ou égale à 0,7. Dans la deuxième partie de l'exercice, nous cherchons la probabilité que le débit de la Loire soit compris entre 50 et 650 mètres cubes par seconde. Pour cela, nous utilisons à nouveau l'inégalité de Tchibitchev. En calculant la différence entre le débit et sa valeur moyenne, nous obtenons la probabilité que cette différence soit inférieure ou égale à 300. En utilisant le complément de cette probabilité, nous pouvons la majorer par la probabilité que cette différence soit supérieure ou égale à 300, ce qui correspond à l'inégalité de Bien-Aimé Tchibitchev. En calculant cette probabilité à l'aide de la formule donnée, nous obtenons 0,311. Ainsi, la probabilité que le débit de la Loire soit compris entre 50 et 650 mètres cubes par seconde est supérieure ou égale à 0,311.

Inegalité de concentration

Salut à tous ! Aujourd'hui, nous allons aborder les inégalités et les concentrations que vous étudierez en terminale. Dans cet exercice, nous devons donner une estimation de la probabilité P(|M-9| ≥ 3), où M est la variable aléatoire moyenne d'un échantillon X1, X2, ..., X40 de variables aléatoires suivant toutes la loi binomiale de paramètres 10 et 0,9. Pour résoudre cet exercice, nous pourrions simplement appliquer l'inégalité de concentration. Cependant, j'ai choisi de redémontrer cette inégalité en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev, car cette preuve est très importante. Donc, pour commencer, nous devons vérifier si l'espérance de M est bien égale à 9. En calculant l'espérance de M, qui est égale à l'espérance de X1, X2, ..., X40 divisée par 40, nous trouvons effectivement que l'espérance de M est égale à 9. Ensuite, en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev, nous pouvons dire que la probabilité que |M-9| ≥ 3 est inférieure ou égale à la variance de M divisée par 9. Maintenant, nous devons calculer la variance de M. D'après le cours, la variance de M est égale à la variance de X1 divisée par 40. En effectuant les calculs, nous trouvons que la variance de M est égale à 0,0225. Enfin, en divisant cette quantité par 9, nous trouvons que la probabilité que |M-9| ≥ 3 est inférieure ou égale à 0,0025. En résumé, dans cet exercice, en utilisant l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev, nous avons montré que la probabilité que |M-9| ≥ 3 est inférieure ou égale à 0,0025. L'inégalité de concentration, c'est bien l'inégalité de Bienaymé-Chebyshev.

Utiliser la LGN

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet des inégalités et concentrations en terminale. Il explique qu'au guichet d'une administration, on doit remplir un questionnaire sur le nombre d'enfants de moins de 18 ans dans le foyer. Les variables aléatoires X1 jusqu'à X1000 représentent les réponses des mille premiers usagers et sont supposées indépendantes et de même mois. En utilisant le graphique qui montre l'évolution de la moyenne d'enfants de moins de 18 ans par usager, Corentin estime l'espérance de la variable aléatoire XI. Il rappelle ensuite la loi des grands nombres, qui dit que pour un échantillon de variables aléatoires X1 jusqu'à XN d'espérance mu, la variable aléatoire moyenne Mn tend vers l'espérance lorsque N tend vers l'infini. Dans ce cas précis, on observe que Mn tend vers 1,5 lorsque N devient très grand, ce qui nous permet d'estimer que l'espérance de Xi est égale à 1,5.

Concentration et taille d'échantillon

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet de l'inégalité de concentration à travers un exercice. L'exercice porte sur une urne contenant des jetons, chacun avec un nombre différent inscrit dessus. L'objectif est de déterminer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire représentant les nombres obtenus en tirant un jeton de l'urne. Ensuite, l'exercice demande combien de tirages avec remise peuvent être effectués pour garantir, avec un risque de 5%, que la moyenne des nombres obtenus soit comprise entre 5 et 5,4. Dans la première partie de l'exercice, Corentin calcule l'espérance de la variable aléatoire en utilisant les probabilités associées à chaque nombre sur les jetons. Il obtient une espérance de 5,2. Ensuite, il calcule la variance en utilisant la formule des écarts à la moyenne. Il trouve une variance de 6,56. Dans la deuxième partie de l'exercice, Corentin applique l'inégalité de concentration en s'assurant que les conditions nécessaires sont remplies. Il considère l'échantillon des variables aléatoires représentant les résultats de plusieurs tirages successifs et calcule la probabilité que la moyenne de cet échantillon soit supérieure ou égale à 0,2 de l'espérance. En utilisant l'inégalité de concentration, il obtient une condition suffisante exprimée en fonction de la taille de l'échantillon. Il conclut que si la taille de l'échantillon est supérieure ou égale à 3280, alors on est certain, avec un risque de 5%, que la moyenne obtenue sera comprise entre 5 et 5,4. En résumé, cette vidéo porte sur l'exercice de l'inégalité de concentration dans lequel Corentin détermine l'espérance et la variance d'une variable aléatoire représentant les nombres obtenus en tirant des jetons d'une urne. Il utilise ensuite l'inégalité de concentration pour déterminer le nombre de tirages nécessaires pour garantir une moyenne spécifique avec un certain risque.