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PGCD et PPCM

Dans cet exercice, nous devons trouver deux nombres en utilisant le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et le PPCM (Plus Petit Commun Multiple). Nous avons les informations suivantes : A est plus petit que B, le PGCD des deux nombres est égal à 6, et le PPCM est égal à 102. Pour résoudre ce problème, nous devons rappeler qu'il existe une formule qui relie le produit de deux nombres à leur PGCD et leur PPCM. Cette formule indique que le produit de A et B est égal au produit de leur PGCD et leur PPCM. Nous allons utiliser une propriété du PGCD pour trouver les valeurs de A et B. Il existe A' et B' tels que A est égal à 6 fois A' et B est égal à 6 fois B'. De plus, A' et B' sont premiers entre eux, ce qui signifie qu'ils n'ont pas de diviseurs communs autres que 1. Si nous utilisons cette formule avec les valeurs de A et B données, nous avons 6 fois A' fois 6 fois B' est égal à 6 fois 102, ce qui simplifie en A'B' égal à 17. Comme 17 est un nombre premier et que A' est plus petit que B', nous pouvons conclure que A' est égal à 1 et B' est égal à 17. Cependant, nous recherchons les valeurs de A et B, donc nous utilisons cela pour trouver que A est égal à 6 (6 fois 1) et B est égal à 17 fois 6, soit 102. Donc, les nombres que nous cherchons sont A = 6 et B = 102.
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PGCD et congruences

Salut ! Dans cet exercice, nous devons démontrer une équivalence entre deux systèmes de congruence. Le premier système nous dit que n est congruent à 1 modulo 5 et congruent à 5 modulo 7. Pour montrer que si n satisfait ce système, alors il satisfait également l'autre système, nous manipulons les congruences. Pour la première congruence, n congruent à 1 modulo 5, nous nous intéressons à 4n plus 1 modulo 5. En multipliant cette expression par 4, nous obtenons que 4n est congruent à 4 modulo 5. Comme 4 est équivalent à -1 modulo 5, nous remplaçons 4 par -1. Ainsi, nous obtenons que 4n plus 1 est congruent à 0 modulo 5. Pour la deuxième congruence, si n est congruent à 5 modulo 7, alors 4n est congruent à 20 modulo 7. Comme 20 est équivalent à -1 modulo 7, nous remplaçons 20 par -1. Donc 4n plus 1 est congruent à 0 modulo 7. En utilisant le corollaire du théorème de Gauss, qui dit que si A divise C, B divise C, et que le PGCD de A et B vaut 1, alors AB divise C, nous pouvons déduire que 4n plus 1 est congruent à 0 modulo 35. Cela est possible car 5 et 7 sont premiers entre eux. Maintenant, pour trouver les solutions du système S, nous utilisons l'information précédente selon laquelle 4n est congruent à -1 modulo 35. Nous devons trouver une valeur k dans les entiers de 1 à 35 telle que 4k est congruent à 1 modulo 35. En multipliant chaque côté par 9, nous trouvons que 4n est congruent à -9 modulo 35. Ainsi, n est congruent à 26 modulo 35. En résumé, les solutions du système S sont tous les nombres de la forme 26 plus 35k, avec k appartenant à Z.
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PGCD et Suite

Dans cet exercice, on nous parle de deux suites : u et v. La suite u est définie par u0 = 0, u1 = 1, et la relation de récurrence un+2 = 3un+1 - 2un. La suite v est définie par vn = un+1 - un. On nous demande de montrer que la suite v est une suite géométrique et de déterminer sa raison et son premier terme. Pour montrer que la suite v est géométrique, on calcule vn+1 et on essaye de l'écrire comme quelque chose fois vn. En effectuant les calculs, on obtient que vn+1 = 2vn. Donc la suite v est bien géométrique avec une raison de 2 et son premier terme est v0 = 1. Ensuite, on nous demande de déduire que pour tout entier n, un est un entier naturel et que un+1 = 2(un+1). Cette question peut sembler étrange car on parle de la suite v et ensuite on demande de déduire quelque chose à partir de cette question. Cependant, on remarque que la suite v est construite de manière particulière : vn est la différence entre deux termes consécutifs de la suite u. On peut donc penser à une somme télescopique pour trouver des informations sur un et un+1. En effectuant la somme des termes de la suite v, on obtient que la somme de vn pour k allant de 0 à n est égale à un+1. Or, la suite v étant géométrique, on connaît une formule pour calculer la somme d'une suite géométrique : v0(1-q^n+1)/(1-q), où v0 est le premier terme de la suite v, q est la raison et n est le nombre de termes. En remplaçant par les valeurs connues, on trouve que la somme des termes de v est égale à 2^(n+1) - 1. Donc un+1 = 2^(n+1) - 1. Cela signifie que pour tout entier naturel n, un est un entier. On nous demande également de vérifier que un+1 = 2un+1. En substituant un par 2^(n+1) - 1 dans cette équation, on obtient bien l'égalité. Enfin, on déduit que deux termes consécutifs de la suite u sont premiers entre eux. Pour le prouver, on utilise le théorème de Bézout qui dit qu'une combinaison linéaire de deux entiers donne le PGCD de ces entiers. On a montré précédemment que un+1 = un - 2un. Donc en passant un+1 de l'autre côté de l'équation, on obtient que le PGCD de un et un+1 est égal à un. Donc les termes consécutifs de la suite u sont bien premiers entre eux.
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PGCD+PPCM

Dans cet exercice, nous cherchons un couple de nombres A et B tels que leur PGCD est égal à 42 et leur PPCM est égal à 1680. Nous commençons par utiliser la propriété qui dit que le PGCD de deux nombres peut être exprimé en utilisant des diviseurs premiers. Ainsi, nous pouvons écrire A comme étant égal à 42 multiplié par A' et B comme étant égal à 42 multiplié par B'. En utilisant cette simplification, nous pouvons ensuite appliquer la formule qui dit que le produit de deux nombres est égal au produit de leur PGCD et de leur PPCM. En remplaçant A et B par leur formulation simplifiée, nous obtenons l'équation 42A' * 42B' = 42 * 1680. Après simplification, nous obtenons A' * B' = 40. Puisque A' et B' sont des diviseurs de 40 et qu'ils doivent être premiers entre eux, les seules possibilités sont A' = 1 et B' = 40, ou A' = 5 et B' = 8. En utilisant ces valeurs, nous obtenons finalement les solutions A = 42 et B = 1680, ou A = 210 et B = 336 pour le système d'équations du PGCD et du PPCM.
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Nombres premiers entre eux

Dans cet exercice, nous voulons déterminer si les nombres 59 et 27 sont premiers entre eux, c'est-à-dire s'ils n'ont aucun diviseur en commun. Pour ce faire, nous devons examiner la décomposition en facteurs premiers de chacun des deux nombres et voir s'il existe un nombre premier commun dans cette décomposition. Commençons par le nombre 27. Nous pouvons le décomposer en 3 puissance 3, ce qui signifie que le seul nombre premier dans sa décomposition est 3. Cela signifie que si les nombres 59 et 27 ont un diviseur commun différent de 1, ce diviseur doit être un multiple de 3. Cependant, le nombre 3 ne divise pas le nombre 59. Pour vérifier cela, nous pouvons utiliser un critère de divisibilité, qui consiste à additionner les chiffres du nombre (dans ce cas, 5 et 9) et voir si le résultat est divisible par 3. Étant donné que 5 + 9 = 14, et que 14 n'est pas divisible par 3, nous pouvons donc conclure que 3 ne divise pas 59. Par conséquent, le PGCD (plus grand commun diviseur) des nombres 59 et 27 est égal à 1, ce qui signifie qu'ils sont premiers entre eux. C'est là la solution de cet exercice.
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Équation diophantienne

Dans cet exercice, nous cherchons à résoudre l'équation diophantienne suivante : 13x + 9y = 2. Pour résoudre ce type d'équation, nous devons tout d'abord rappeler qu'elle a au moins une solution entière si et seulement si le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) des coefficients devant x et y divise le terme constant c. Dans notre cas, le PGCD de 9 et 13 est 1, car 13 est un nombre premier qui ne divise pas 9. Puisque 1 divise 2, l'équation 13x + 9y = 2 a des solutions entières. La méthode consiste alors à trouver une solution particulière qui vérifie l'équation, puis à généraliser cette solution en ajoutant des coefficients. Pour trouver cette solution particulière, on peut soit la deviner, soit faire des tests. Une autre méthode est d'utiliser l'algorithme de Clyde pour trouver le PGCD, puis de multiplier la solution par le facteur nécessaire pour obtenir le nombre souhaité. Dans notre cas, nous savons déjà que 1 est une solution (d'après le théorème de Bézout), donc nous multiplions simplement cette solution par 2. Ainsi, nous obtenons une solution particulière qui est x = -4 et y = 6. Maintenant, nous souhaitons déterminer l'ensemble des solutions. Pour cela, nous utilisons la méthode suivante : x = -4 + 9k et y = 6 - 13k, où k est un nombre entier. Ces équations nous permettent de trouver toutes les solutions de l'équation diophantienne. En résumé, l'équation 13x + 9y = 2 a des solutions entières. Une solution particulière est x = -4 et y = 6. L'ensemble des solutions est donné par les équations x = -4 + 9k et y = 6 - 13k, où k est un nombre entier.
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Fraction irréductible

Dans cet exercice, nous démontrons que la fraction (9n + 1) / (6n + 1) est irréductible pour tout entier n. Pour cela, nous utilisons le fait qu'une fraction est irréductible si et seulement si le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 1. Nous rappelons également le théorème de Bézout qui stipule que le PGCD de deux nombres est égal à 1 s'il existe u et v dans Z tels que au plus bv soit égal à 1. En utilisant ces concepts, nous arrivons à la conclusion que la fraction (9n + 1) / (6n + 1) est irréductible si et seulement si (9n + 1)u + (6n + 1)v est égal à 1 pour certains u et v dans Z. En développant cette expression, nous obtenons (n(9u + 6v) + (u + v)) = 1. Pour que cette égalité soit vraie pour tous les entiers n, nous devons avoir 9u + 6v = 0 et u + v = 1. Il est évident que u = -2 et v = 3 satisfont ces équations. Ainsi, nous concluons que (9n + 1) * 2 + (6n + 1) * 3 = 1, et selon le théorème de Bézout, ces nombres sont premiers entre eux. Par conséquent, la fraction est irréductible pour tout n.
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Système congruences et Bezout

Dans cet exercice, nous devons résoudre un système de congruence en utilisant les équations de Dioff-Ancienne. Le système est le suivant : x ≡ 1 (mod 11) et x ≡ 3 (mod 4). Pour résoudre ce système, nous utilisons l'équation 11u + 4v = 2, où u et v sont des entiers relatifs. En écrivant les conditions x ≡ 1 (mod 11) et x ≡ 3 (mod 4) sous forme d'équations avec u et v, nous obtenons x = 1 + 11u et x = 3 + 4v. En simplifiant cette équation, nous obtenons 11u - 4v = 2, qui est l'équation diophantienne que nous devons résoudre. Pour résoudre cette équation diophantienne, nous vérifions d'abord si le PGCD des deux coefficients divise la constante (2). Dans ce cas, nous avons PGCD(11, 4) = 1, ce qui divise bien 2. Par conséquent, l'équation admet des solutions. En observant les coefficients de l'équation (11 et 4), nous remarquons que la solution particulière est -2 et -6. En multipliant cette solution particulière par 2 (puisque nous voulons 2), nous obtenons la solution -4u + 12v = 2. En généralisant cette solution, nous obtenons l'ensemble des solutions suivant : u = -2 - 4k et v = -6 + 11k, où k est un entier quelconque (Z). Ensuite, nous cherchons à trouver les solutions du système d'origine (x ≡ 1 (mod 11) et x ≡ 3 (mod 4)) modulo 44. Pour cela, nous exprimons x en fonction de u et v (x = 1 + 11u). En remplaçant u par -2 - 4k, nous obtenons x = 23 + 44k. Ainsi, l'ensemble des solutions du système est x ≡ 23 (mod 44).
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Coordonnées entières

Dans cet exercice, nous utilisons les équations diophantiennes pour déterminer si le point M appartient à la droite AB, en supposant que les coordonnées des points sont entières. Les coordonnées du point A sont (7,2) et celles du point B sont (-3,-4). Pour montrer que M appartient à la droite AB, nous devons montrer que les vecteurs AM et AB sont colinéaires. Les coordonnées du vecteur AM sont (x-7, y-2) et celles du vecteur AB sont (-10,-6). Nous savons que M appartient à la droite AB si et seulement si AM et AB sont colinéaires, ce qui signifie que leur produit en croix est égal. Ainsi, nous avons l'égalité : (-10)(y-2) = (-6)(x-7). En simplifiant cette équation, nous obtenons : 3(x-7) = 5(y-2), ce qui est l'égalité que nous devions retrouver. Donc, M appartient à B si et seulement si cette égalité est vérifiée. Pour déterminer l'ensemble des points en coordonnées entières appartenant à la droite AB, nous transformons cette égalité en une équation diophantienne. Après simplification, l'équation devient : 3x-5y = 11. Une équation diophantienne a des solutions si le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) des deux coefficients divise le terme constant. Dans ce cas, le PGCD de 3 et 5 est 1, ce qui divise 11. Ensuite, nous trouvons une solution particulière pour cette équation. Dans ce cas, une solution particulière est (7, 2). Nous pourrions également prendre (2, -1), mais nous préférons des nombres positifs. Finalement, l'ensemble des solutions est donné par les équations : x = 5k + 7 et y = 3k + 2, où k est un entier. Ces équations représentent l'ensemble des points en coordonnées entières appartenant à la droite AB.
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√2 est irrationnel : démo

Dans cet exercice, nous allons prouver que la racine de 2 est un nombre irrationnel en utilisant la méthode du raisonnement par l'absurde. Nous supposons que la racine de 2 est un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il peut s'écrire sous la forme P/Q, où P et Q sont des nombres entiers premiers entre eux. Nous effectuons quelques calculs et arrivons à la conclusion que P au carré est égal à 2Q. Comme P au carré est pair, cela signifie que P est pair. En remplaçant P par 2K, nous obtenons que 4K au carré est égal à 2Q au carré, et simplifiant cette équation, nous obtenons que Q au carré est égal à 2K au carré. Cela implique que Q au carré est pair, donc Q est pair également. Cependant, cela contredit le fait que P et Q soient premiers entre eux, car ils sont tous les deux divisibles par 2. Nous arrivons donc à une contradiction, ce qui signifie que notre supposition de départ selon laquelle la racine de 2 est un nombre rationnel est fausse. Ainsi, nous pouvons conclure que la racine de 2 est un nombre irrationnel.
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Solutions entières et récurrence

Dans cet exercice, nous devons résoudre une équation diophantienne en nous restreignant aux solutions positives. Nous devons montrer que si S est supérieur à 4, il existe au moins une solution. Si S est entre 0 et 4, nous devons déterminer les valeurs pour lesquelles il existe au moins une solution. Pour cela, nous constatons que si y est différent de 0, nous dépassons la valeur de S, donc y doit être égal à 0. Ensuite, en examinant les valeurs possibles pour x, nous trouvons les solutions 0, 1 et 2. Ainsi, les valeurs possibles pour S dans cette plage sont 0, 2 et 4. Ensuite, nous devons prouver par récurrence que si S est supérieur ou égal à 4, l'équation admet au moins une solution dans N². Nous faisons une initialisation en montrant que pour S = 4, il existe une solution. Ensuite, nous supposons qu'il existe un S tel que l'équation admette une solution et nous devons montrer que S + 1 admet également une solution. En utilisant l'équation de Bézout, nous parvenons à représenter S + 1 comme une combinaison linéaire de 2x et 5y. En distinguant les cas où y = 0 et y ≥ 1, nous montrons que l'équation admet une solution dans N² pour tout S ≥ 4. En conclusion, cet exercice démontre comment résoudre une équation diophantienne en restreignant les solutions aux nombres positifs et utilise la récurrence pour prouver l'existence de solutions pour certaines valeurs de S.