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Atterissage du premier étage d’une fusée

Bonjour à tous, dans cet exercice, nous allons étudier l'atterrissage du premier étage d'une fusée. Il s'agit d'un exercice de mécanique portant sur la description d'un mouvement, le vecteur vitesse, l'équation horaire et la seconde loi de Newton. Après la séparation entre le premier et le second étage, le premier étage de la fusée revient sur Terre et doit atterrir en douceur avec une composante verticale de la vitesse inférieure à 6 m/s. Le mouvement du premier étage de la fusée est étudié à proximité du sol après le déploiement du train d'atterrissage. Les graphiques 1 et 2 montrent l'évolution de la vitesse et de l'altitude du point M en fonction du temps. Nous pouvons déterminer l'accélération qui est positive car le premier étage de la fusée ralentit lors de sa descente. Les forces qui s'exercent sur le premier étage de la fusée sont le poids, la force de propulsion du moteur et les forces de frottement. L'équation horaire du mouvement peut être établie en primitivant la vitesse en fonction du temps. Lorsque le premier étage touche le sol, sa vitesse est de -0,44 m/s, ce qui confirme que l'atterrissage s'effectue en douceur car la valeur absolue de la vitesse est inférieure à 6 m/s.
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Somme et intersections

Dans cette vidéo, nous allons analyser différentes propriétés sur une famille de vecteurs, en utilisant un petit QCM. La première question consiste à déterminer si l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs U1, U2 et U3 est égal à l'ensemble des combinaisons linéaires de ces deux vecteurs. Pour répondre à cette question, nous devons d'abord comprendre que si la proposition est vraie, cela signifie que la famille de vecteurs est liée, ce qui implique que seul deux des vecteurs sont linéairement indépendants. Ensuite, nous devons analyser si le vecteur donné appartient à l'intersection de l'ensemble formé par les vecteurs U1 et U2 et l'ensemble des combinaisons linéaires de ces vecteurs. Enfin, la troisième question vise à déterminer si la combinaison des ensembles Vect(U1, U2) et Vect(U2, U3, U4) peut générer tous les éléments de R4. Il est important de remarquer que la présence du symbole "+" sans le symbole "⊕" suggère qu'il peut y avoir des redondances entre les deux ensembles. Dans cette analyse, nous utilisons les propriétés des combinaisons linéaires et faisons quelques manipulations avec les vecteurs afin de répondre aux questions posées. Il est recommandé d'acquérir de la pratique pour maîtriser ces manipulations de manière efficace. Pour la première question, nous pouvons remplacer U1 par U1 + U2 ou U1 - U2 pour obtenir un résultat plus clair. Pour la deuxième question, nous vérifions si le vecteur donné est une combinaison linéaire de U1 et U2. Pour la troisième question, nous utilisons un argument de dimension pour déterminer si la somme des deux ensembles génère tout l'espace R4. En utilisant ce raisonnement, nous concluons que la proposition est fausse car la dimension de la somme des ensembles n'est pas égale à la dimension de R4.
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Espaces supplémentaires (1)

Dans ce cours, nous abordons une question d'algèbre linéaire concernant deux droites vectorielles dans R3. La question est de savoir si ces deux droites sont supplémentaires. En d'autres termes, peut-on trouver deux ensembles, f et g, tels que tout vecteur de R3 puisse être décomposé de manière unique en un élément de f plus un élément de g. La dimension joue un rôle crucial dans la définition de supplémentaire. Dans le cas de deux droites vectorielles distinctes dans R3, qui ont chacune une dimension de 1, la somme des deux dimensions est égale à 2, ce qui est inférieur à la dimension de R3 qui est 3. Par conséquent, il n'est pas possible d'avoir des droites supplémentaires dans R3. En revanche, deux plans vectoriels distincts dans R3 ont chacun une dimension de 2, ce qui donne une somme des dimensions égale à 4, ce qui est supérieur à 3. Par conséquent, ces deux plans ne peuvent pas être supplémentaires l'un de l'autre. Pour qu'un plan vectoriel et une droite vectorielle dans R3 soient supplémentaires, la droite ne doit pas appartenir au plan. Dans le cas contraire, la dimension de l'espace reste à 2 au lieu de 3. En résumé, ces exemples illustrent différentes manières de découper l'espace et l'importance de la dimension dans la notion de supplémentarité.
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Espaces supplémentaires (2)

Dans cet exercice, nous examinons quelques familles de vecteurs pour déterminer si elles sont supplémentaires dans R4. Nous avons 5 vecteurs : V1, V2, V3, V4 et V5. Pour former une base de R4, nous devons avoir au maximum 4 vecteurs. Nous commençons par vérifier si les vecteurs V1 et V2 sont supplémentaires. Pour cela, nous utilisons l'argument de dimension et constatons que la dimension de ces deux vecteurs combinés est de 3, ce qui ne correspond pas à une dimension de 4. Donc, ils ne sont pas supplémentaires. Ensuite, nous examinons les vecteurs V1 et V3. Si la famille V1, V2, V3, V4, V5 est libre, alors nous aurons des vecteurs supplémentaires. Nous résolvons un système pour vérifier si ces vecteurs sont linéairement indépendants et constatons qu'ils le sont, ce qui signifie qu'ils forment une base de R4. Donc, ils sont supplémentaires. Nous poursuivons ensuite avec les vecteurs V1, V3, V4 et V2, V5. Mais puisque V5 est égal à V3 + V4, l'intersection de ces deux ensembles n'est pas réduite à zéro, ce qui signifie qu'ils ne sont pas supplémentaires. Finalement, nous concluons que les vecteurs V1, V2, V4, V5 et V3, V4 ne sont pas supplémentaires.
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Espaces supplémentaires

Dans ce cours sur les espaces vectoriels de dimensions infinies, on nous explique que bien que l'étude complète des dimensions infinies ne soit pas au programme, il est néanmoins important de savoir les gérer lorsqu'ils apparaissent. On nous présente l'exercice de montrer que l'ensemble des suites constantes et l'ensemble des suites convergentes vers 0 sont des sous-espaces supplémentaires dans E, l'ensemble des suites qui convergent. Pour cela, on nous propose une décomposition d'une suite en un élément qui converge vers 0 et un élément constant, et on doit montrer que cette décomposition est unique. En utilisant des raisonnements basiques et en se basant sur des conditions nécessaires et suffisantes, on parvient à trouver cette unique décomposition, prouvant ainsi que les ensembles des suites constantes et des suites convergentes vers 0 sont bien des sous-espaces supplémentaires dans E. On précise également qu'il est important de préciser que cette décomposition est la seule candidate possible, en vérifiant qu'elle satisfait bien les conditions nécessaires et suffisantes. On conclut en soulignant qu'il faut se familiariser avec ce type de raisonnement lorsqu'il n'y a pas de dimension finie, et en encourageant les questions et discussions sur le sujet.
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Sommes et union d’EV

Le cours explique comment démontrer qu'une intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel. Pour cela, l'auteur propose de considérer deux sous-espaces vectoriels f et g de l'espace vectoriel E. Il explique que si l'union de f et g est également un sous-espace vectoriel, alors soit f est inclus dans g, soit g est inclus dans f. L'auteur utilise l'exemple géométrique de deux plans dans l'espace pour illustrer son raisonnement. Il montre que la somme de deux vecteurs, un provenant de chaque plan, ne peut pas appartenir à l'union des deux plans, à moins que l'un des plans ne soit inclus dans l'autre. Il conclut donc que la seule possibilité pour que l'union soit un sous-espace vectoriel est que l'un des plans soit inclus dans l'autre. Il utilise ensuite des raisonnements basés sur les combinaisons linéaires pour démontrer le résultat. Il considère l'hypothèse que f union g est un sous-espace vectoriel et montre que si X appartient à f et Y appartient à g, alors X+Y doit appartenir à f union g. Il utilise alors les propriétés des sous-espaces vectoriels pour montrer que soit Y appartient à f si X+Y appartient à f, soit X appartient à g si X+Y appartient à g. Il conclut ainsi que si l'union est un sous-espace vectoriel, alors f est inclus dans g ou g est inclus dans f. Dans la deuxième partie du cours, l'auteur aborde un exercice similaire avec un troisième sous-espace vectoriel H. Il montre comment utiliser les conditions nécessaires pour démontrer que l'intersection de deux sous-espaces vectoriels f et g plus H est égale à g plus l'intersection de f et H, sous l'hypothèse que g est inclus dans f. Il utilise des arguments basés sur les combinaisons linéaires pour montrer que si un élément X appartient à f et à g plus H, alors il appartient également à g plus l'intersection de f et H. Il conclut ainsi que si g est inclus dans f, alors l'intersection de f et g plus H est égale à g plus l'intersection de f et H. En résumé, le cours démontre comment utiliser les conditions nécessaires et suffisantes pour prouver que l'union de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel, et comment démontrer l'égalité entre l'intersection de deux sous-espaces vectoriels plus un troisième et la somme de ce troisième avec l'intersection de ces deux sous-espaces. L'auteur souligne l'importance de suivre un raisonnement précis et de travailler avec minutie pour résoudre ce genre d'exercices.
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Fonctions paires et impaires

Ce cours porte sur les espaces vectoriels et les polynômes. L'objectif est de montrer que l'ensemble F des polynômes P tels que A divise P est un sous-espace vectoriel de R²x. Cette propriété est démontrée en utilisant les propriétés de la divisibilité des polynômes. Ensuite, l'exercice consiste à trouver un supplémentaire F pour cet ensemble. Pour cela, on utilise la division euclidienne des polynômes. On pose un polynôme A de degré N et on montre que tout élément de R²x peut être décomposé de manière unique en la somme d'un polynôme de F et d'un polynôme de degré inférieur à celui de A. Cette décomposition est possible grâce à l'unicité du quotient et du reste dans la division euclidienne. On conclut ainsi que F est bien un supplémentaire de F.
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Les probabilités conditionnelles

"Pour comprendre les probabilités, il est plus simple de commencer par un exemple concret. Dans votre lycée, nous pouvons prendre l'exemple des garçons et des filles. Dans ce lycée, il y a 55% de garçons et 45% de filles. Parmi les garçons, 20% sont blonds et 80% sont bruns. Chez les filles, 30% sont blondes et 70% sont brunes. Ces statistiques nous permettent de parler de probabilités conditionnelles, qui sont les probabilités qui se produisent dans un sous-groupe. Par exemple, la probabilité d'être un garçon blond est de 0,55 x 0,2. On peut appliquer la même logique pour les filles. En utilisant ces probabilités conditionnelles, nous pouvons calculer la probabilité d'être blond dans l'ensemble du lycée en utilisant la formule P (garçon et blond) = P(garçon) x P(blond|garçon). De la même manière, la probabilité d'être blond pour les filles est calculée avec P (fille et blond) = P(fille) x P(blond|fille). Cette formule peut également être utilisée pour calculer d'autres probabilités conditionnelles. En résumé, les probabilités conditionnelles sont les probabilités qui se produisent dans un sous-groupe. Les exemples utilisés dans cet exemple sont les proportions de garçons et de filles blonds dans un lycée. En utilisant ces probabilités conditionnelles, il est possible de calculer la probabilité d'autres événements."
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Partition de l'univers

La notion de partition de l'univers est essentielle en probabilité. Une partition consiste à diviser les événements possibles en sous-ensembles distincts qui n'ont rien en commun. Par exemple, prenons l'univers des garçons, qui peut être divisé en deux catégories : les blonds et les bruns. Ceci forme une partition de l'univers des garçons car cela satisfait les deux conditions requises : tous les garçons sont inclus (20% sont blonds et 80% sont bruns) et il n'y a aucune intersection entre les deux catégories. De même, une partition peut être créée en divisant l'univers en garçons et filles, où chaque individu est soit un garçon soit une fille, et il n'y a pas d'intersection entre les deux. Une partition peut également être plus complexe, par exemple en incluant les catégories garçon-blond, garçon-brun, fille-blonde et fille-brune. En termes de probabilité, une partition est représentée par un schéma où l'univers complet est couvert, il n'y a pas de partie manquante, et les éléments des sous-ensembles sont disjoints, c'est-à-dire qu'ils n'ont rien en commun. Une partition peut être représentée mathématiquement par l'ensemble d'événements a1, a2, ..., an, où n est le nombre total d'événements et chaque événement a1, a2, ..., an représente une catégorie différente. L'ensemble des événements doit représenter 100% de l'univers et ne peut pas y avoir de chevauchement entre les événements. Une partition est un outil puissant en probabilité car elle permet de diviser l'univers en sous-ensembles distincts et complets.
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La formule des probas totales

La formule des probabilités totales est une formule très importante en statistiques. Pour l'expliquer, prenons un exemple concret d'un lycée où il y a des garçons et des filles, et des blonds et des bruns. La probabilité d'être à la fois blond et garçon est simplement la probabilité d'être un garçon multipliée par la probabilité d'être blond (une fois qu'on a dit qu'on est un garçon). Maintenant, intéressons-nous à la probabilité d'avoir les cheveux blonds dans ce lycée. Imaginons qu'il y ait 100 personnes : 55 garçons et 45 filles. Si je tire une personne au hasard, quelle est la probabilité qu'elle ait les cheveux blonds, qu'elle soit un garçon ou une fille ? L'idée ici est de ne pas se focaliser uniquement sur les blonds, mais plutôt sur les deux aspects (garçon et blond). La probabilité d'être blond peut être atteinte en suivant deux chemins possibles : soit j'ai tiré un garçon blond, soit j'ai tiré une fille blonde. La formule des probabilités totales consiste à sommer ces deux probabilités pour obtenir la probabilité d'être blond. En d'autres termes, pour trouver la probabilité que quelqu'un soit blond, je repère tous les endroits dans mon arbre qui correspondent à cet événement, c'est-à-dire être blond. Ensuite, je somme toutes les probabilités qui y conduisent. La formule des probabilités totales peut être exprimée de deux façons : soit la somme des deux probabilités avec le signe '+', soit en utilisant la formule des probabilités conditionnelles. En théorie, si nous avons une partition de l'univers, la probabilité d'un événement B peut être calculée en cherchant B dans chacune des branches et en les sommant toutes. La formule des probabilités totales est donc la somme des probabilités de chaque branche contenant l'événement B. On peut également utiliser la formule des probabilités conditionnelles pour chaque élément. L'intuition derrière cette formule est de chercher où se trouve l'événement dans chaque branche et de sommer toutes ces probabilités. J'espère que cela a été clair pour vous. N'hésitez pas à laisser des commentaires si vous avez des questions, et à bientôt pour une prochaine vidéo. Au revoir !
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Indépendance

L'indépendance en probabilité est une notion essentielle. Pour comprendre cette notion, il est plus simple de comprendre la dépendance. On peut utiliser deux variables, dans cet exemple, le sexe (garçon ou fille) et la couleur de cheveux (blond ou brun). Pour chaque variable, on peut calculer les probabilités correspondantes. Si on tire un élève au hasard dans un lycée, on peut calculer la probabilité d'être blond en utilisant la formule des probabilités totales. Cependant, cette probabilité dépend du sexe de l'élève. Donc la couleur de cheveux dépend du sexe, ce sont des événements dépendants. Pour illustrer un exemple d'événements indépendants, on peut considérer le fait d'être garçon et blond. Si la proportion de garçons blonds et de filles blondes est la même, peu importe le sexe, cela signifie que la couleur de cheveux est totalement indépendante du sexe. Dans ce cas, les deux événements sont indépendants. La définition formelle des événements indépendants est que la probabilité de l'événement B est la même que la probabilité de B sachant A. Il est également important de comprendre les définitions formelles en mathématiques, même s'il est plus facile de les comprendre à travers des exemples concrets. Une propriété pratique des événements indépendants est que si A et B sont indépendants, alors A barre (le complémentaire de A) B est également indépendant, ainsi que A B barre et A barre B barre. En résumé, l'indépendance des événements en probabilité signifie que la probabilité d'un événement ne dépend pas de la réalisation d'un autre événement.
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Application calculatoire

Dans ce cours, nous allons apprendre comment appliquer la formule des probabilités conditionnelles. On nous présente deux événements, A et B, et nous voulons trouver la valeur de P(B|A) en utilisant la formule des probabilités conditionnelles. Cette formule est assez simple : P(B|A) = P(A∩B) / P(A). Dans notre cas, nous avons P(A∩B) égal à 0,3 et P(A) égal à 0,6, donc P(B|A) est égal à 0,3 / 0,6, ce qui donne 1,5. On peut également représenter ces événements sous forme d'arbre avec les branches A, A' (non A), B et B' (non B) pour mieux les visualiser. Cependant, il s'agit ici de l'application la plus basique de la formule. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser avant de passer à la prochaine vidéo.