Online Primitives et EDL course by Top Instructors - Primitives et EDL

Reconnaissance de formes

Dans cette vidéo, nous avons déterminé plusieurs primitives de fonctions. La première fonction était f(x) = 3x - 1 * (3x^2 - 2x + 3)^3. Nous avons utilisé deux méthodes pour trouver la primitive de cette fonction. La première méthode était de tout développer, mais cela prenait beaucoup de temps. La deuxième méthode était de reconnaître une forme particulière de la fonction à une puissance 3 et d'utiliser des formules de primitives. Nous avons finalement trouvé que la primitive de f(x) était 1/8 * (3x^2 - 2x + 3)^4. Ensuite, nous avons déterminé la primitive de 1 - x^2 / (x^3 - 3x + 1)^3. Encore une fois, nous avons utilisé la méthode de faire apparaître une dérivée dans l'expression pour utiliser une formule de primitives. Nous avons trouvé que la primitive de cette fonction était 1/6 * (1 / (x^3 - 3x + 1)^2). Enfin, nous avons trouvé la primitive de 1 / (x * ln(x^2)) sur l'intervalle [1, +∞). Nous avons utilisé la propriété du logarithme naturel pour simplifier l'expression et faire apparaître une forme de primitive courante. Nous avons finalement trouvé que la primitive de cette fonction était 1/2 * ln(ln(x)). Il est important de connaître et de comprendre les formules de primitives courantes pour résoudre ce type de problème. Merci d'avoir suivi cette vidéo ! À bientôt.

Intégration par parties 1

Dans cette vidéo, Mathis de Studio aborde le sujet des intégrations par parties. Pour commencer, il explique que l'intégration par parties est utilisée pour résoudre des problèmes de produits de fonctions différentes, ce qui est le cas ici avec l'intégrale de 0 à 1 de x exponentielle x dx. Il explique ensuite que pour choisir les fonctions à utiliser dans la méthode, il faut prendre en compte la facilité de dérivation et d'intégration. Dans ce cas, x est choisi comme fonction à dériver car sa dérivée est simple (égale à 1) et e de x est choisie comme fonction à intégrer car elle est facilement intégrable. Il présente ensuite la méthode de l'intégration par parties en détaillant chaque étape. Il rappelle également qu'il est important de vérifier les hypothèses du théorème d'intégration par parties avant de l'appliquer. Il applique ensuite cette méthode à l'intégrale de 0 à 1 de x exponentielle x dx et obtient comme résultat 1. Il aborde ensuite la deuxième intégrale à calculer, l'intégrale de 1 à e de x² ln2x dx. Il fait la même analyse que précédemment pour choisir les fonctions à utiliser. En utilisant la méthode d'intégration par parties, il obtient le résultat de 2 neuvièmes de e3 plus 1 neuvième. En conclusion, Mathis souligne l'importance de bien comprendre et retenir la méthode d'intégration par parties, ainsi que de vérifier les hypothèses du théorème. Il encourage également à analyser les fonctions à intégrer et à dériver pour faciliter le calcul.

Intégration par parties 2

Dans cette vidéo, l'auteur traite de la détermination de primitives pour des fonctions particulières. Il mentionne d'abord le théorème fondamental de l'analyse, qui permet de trouver une primitive. Il explique ensuite qu'il y a deux méthodes couramment utilisées pour résoudre ce genre d'exercice, à savoir l'intégration par parties et le changement de variable. Il applique ensuite l'intégration par parties pour trouver une primitive de l'arc tangente. Après quelques calculs, il obtient que la primitive de l'arc tangente est égale à x arc tangente de x moins 1/2 ln(1 + x²). Ensuite, il résout un autre exercice en utilisant à nouveau l'intégration par parties. Cette fois-ci, il trouve une primitive pour ln(x) au carré, qui est égale à x ln(x) au carré moins 2x ln(x) plus 2x. Enfin, il traite du cas du sinus de ln(x), et utilise à nouveau l'intégration par parties pour trouver une primitive. Après quelques calculs, il obtient que la primitive du sinus de ln(x) est égale à 1/2 x sinus de ln(x) moins x cosinus de ln(x). L'auteur conclut en soulignant l'importance du théorème fondamental de l'analyse pour déterminer des primitives, et en encourageant les spectateurs à se familiariser avec les différentes techniques de résolution d'exercices de ce type.

Changement de variables 1

Bonjour à tous, dans cette vidéo, nous allons effectuer des changements de variables pour calculer des intégrales. La première intégrale est de 1 à 4 de 1-√t sur √dt. Nous la nommons i. Pour effectuer le changement de variable, nous posons x = √t. Donc dx = 1/(2√t) dt. La borne supérieure devient x+ = √4 = 2 et la borne inférieure devient x- = √1 = 1. Les hypothèses du théorème de changement de variable sont vérifiées. Par conséquent, nous pouvons utiliser le théorème et obtenir que i = 2∫(1-x) dx de 1 à 2. En calculant cette intégrale, on trouve que i = -1. Passons maintenant à la deuxième intégrale, qui est de 0 à π de sin2t sur 1+cos²t dt. Nous devons poser x = cos²t. En dérivant, nous obtenons dx = -sin2t dt. Les bornes deviennent x+ = cos²π = -1 et x- = cos²0 = 1. Les hypothèses du théorème de changement de variable sont vérifiées. Nous utilisons le théorème pour obtenir que l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1+cos²t dt est égale à -∫-1/(1+x²) dx de 1 à -1. Nous reconnaissons cette intégrale comme l'arc tangente et trouvons que cette intégrale est égale à π/2. Enfin, nous évaluons la troisième intégrale, qui est de 1 à e de 1/(2t ln t + t) dt. Nous posons x = ln t. En dérivant, nous obtenons dx = 1/t dt. La fonction f associée à x est 1/(2x + 1). Les bornes sont x+ = ln e = 1 et x- = ln 1 = 0. Les hypothèses du théorème de changement de variable sont vérifiées. Nous utilisons le théorème pour obtenir que cette intégrale est égale à ∫(1/(2x + 1)) dx de 0 à 1. En calculant cette intégrale, nous trouvons que c'est égal à ln(3/2). En résumé, l'intégrale de 1 à 4 de 1-√t sur √dt est égale à -1, l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1+cos²t dt est égale à π/2, et l'intégrale de 1 à e de 1/(2t ln t + t) dt est égale à ln(3/2).

Changement de variables 2

Dans cette transcription d'une vidéo sur les changements de variables en calcul d'intégrales, nous abordons trois exemples. Le premier exemple concerne l'intégrale de 0 à 1 de 1/(1+exp(t)) dt. On pose x = exp(t) et on utilise la formule de changement de variable pour obtenir l'intégrale de 1 à e de 1/(x+x^2) dx. On calcule cette intégrale en décomposant la fraction en éléments simples et en utilisant des propriétés des logarithmes. Finalement, on trouve que l'intégrale demandée est égale à 1 + ln(2) - ln(e+1). Le deuxième exemple concerne l'intégrale de 1 à 3 de sqrt(t)(t+1) dt. On pose x = sqrt(t) et on obtient l'intégrale de 1 à sqrt(3) de x^2/(1+x^2) dx. On remarque que le numérateur et le dénominateur se ressemblent beaucoup, on utilise donc la technique du "1 plus 1 moins 1" pour obtenir une intégrale en arctan. Finalement, on trouve que l'intégrale demandée est égale à sqrt(3) - 1 - pi/12. Le troisième exemple concerne l'intégrale de -1 à 1 de sqrt(1-t^2) dt. On pose t = sin(θ) et on obtient l'intégrale de -pi/2 à pi/2 de sqrt(1-sin^2(θ)) cos(θ) dθ. On utilise ensuite des formules trigonométriques pour simplifier l'intégrale. Finalement, on trouve que l'intégrale demandée est égale à pi/2. Il est important de retenir la méthode pour traiter les fractions polynomiales et de s'adapter aux différentes situations de changement de variable. La dynamique est similaire à celle des intégrations par parties, il faut suivre les étapes dans l'ordre et tester différentes approches si nécessaire. Merci d'avoir suivi cette vidéo et à bientôt !

Décomposition en éléments simples

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique comment trouver les primitives de fractions polynomiales spécifiques. Il utilise une méthode précise en fonction du discriminant du dénominateur. Si le discriminant est supérieur ou égal à zéro, il décompose la fraction en éléments simples. Si le discriminant est strictement négatif, il met le dénominateur sous forme canonique. Il commence par résoudre l'exemple de la fonction x/(x²+4). Le discriminant est -16, donc il met le dénominateur sous forme canonique x²+4 = (x+0)²+4. La primitive de 1/(x² + a²) est 1/a * arctan(x/a), donc la primitive de x/(x²+4) est 1/2 * arctan(x/2). Ensuite, il résout l'exemple de la fonction 1/(x²+4x+5). Le discriminant est -4, donc il met le dénominateur sous forme canonique x²+4x+5 = (x+2)²+1. Il utilise le théorème fondamental de l'analyse pour intégrer la forme canonique et obtient que la primitive de 1/(x²+4x+5) est arctan(x+2). Enfin, il résoud l'exemple de la fonction 1/(1-x²). Le discriminant est 4, donc il décompose la fraction en éléments simples et obtient que la primitive de 1/(1-x²) est 1/2 * ln(|1+x|/(1-x)). Il explique également comment résoudre les fractions polynomiales plus générales en simplifiant et en utilisant les propriétés de linéarité de l'intégrale. Il rappelle que selon le cas, les primitives peuvent être en racines carrées ou en arctangente. En conclusion, il récapitule les deux méthodes principales pour trouver les primitives de fractions polynomiales : la décomposition en éléments simples lorsque le discriminant est positif et la mise en forme canonique lorsque le discriminant est négatif. Note: La traduction a été légèrement modifiée pour optimiser le texte en termes de SEO.

Primitives et récurrence

Dans cette vidéo, Mathis de studio présente le calcul d'une infinité d'intégrales. Il pose l'intégrale In égale à l'intégrale de 0 à 1 de dx sur x² plus 1, le tout à la puissance n. La première question consiste à exprimer In+1 en fonction de Im pour tout n. Il commence par rechercher une relation entre le rang d'après et le rang d'avant. En utilisant la technique d'intégration par parties, il obtient deux équations qui le conduisent à une expression entre In+1 et In+2. En utilisant la technique du plus-un-moins-un, Mathis parvient à un résultat final : In+1 = 1 sur 2n+1 fois (n+1) moins 1 sur 2n fois In. Il calcule ensuite In pour n = 1 et trouve que I1 est égal à pi sur 4. En utilisant la formule trouvée précédemment, il calcule également les valeurs de I2 et I3, qui sont respectivement égales à 1 quart plus pi sur 8 et 1 quart plus 3 pi sur 32. Il souligne que cette méthode permet de calculer une infinité d'intégrales pour toute valeur de n. Il encourage les spectateurs à retenir la méthode d'intégration par parties, à ne pas se décourager si une tentative ne fonctionne pas et à utiliser la technique du plus-un-moins-un pour comparer le numérateur et le dénominateur. En conclusion, Mathis remercie les spectateurs et leur dit à bientôt.

Les complexes à l'aide !

Dans cette vidéo, nous étudions le calcul de l'intégrale de 0 à pi de x² exponentiel x cosinus x dx. Pour résoudre ce problème, nous utilisons une astuce en se rappelant que le cosinus peut être représenté comme la partie réelle d'une exponentielle complexe. En utilisant cette propriété, nous réduisons le problème à calculer l'intégrale de 0 à pi de x² exponentiel de 1 plus ix dx. Pour résoudre cette intégrale, nous utilisons une technique d'intégration par parties. En effectuant deux intégrations par parties, nous obtiendrons une expression finale pour l'intégrale initiale. Après avoir calculé cette expression, nous prenons la partie réelle pour obtenir la solution finale de l'intégrale initiale. En résumé, grâce à cette astuce de représenter le cosinus comme une exponentielle complexe, nous avons réussi à calculer l'intégrale initiale. Cette méthode est pratique et permet souvent une résolution réussie.

Intgérales de Wallis

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique comment calculer les intégrales de Wallis. Il commence par définir les intégrales de Wallis en utilisant la fonction sinus et la puissance n. Il pose les équations pour W0 et W1, les deux premières intégrales à calculer. Ensuite, il détermine une relation entre Wn et Wn plus 2 en utilisant la technique d'intégration par parties. Il utilise cette relation pour calculer W2n et W2n plus 1 en fonction de n. Il souligne que ces calculs sont assez complexes et nécessitent une certaine méthode et attention aux détails. Il conclut en donnant les expressions finales pour W2n et W2n plus 1 en utilisant les factorielles et les puissances de 2. Il recommande de refaire cet exercice pour s'entraîner et insiste sur l'importance de comprendre et maîtriser cette méthode pour résoudre ce type de problèmes.