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Déterminer un PGCD

Dans cet exercice, on apprend à calculer le PGCD de deux nombres: 18 840 et 9828. La méthode la plus simple est l'algorithme d'Euclide, qui utilise des divisions euclidiennes successives. On commence par diviser le plus grand nombre par le plus petit. Ensuite, on continue à diviser le diviseur par le reste jusqu'à obtenir un reste de 0. Le PGCD est alors le dernier reste non nul. Dans ce cas, le PGCD de 18 840 et 9828 est 12.

Différence et quotient

Dans cet exercice, on doit trouver deux nombres entiers dont la différence est égale à 538. On sait également que lorsqu'on divise l'un par l'autre, le quotient est 13 et le reste est 34. On note ces deux nombres A et B, et on suppose que A est plus grand que B. On écrit deux équations pour ces informations et on résout le système : A-B=538 et A=13B+34. On trouve B=42, ce qui nous permet ensuite de trouver A=580.

PGCD qui dépend de n

Dans cet exercice, on cherche à déterminer l'ensemble des entiers naturels n permettant que le PGCD de 2n+3 et de n soit égal à 3. En effectuant la division euclidienne de 2n+3 par n, on trouve que si le PGCD est égal à 3, alors n est divisible par 3. Ensuite, si l'on cherche à déduire l'ensemble des entiers n pour lesquels le PGCD de 2n+3 et de n est égal à 1, on remarque que lorsque n est multiple de 3, le PGCD ne peut pas être égal à 1. Ainsi, si n est de la forme 3k+2 ou 3k+1, où k est un entier naturel, alors le PGCD est égal à 1.

Autre dépendance en n

Dans cet exercice, on cherche le PGCD de deux entiers A et B qui dépendent de n. On commence par éliminer n en faisant une combinaison linéaire de A et B. On trouve que le PGCD divise 5, ce qui nous permet de réduire les possibilités à 1 ou 5. On étudie ensuite chaque cas : si le PGCD est 5, n doit être congru à 1 modulo 5, sinon, le PGCD est 1.

PGCD et n carré

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PGCD et PPCM

Dans cet exercice, on doit trouver deux nombres et manipuler le PGCD et le PPCM. On sait que A est plus petit que B, leur PGCD vaut 6 et leur PPCM vaut 102. En utilisant une formule qui relie le produit de deux nombres au produit de leur PGCD et PPCM, on peut trouver A' et B' tels que A est 6 fois A' et B est 6 fois B', et A' et B' sont premiers entre eux. En simplifiant cette formule, on obtient A'B' est égal à 17, donc A' vaut 1 et B' vaut 17. A est donc 6 et B est 102.

PGCD et congruences

Dans cet exercice de mathématiques, nous manipulons le PGCD et des congruences. Le système S établit que n est congruent à 1 modulo 5 et à 5 modulo 7. Nous devons montrer que si n vérifie le système S, alors il vérifie également un autre système. Nous montrons cela en utilisant des congruences et en utilisant le corollaire du théorème de Gauss. Nous en déduisons que 4n est congruent à moins 1 modulo 35, et en résolvant cette équation, nous obtenons que l'ensemble des solutions est {26 + 35k | k ∈ Z}.

PGCD et Suite

Dans cet article, nous étudions un exercice sur le PGCD et les suites. Nous avons une suite définie sur n, avec u0 = 0 et u1 = 1, et une relation de récurrence. Nous avons également une autre suite, vn, définie comme étant un + 1 - un. Nous montrons que vn est une suite géométrique de raison 2 et que le terme initial v0 est égal à 1. Nous déduisons ensuite que pour tout entier n, un est un entier naturel et que un + 1 est égal à 2 fois un + 1. Nous utilisons ensuite une somme télescopique pour montrer que un est un entier. Enfin, nous utilisons le théorème de Bézout pour montrer que deux termes consécutifs de la suite sont premiers entre eux.