Cours de Probabilités en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Probabilités

Cours par la pratique 1

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Dans ce cours, nous cherchons à déterminer le nombre de mains possibles dans un jeu de 32 cartes en utilisant différentes contraintes. Tout d'abord, nous explorons le cas du carré d'As, où 4 cartes sont déjà définies. Il nous reste donc 28 choix possibles pour la dernière carte. Ensuite, nous étudions le nombre de mains possibles avec 5 cartes de la même couleur. Il y a 4 couleurs dans le jeu de cartes, nous devons donc sélectionner 5 cartes parmi les 8 correspondant à une couleur. Le nombre total de mains possibles est donc de 4 fois le nombre de combinaisons de 5 parmi 8. Enfin, nous abordons le cas précis d'une paire exacte. Cela signifie que nous ne voulons pas avoir ni deux paires, ni un brelan. Nous devons donc choisir nos 3 cartes restantes parmi les 30 restantes après avoir fixé la paire. Pour chaque carte restante, nous devons faire attention à ne pas la sélectionner parmi les cartes déjà choisies. Le nombre total de mains possibles est donc obtenu en multipliant les nombres de choix pour chaque carte restante. Il est important de noter que ces calculs doivent être répétés pour chaque hauteur de paire possible (As, Roi, Dame, Valet, 10, 9, 8, 7), ce qui donne un total de 8 choix. Le nombre final de mains possibles est donc obtenu en multipliant ce nombre de choix par le nombre de paires possibles pour chaque hauteur. En résumé, le nombre de mains possibles avec un carré d'As est de 28, le nombre de mains avec 5 cartes de la même couleur est de 4 fois le nombre de combinaisons de 5 parmi 8, et le nombre de mains avec exactement une paire est donné par le produit des nombres de choix pour chaque carte restante, pour chaque hauteur de paire possible.

Permutations : application

Dans cette vidéo, nous apprenons comment gérer les permutations. Une permutation est le nombre de façons de changer l'ordre d'un ensemble ou d'une liste. Par exemple, pour un tirage de loto, combien de façons avons-nous de changer l'ordre des numéros une fois qu'ils sont fixés ? La conférence dont il est question dans cet exemple comprend 12 scientifiques, dont 6 hommes et 6 femmes. Parmi eux, il y a 5 mathématiciens, 3 physiciens et 4 biologistes. Chaque groupe de scientifiques a une méthode différente pour se placer. Nous allons examiner ces méthodes. La méthode des mathématiciens consiste à se placer au hasard. Ils ont donc 12 personnes dont l'ordre doit être défini. Le nombre de permutations pour un ensemble de n éléments est donnée par la formule n!. Dans ce cas, il y a donc 12! = 479 millions de façons de positionner les scientifiques. C'est la méthode la plus aléatoire et qui offre le plus de possibilités, car il n'y a aucune contrainte. La méthode des physiciens est de rester ensemble. Donc les physiciens sont placés côte à côte et les autres scientifiques peuvent se placer librement. Il y a 3 physiciens, qui peuvent être placés de différentes manières. Une fois que la position du premier physicien est fixée, les deux autres suivent automatiquement. Il y a donc 10 positions possibles pour le premier physicien. Ensuite, il y a 6 permutations possibles pour les 3 physiciens. Enfin, il reste 9 places à attribuer aux autres scientifiques, ce qui donne 9! façons de les positionner. En utilisant le principe multiplicatif, il y a donc un total de 10 x 6 x 9! = 21 millions de possibilités. C'est beaucoup moins que la méthode aléatoire précédente car il y a des contraintes. La méthode des biologistes consiste à placer les femmes et les hommes ensemble. Il y a deux façons de placer ces deux groupes. Une fois que ce choix est fait, il y a 6! façons de positionner les femmes et 6! façons de positionner les hommes. En utilisant le principe multiplicatif, il y a donc un total de 2 x 6! x 6! = 1 million 36 800 possibilités. Cela montre comment appliquer le comptage des permutations dans des petits exemples. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à consulter la FAQ du cours.

Dénombrer des combinaisons

Les combinaisons sont utilisées lorsque nous avons des ensembles où l'ordre ne compte pas et où il n'y a pas de répétition. Par exemple, au tirage du loto, nous cochons des cases sans ordre spécifique. Dans le jeu de bridge, chaque joueur reçoit une main de 13 cartes parmi un jeu de 52 cartes. Pour déterminer le nombre de mains possibles, nous utilisons la formule "13 parmi 52". Ensuite, pour déterminer le nombre de mains contenant uniquement un cœur, nous devons choisir un cœur parmi les 13 disponibles, puis choisir les 12 cartes restantes parmi les 39 qui ne sont pas des cœurs. La formule utilisée est "12 parmi 39". Il est important de repérer quand utiliser les combinaisons en identifiant les ensembles où l'ordre ne compte pas et où il n'y a pas de répétition.

Combinaison et intersection

Dans cet exemple, nous avons 20 élèves au total, parmi lesquels 14 aiment les maths, 7 aiment la physique et 4 aiment à la fois les maths et la physique. Pour trouver combien de groupes de 4 élèves qui aiment les maths peuvent être formés parmi les sous-groupes possibles, nous utilisons des combinaisons. Nous devons choisir 4 élèves parmi les 14 qui aiment les maths, ce qui donne "14 parmi 4". En simplifiant mathématiquement, nous obtenons 14 x 13 x 12 x 11, soit 1001 possibilités. Puis, pour trouver combien de groupes de 2 élèves qui n'aiment que les maths et 2 élèves qui n'aiment que la physique peuvent être formés parmi les sous-groupes de 4 élèves, nous utilisons également des combinaisons. Il y a 10 élèves qui aiment uniquement les maths et 3 élèves qui aiment uniquement la physique. Nous devons choisir 2 élèves parmi les 10 qui aiment les maths et 2 élèves parmi les 3 qui aiment la physique. En calculant "2 parmi 10" et "2 parmi 3", nous obtenons 2 x 9 x 2 x 1 x 2 x 1, soit 36 possibilités. Ainsi, en combinant les concepts de combinaison et d'intersection, nous avons trouvé qu'il y a 1001 groupes de 4 élèves qui aiment les maths parmi tous les sous-groupes possibles, et 135 groupes de 2 élèves qui n'aiment que les maths et 2 élèves qui n'aiment que la physique parmi les sous-groupes de 4 élèves.

Classique : jetons colorés

Le cours porte sur les méthodes de dénouement en utilisant des jetons de différentes couleurs. Il y a 20 jetons au total, dont 8 blancs avec le numéro 0 et 5 rouges avec le numéro 7. On tire simultanément 4 jetons et on cherche à calculer différentes combinaisons. La première question concerne le nombre de tirages possibles sans répétition. Il suffit de calculer les combinaisons de 4 parmi 20, ce qui équivaut à 4845. Ensuite, on s'intéresse au nombre de tirages avec les quatre numéros identiques. Les seuls numéros qui apparaissent au moins quatre fois sont le 0, le 2 et le 7. On calcule alors les combinaisons de 4 parmi 8 pour le numéro 0, de 4 parmi 5 pour le numéro 2, et de 4 parmi 4 pour le numéro 7. On obtient ainsi 67 possibilités. La troisième question concerne le nombre de tirages avec uniquement des jetons blancs. Il y a 12 jetons blancs au total, donc on calcule les combinaisons de 4 parmi 12, ce qui donne 495. Ensuite, on cherche le nombre de tirages avec des jetons de la même couleur. Il n'y a que le blanc et le rouge qui sont représentés avec plus de 4 jetons. On calcule donc les combinaisons de 4 parmi 12 pour le blanc, et de 4 parmi 8 pour le rouge. On obtient ainsi 565 possibilités. La cinquième question demande de former le nombre 2020 avec les jetons. Comme l'ordre ne compte pas, on considère les possibilités pour chaque numéro. Il y a 8 jetons avec le numéro 2 et 4 jetons avec le numéro 0. On calcule alors les combinaisons de 2 parmi 8 pour le 2, et de 2 parmi 4 pour le 0. On obtient ainsi 268 possibilités. Enfin, la dernière question est un peu plus complexe. On cherche le nombre de tirages qui comportent au moins un jeton avec un numéro différent des autres. On considère alors l'événement contraire, c'est-à-dire des jetons tous identiques. On a déjà calculé qu'il y avait 76 tirages avec les numéros identiques, donc on soustrait ce nombre du total de tirages possible, ce qui donne 4739. Il est important de noter qu'en dénombrement et en probabilité, il est souvent utile de considérer l'événement contraire pour simplifier les calculs.

Entiers dont la somme des chiffres vaut 3

Le cours aborde le problème de déterminer combien de nombres entiers inférieurs à 10^P (puissance P) existent. On commence par remarquer qu'il y en a 10^P + 1, en considérant le 0. Ensuite, on cherche à savoir combien de ces nombres ont une somme de chiffres égale à 3. On utilise des exemples pour comprendre la structure du problème. Pour

Jeu de cartes

Dans cet exercice, nous devons calculer différentes probabilités liées au tirage de cartes d'un paquet de 32 cartes. La première question concerne la probabilité d'obtenir uniquement des cœurs. Il y a 8 cœurs dans le paquet, donc le nombre de tirages possibles pour obtenir que des cœurs est de 3 parmi 8. Le nombre total de tirages est de 3 parmi 32 (car on tire 3 cartes parmi un paquet de 32 cartes). En utilisant la formule de probabilité (nombre d'issues favorables divisé par le nombre d'issues total), nous obtenons la probabilité recherchée qui est de 7 sur 620. Ensuite, nous devons calculer la probabilité d'obtenir uniquement des As. Il y a 4 As dans le paquet, donc le nombre de tirages possibles pour obtenir que des As est de 3 parmi 4. En utilisant la même formule de probabilité, nous obtenons la probabilité recherchée qui est de 1 sur 1240. Enfin, la dernière question concerne la probabilité d'obtenir 2 cœurs et 1 pic. Pour cela, nous devons compter séparément le nombre de tirages possibles pour obtenir 2 cœurs (2 parmi 8) et pour obtenir 1 pic (1 parmi 8). En multipliant ces deux nombres, nous obtenons le produit 7 fois 4 fois 8. Le nombre total de tirages reste le même que précédemment, soit 3 parmi 32. En simplifiant les factorielles, nous obtenons la probabilité recherchée qui est de 7 sur 155. C'est ainsi que se conclut cet exercice de probabilité lié au tirage de cartes.

Tombola

Dans cet exercice de probabilité, on souhaite déterminer le nombre de billets à acheter dans une tombola pour que la probabilité de gagner soit supérieure à 1,5. On note N le nombre de billets à acheter et P la probabilité d'avoir au moins un billet gagnant. Pour calculer P, on calcule d'abord la probabilité d'avoir uniquement des billets perdants. Cette probabilité est donnée par le rapport entre le nombre de façons d'acheter N billets perdants parmi 998 billets perdants (N parmi 998) et le nombre de façons d'acheter N billets parmi les 1000 billets au total (N parmi 1000). Pour obtenir la probabilité d'avoir au moins un billet gagnant, on soustrait cette probabilité de 1. On obtient ainsi une équation polynomiale du second degré à résoudre pour trouver la valeur de N qui satisfait l'inéquation P ≥ 1,5. Après simplification et calcul des racines du polynôme, on trouve que N doit être supérieur ou égal à 293 pour avoir plus d'une chance sur deux d'avoir au moins un billet gagnant. Il est à noter que N ne peut pas dépasser 1000 car on ne peut pas acheter plus de billets que ceux disponibles dans la tombola.

Au moins un six

Dans cet exercice de probabilité, on nous demande la probabilité d'obtenir des résultats différents lors du lancement répété d'un dé équilibré n fois. On nous demande également la probabilité d'obtenir une fois le chiffre 6, ainsi que la probabilité d'obtenir au moins deux fois le chiffre 6 et au moins k fois le chiffre 6. La probabilité d'obtenir des résultats différents à chaque fois est de 1 moins 5 sur 6 élevé à la puissance n. La probabilité d'obtenir une fois le chiffre 6 est de 1 moins 5 sur 6 élevé à la puissance n. La probabilité d'obtenir au moins deux fois le chiffre 6 est de 1 moins la probabilité d'obtenir au plus une fois le chiffre 6. La probabilité d'obtenir au plus une fois le chiffre 6 est la somme de la probabilité d'obtenir zéro fois le 6 et la probabilité d'obtenir une fois le 6. Pour calculer la probabilité d'obtenir une fois le 6, on multiplie le nombre de possibilités d'obtenir exactement un 6, qui est une parmi n, par la probabilité d'obtenir un 6, qui est 1 sur 6, et par la probabilité de ne pas obtenir de 6 lors des autres lancers, qui est 5 sur 6 élevé à la puissance n moins 1. Donc la probabilité d'obtenir au moins deux fois le chiffre 6 est de 1 moins la somme de la probabilité d'obtenir zéro fois le 6 et la probabilité d'obtenir une fois le 6. La probabilité d'obtenir au moins k fois le chiffre 6 est la probabilité contraire de ne pas obtenir exactement 1, 2, 3, ... , k-1 fois le chiffre 6. Pour obtenir exactement j fois le chiffre 6, la probabilité est j parmi n multiplié par 1 sur 6 élevé à la puissance j, multiplié par 5 sur 6 élevé à la puissance n moins j. Donc la probabilité d'obtenir au moins k fois le chiffre 6 est de 1 moins la somme des probabilités d'obtenir exactement 1, 2, 3, ... , k-1 fois le chiffre 6. Voilà pour le résumé SEO friendly de cet exercice sur les probabilités.

Indice de coïncidence d’un texte

Dans cet exercice, nous étudions l'indice de coïncidence d'un texte, qui représente la probabilité que deux lettres choisies au hasard soient identiques. L'indice de coïncidence est exprimé par la formule Na*(Na-1) / N*(N-1), où Na représente le nombre de lettres A dans le texte, Nz le nombre de lettres Z, et ainsi de suite pour chaque lettre. Pour chaque lettre, il y a deux façons de choisir deux lettres identiques parmi celles de cette lettre, soit deux parmi Na possibilités. Au total, il y a deux façons de choisir deux lettres parmi l'ensemble des lettres du texte, soit deux parmi N possibilités. En simplifiant cette formule, nous obtenons l'expression Na*(Na-1) / N*(N-1) comme l'indice de coïncidence. Cet indice est calculé indépendamment pour chaque lettre, et représente la probabilité d'obtenir deux lettres identiques pour chaque lettre, de A à Z. Cela résume l'exercice sur l'indice de coïncidence.

Racines de polynômes

Dans cet exercice, nous devons calculer la probabilité que le polynôme Q, dont les coefficients sont obtenus en lançant trois fois un dé à six faces et en notant les résultats successifs "ABC", ait deux racines réelles distinctes. Pour cela, nous devons déterminer le nombre total d'issues possibles, qui est de 216 (6^3). Ensuite, nous devons trouver le nombre de cas où B²-4ac est strictement positif, ce qui est nécessaire pour avoir deux racines réelles distinctes. Pour cela, nous listons toutes les valeurs possibles pour 4ac en recensant toutes les valeurs de A et C, et en calculant 4ac pour chaque combinaison. Par exemple, le résultat du calcul pour ABC = 3x4x4 est 48. Ensuite, nous listons toutes les valeurs possibles pour B et pour chaque valeur, nous comptons combien de cases dans le tableau des calculs de 4ac rendent B²-4ac strictement positif. En ajoutant ces possibilités, on obtient un total de 38. Cela correspond au nombre de cas où B²-4ac est strictement positif et donc à la taille de l'ensemble A. La probabilité de A est donc de 38/216, simplifiée en 19/108. Nous suivons le même raisonnement pour calculer la probabilité de B, qui est le cas où Q a une racine réelle double (B²-4ac = 0), et pour calculer la probabilité de C, qui est le cas où Q n'a pas de racine réelle (B²-4ac < 0). En effectuant ces calculs, nous obtenons 5/216 pour B et 173/216 pour C. Conclusion : La probabilité que Q ait deux racines réelles distinctes est donc de 173/216.

Matrice diagonale

Dans cet exercice, nous sommes dans le contexte des matrices 2x2 et des probabilités. Nous avons quatre événements à considérer : A (matrice diagonale), B (matrice triangulaire supérieure et non diagonale), C (matrice triangulaire inférieure et non diagonale) et D (matrice non triangulaire). Pour déterminer les probabilités de ces événements, nous utilisons la méthode classique en comptant le nombre d'issues qui nous intéressent et en le divisant par le nombre total d'issues. Pour A, les matrices triangulaires, nous avons quatre possibilités (ε1 et ε4 peuvent valoir soit 0, soit 1), donc la probabilité de A est 1/4. Pour B et C, les matrices triangulaires supérieure et inférieure respectivement, nous avons également quatre possibilités pour chaque événement. Donc, les probabilités de B et C sont également de 1/4. Pour D, les matrices non triangulaires, il reste quatre possibilités. Donc, la probabilité de D est également de 1/4. Ensuite, nous devons déterminer la probabilité qu'une matrice soit diagonalisable. Pour les matrices de A, elles sont toutes diagonales, donc elles sont diagonalisables. Pour B et C, il faut que les valeurs sur la diagonale soient différentes de 0 et de 1 pour qu'elles soient diagonalisables. Il y a deux possibilités pour chaque valeur, donc il y a 2 diagonalisables dans B et 2 diagonalisables dans C. Enfin, pour les matrices de D, elles sont toutes diagonalisables. En somme, il y a 12 matrices diagonalisables sur les 16 possibles. Donc, la probabilité qu'une matrice soit diagonalisable est de 3/4.

Le problème des anniversaires

Dans cet exercice, nous traitons le paradoxe des anniversaires, adapté à une classe de 30 élèves. La probabilité que deux élèves aient la même date d'anniversaire est beaucoup plus élevée que prévu. Nous oublions la possibilité du 29 février pour simplifier les calculs. Ainsi, pour chaque élève, la probabilité qu'ils aient une date qui n'a pas encore été prise diminue. Au final, nous obtenons une probabilité d'environ 0,706 que deux élèves aient la même date d'anniversaire parmi les 30. Il est donc préférable de ne pas accepter le pari du professeur, car il a plus de chances de gagner.