Cours de Concentration et Loi des Grands Nombres en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Concentration et Loi des Grands Nombres

Somme de VA : Bernoulli

Le cours traite de la notion de somme de variables aléatoires indépendantes, suivant une loi de Bernoulli de paramètre p. On nous donne 300 variables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de paramètre p=0,23. La question est de déterminer la loi suivie par la somme de ces 300 variables aléatoires et d'en déduire son espérance. Pour répondre à cette question, le cours rappelle d'abord ce qu'est un schéma de Bernoulli, qui est la répétition de n épreuves identiques et indépendantes. Ensuite, il rappelle ce qu'est une loi binomiale de paramètre np, qui est la loi des variables aléatoires donnant le nombre de succès sur les n répétitions d'un schéma de Bernoulli. Comme les x1 jusqu'à x300 sont des variables aléatoires identiques et indépendantes suivant la même loi de Bernoulli, leur somme, notée x, suit une loi binomiale de paramètre n=300 et p=0,23. L'espérance de x est alors calculée en utilisant le rappel selon lequel l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale est égale à n fois p. Dans notre cas, l'espérance de x est donc égale à 300 fois 0,23, soit 69.

Somme de VA de même loi

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice de probabilité concernant une roue de loterie. La roue comporte cinq secteurs avec des valeurs de points différentes. En faisant tourner la roue quatre fois, on obtient un gain algébrique en points représenté par la variable aléatoire Z. L'objectif est de décomposer Z en une somme de variables aléatoires identiques et indépendantes, puis de calculer son espérance. En analysant l'énoncé, Corentin remarque que Z est la somme des variables aléatoires x1, x2, x3 et x4. Il explique que Z peut prendre des valeurs positives ou négatives, selon les gains obtenus lors des lancées de roues. Pour chaque lancé, les variables x1, x2, x3 et x4 suivent une loi spécifique : 300 avec une probabilité de 0,4, 100 avec une probabilité de 0,2 et -400 avec une probabilité de 0,4. En appliquant les propriétés de l'espérance, Corentin calcule l'espérance de chaque variable x, puis les additionne pour obtenir l'espérance de Z. Il montre que l'espérance de x est égale à -20, ce qui signifie que, en moyenne, les joueurs perdent 80 euros ou 80 points en jouant à ce jeu. Ainsi, le résumé SEO friendly du cours pourrait être : "Dans cette vidéo, Corentin résout un exercice de probabilité portant sur une roue de loterie. En décomposant la variable aléatoire Z en une somme de variables identiques et indépendantes, il calcule l'espérance du gain algébrique en points obtenu après quatre lancées. En moyenne, les joueurs perdent 80 points ou 80 euros en jouant à ce jeu."

Modéliser par une somme (1)

Le cours traite de la modélisation probabiliste d'événements à l'aide de variables aléatoires. Il présente un jeu consistant à lancer un dé tétraédrique et un dé cubique, puis à étudier la somme de leurs résultats. Pour modéliser cette situation, deux variables aléatoires x et y sont proposées, où x représente le résultat du dé tétraédrique et y représente le résultat du dé cubique. La somme x + y est utilisée pour représenter la somme des résultats des deux dés. L'approche recommandée est de penser de manière logique et de considérer les résultats des dés comme les valeurs des variables aléatoires. Le cours propose également un bonus, qui consiste à calculer l'espérance de la somme x + y. En utilisant l'inégalité de l'espérance, il est démontré que l'espérance de x + y est égale à l'espérance de x plus l'espérance de y. Puisque les résultats des dés sont considérés comme équiprobables, les calculs sont effectués en multipliant les valeurs possibles par leurs probabilités respectives. Finalement, il est conclu que l'espérance de x + y est égale à 6, ce qui peut être interprété comme la moyenne des scores obtenus dans le jeu.

Modéliser par une somme (2)

Dans cette vidéo, Corentin aborde la notion de somme de variables aléatoires en utilisant un exemple concret. Il commence par présenter l'exercice qui consiste à étudier les tirs réussis par Elia lors d'un entraînement au jet de 7 mètres. Elia a effectué 30 tirs le matin et 50 l'après-midi, avec des probabilités de réussite de 0,46 et 0,78 respectivement. Les tirs sont considérés comme indépendants les uns des autres. En utilisant les notations x et y pour le nombre de tirs réussis le matin et l'après-midi, on nous demande de déterminer la loi suivie par x et y. Il est ensuite demandé de comprendre ce que représente la somme des variables aléatoires x et y, puis de calculer leur espérance et de l'interpréter. On constate que x suit une loi binomiale de paramètres 30 et 0,46, tandis que y suit une loi binomiale de paramètres 50 et 0,78. La somme des variables aléatoires x et y représente le nombre total de tirs réussis au cours de la journée. Pour calculer l'espérance de x plus y, Corentin rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire binomiale est égale à sa probabilité de réussite multipliée par le nombre de tirages. En utilisant cette formule, il trouve que l'espérance de x plus y est égale à 45. Cela signifie qu'Elia peut espérer réussir 45 tirs au cours de la journée. Ce résumé en SEO friendly du cours met en valeur les points essentiels tels que les variables aléatoires, les lois binomiales, la somme des variables aléatoires et l'espérance.