Cours de Dérivation en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Dérivation

Dérivation : rappel de concept

Voici un résumé du cours :La dérivation permet de savoir si une fonction est en train de croître ou de décroître en se rapportant à des droites, appelées tangentes, plus faciles à étudier. Pour trouver la valeur de la pente de la tangente, on utilise la méthode de la corde AB, en prenant la limite du taux d'accroissement de la fonction F au point A, quand la distance H devient nulle. Cette limite est appelée nombre dérivé, noté f' de A, qui représente la pente de la tangente au point A. Le nombre dérivé est la manière courte de désigner la pente de la tangente.

Calcul de nombre dérivé

Dans ce cours, nous montrons qu'une fonction est dérivable en un point en appliquant la définition fondamentale qui stipule qu'une fonction est dérivable en un point si son taux d'accroissement admet une limite finie unique. Nous prenons pour la fonction h l'expression du taux d'accroissement au point 2 et simplifions l'expression pour obtenir une unique fraction au final. Ensuite, nous prenons la limite de cette expression simplifiée lorsque x tend vers 2 pour trouver une limite finie unique de la fonction h en ce point. Nous concluons que la fonction h est dérivable en 2 et que la limite du taux d'accroissement est égale à –7. Nous conseillons de simplifier l'expression du taux d'accroissement avant de prendre la limite afin de limiter les erreurs éventuelles.

Nombre dérivé : la quantité conjuguée

Dans cet exercice de mathématiques, nous apprenons comment calculer la limite d'un taux d'accroissement pour montrer qu'une fonction est dérivable en un point. Pour cela, nous utilisons la méthode de quantité conjuguée qui est une transformation classique lorsque nous avons une expression de racine. Nous examinons également le problème de la division de 0 par 0, où il n'y a pas de règle spécifique à suivre. Nous cherchons ensuite une identité remarquable qui nous permet de simplifier le problème et de trouver la limite du taux d'accroissement. Cette méthode de quantité conjuguée est importante et peut être utilisée dans de nombreux autres exercices. À la fin, nous trouvons que la limite est égale à un sixième.

Rappel : être dérivable en un point

La vidéo explique ce qu'est être dérivable en un point. Pour être dérivable, le taux d'accroissement de la fonction en ce point doit avoir une limite finie et unique. La vidéo montre des exemples où une fonction ne respecte pas cette définition : par exemple, la fonction 1/x n'est pas définie en 0, donc pas dérivable, mais la racine de x est définie en 0 et pourtant n'est pas dérivable car elle admet une demie-tangente verticale et a une limite infinie. La valeur absolue de x est dérivable partout sauf en 0 où elle admet deux demie-tangentes de pentes opposées, ce qui ne respecte pas l'exigence d'une limite unique. Ces exemples montrent bien que la définition de la dérivabilité est importante pour comprendre et utiliser les fonctions en mathématiques.

Dérivée d'une fonction

La méthode présentée ici ne vise pas à montrer la dérivabilité d'une fonction en un point spécifique, mais plutôt à comprendre quand une fonction est dérivable en général et pour quel ensemble de points, ainsi qu'à calculer la fonction dérivée associée. Il est important de retenir que les problèmes surgissent quand le contenu de la racine ou de la valeur absolue est égal à zéro, car cela entraîne une non-dérivabilité. Pour les fonctions racine et valeur absolue, les problèmes surgissent généralement lorsque le contenu est égal à zéro. Il est nécessaire de vérifier si une fonction est définie sur un ensemble et de comprendre les points où elle n'est pas dérivable. Une formule permettant de dériver une fonction de racine est présentée et doit être mémorisée. Les précautions à prendre sont de faire attention lorsque le contenu de la racine est égal à zéro, car dans ce cas, la dérivation n'est pas possible.

Droite affine et tangente à une courbe

Cet exercice introduit le concept d'équation de la tangente pour la dérivation. On doit trouver l'équation d'une tangente qui passe par un point donné. Pour cela, on utilise des méthodes de troisième pour trouver la pente, le coefficient directeur d'une droite, etc. On détermine la pente alpha en utilisant la différence des ordonnées divisé par la différence des abscisses. Ensuite, on trouve le coefficient bêta en utilisant le point J et l'équation Y=alphaX+bêta. L'équation finale de la tangente est obtenue. Ce cours rappelle comment trouver l'équation d'une droite à partir de deux points et sert de base pour comprendre comment trouver l'équation de la tangente à un point d'une courbe, en utilisant la dérivation. L'équation complète de la tangente est présentée à la fin du cours et doit être apprise par cœur.

Trouver des tangentes parallèles

La démonstration consiste à trouver deux points distincts sur une courbe de fonction qui ont une pente de -1. Pour cela, il suffit de calculer la dérivée de la fonction f' et ensuite de trouver les racines de l'équation f' (x) = -1. Avec ces deux points, on peut alors trouver les coordonnées et tracer la courbe pour vérifier graphiquement. Ainsi, la démonstration est une application des méthodes de dérivation et de calcul des racines pour trouver des propriétés géométriques de la courbe.

Trouver la formule d'une fonction

Ce cours traite de la résolution d'une fonction inconnue à partir de sources d'informations données. On commence par déterminer une expression possible de la fonction f2x en trouvant les valeurs des réels a et b. Pour cela, on dérive f2x et on l'égalise à 6x + 7. On en déduit que a = 3 et b = 7. Pour trouver la valeur de c, qui est la troisième inconnue, on utilise une information supplémentaire qui est que la courbe de f passe par le point (1,6). En mettant x = 1 dans f2x, on obtient une équation reliant c à 3 et 7, d'où on en déduit que c = -4. En combinant toutes les informations, on trouve que f2x = 3x2 + 7x - 4. La méthode consiste donc à trouver autant de sources d'information que d'inconnues pour résoudre la fonction.

Approximation affine

Dans ce cours sur l'approximation affine, nous examinons le concept de dérivation et expliquons comment on peut approximer une courbe en utilisant sa tangente. Tout d'abord, nous montrons que pour une fonction dérivable f, du point a à a plus h, le taux de variation est approximativement égal à f'(a). Cette formule peut être exprimée comme f(a + h) ≈ f(a) + h * f'(a). Pour mieux comprendre cette approximation, nous utilisons des graphiques. Par exemple, nous observons que lorsque nous zoomons sur une courbe, la tangente et la courbe se confondent dans une certaine plage. Nous illustrons cette idée avec différents exemples, tels que la fonction 1 + x². Ensuite, nous montrons comment cette approximation peut être utilisée pour justifier une équation particulière. Par exemple, pour la fonction f(x) = x², nous démontrons que lorsque h est proche de 0, on peut écrire 1 + h² ≈ 1 + 2h. Cette équation peut être dérivée de la formule précédente en utilisant f(1) = 1 et f'(x) = 2x. Enfin, nous utilisons cette approximation pour obtenir des valeurs approchées sans utiliser de calculatrice. Par exemple, nous approchons 1,05 et 0,999 en utilisant l'équation 1 + 2h avec h = 0,05 et h = -0,001 respectivement. Nous comparons ensuite ces valeurs approchées avec les valeurs exactes en utilisant une calculatrice. En résumé, l'approximation affine est une méthode qui permet d'approximer une courbe par sa tangente lorsque l'on se rapproche suffisamment de la courbe. Cela peut être utile pour calculer des valeurs approximatives sans avoir besoin d'une calculatrice.

Classique - Fonction à paramètre

Le cours porte sur les courbes avec un paramètre et les exercices de dérivation. Des fonctions sont présentées en fonction du paramètre m, qui peut varier. Dans le premier exercice, l'objectif est de trouver deux points d'abscisse pour lesquels les tangentes sont parallèles à l'axe des abscisses. En calculant la dérivée de la fonction g, on peut trouver ces deux points. Dans le deuxième exercice, le but est de déterminer pour quelle valeur de m il y a une seule solution pour la tangente parallèle à l'axe des abscisses. En calculant le delta de la fonction g, on peut trouver cette valeur. La réponse est m=4/3 et la solution unique pour la tangente parallèle à x-axis est x=1.5.

Des courbes tangentes

Ce cours présente un exercice qui introduit la notion de tangence entre deux courbes. Les deux courbes données sont une fonction f, qui est une hyperbole décrite par l'équation 5x + 4 / 4x, et une fonction g, qui est une parabole décrite par l'équation x^2 + x + 1/4. D'abord, on sépare la fraction de f en deux parties, simplifiant ainsi 5x / 4x à 5/4 et 4 / 4x à 1 / x. Cela rend l'expression de f beaucoup plus simple. Ensuite, on observe que l'expression de g peut être factorisée sous la forme (x + 1)^2. Cette observation n'est pas nécessaire mais peut être utile pour développer une intuition rapide. On montre graphiquement que les deux courbes se touchent en un point unique, situé à l'abscisse (-1, 0.25). Ensuite, on effectue des calculs pour montrer que g(2x) - f(2x) = x^3 + x^2 - x - 1. On utilise deux méthodes: la factorisation en utilisant les identités remarquables, et l'utilisation de la réponse donnée à l'exercice pour développer l'expression. En utilisant ces calculs, on déduit que les points d'intersection des courbes sont x = 1 et x = -1. On détermine également la position relative des courbes cf et cg en utilisant un tableau de signe. On conclut que cg est au-dessus de cf lorsque x < 0 et lorsque x < 1. Enfin, on montre que les courbes admettent la même tangente au point (-1, 0.25), en calculant les dérivées f'(-1) = -1 et g'(-1) = -1. En conclusion, cet exercice présente une situation intéressante où deux courbes se touchent en un point unique et admettent la même tangente à ce point.