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Asymptote et position relative

Ce cours est une transcription d'une vidéo qui traite d'une étude de fonctions avec une approche SEO friendly. Le professeur aborde une fonction classique et explique son étude d'asymptote ainsi que sa position relative. Il souligne l'importance de certains réflexes à avoir pour réussir l'exercice, tels que la factorisation et la prise en compte des limites en plus et moins l'infini. Le professeur explique qu'il factorise la fonction f2x par 2 fois x plus 4, ce qui lui permet de simplifier l'expression et de trouver rapidement la limite en plus et moins l'infini (1,5). Il souligne également l'intérêt d'une réécriture de la fonction en utilisant des polynômes de degré 1 au numérateur et au dénominateur, ce qui facilite la résolution de l'exercice. En appliquant cette réécriture, le professeur identifie deux asymptotes : une asymptote horizontale à y = 1,5 et une asymptote verticale à x = -4. Ces asymptotes permettent de répondre à la question 1. En ce qui concerne la question 2, qui porte sur la position relative de CF par rapport à l'asymptote horizontale, le professeur utilise la différence entre l'expression de la fonction et celle de l'asymptote. Grâce à la réécriture, il trouve que cette différence est égale à -3/(x + 4), ce qui lui permet de conclure que la fonction est en dessous de l'asymptote horizontale pour x très positif et au-dessus pour x négatif. Pour résumer, ce cours met en avant l'importance des réflexes de factorisation, de prise en compte des limites en plus et moins l'infini, et de réécriture pour étudier les fonctions. Il montre également comment trouver rapidement les asymptotes et déterminer la position relative de la function par rapport à celles-ci.
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Étude TRES complète

Ce cours porte sur la recherche des bornes de définition d'une fonction et la détermination des limites aux bornes. Pour trouver les bornes de définition, il faut s'assurer que ce qui se trouve sous la racine carrée est positif ou nul. On sait que cela se produit lorsque x est strictement supérieur à 1 ou strictement inférieur à -1. Ensuite, il faut également vérifier que la racine carrée de x²-1 est différente de zéro, car on ne peut pas diviser par zéro. Pour résoudre ce problème, il faut faire attention à ne pas simplement supprimer -1 et 1 pour garder les valeurs entre -1 et 1. En effet, cela ne fonctionne pas car il y a des valeurs pour lesquelles la fonction deviendrait négative. On peut vérifier cela en substituant x par 0.5 par exemple. Les bornes de définition de la fonction sont donc les intervalles entre -∞ et -1, entre -1 et 1, entre 1 et ∞. Il est également utile de vérifier si la fonction est paire ou impaire. Si elle est impaire, cela signifie que si on connaît son évolution pour x croissant, on peut automatiquement en déduire son évolution pour x décroissant. Cela permet de diviser par deux la quantité de travail nécessaire pour calculer les limites. Dans cet exercice, la fonction est impaire, ce qui signifie que si on trouve les limites pour x tendant vers +∞ et x tendant vers -∞, on peut en déduire les limites pour x tendant vers -∞ et x tendant vers +∞ respectivement. En utilisant cette information, on peut trouver les limites pour les segments de droite et pour x tendant vers +∞. Dans le cas où on n'observe pas l'imparité de la fonction, on peut utiliser d'autres méthodes pour trouver les limites. Ensuite, l'auteur du cours explique comment trouver les limites pour x tendant vers 1 et x tendant vers -∞. Il utilise la propriété de la racine carrée et la règle de la parité pour simplifier les calculs. Finalement, il conclut en expliquant qu'il y a bien des asymptotes pour cette fonction. Il mentionne qu'il y a une asymptote horizontale à y = 1 pour les limites en +∞ et une asymptote verticale à y = -1 pour les limites en -∞. Il précise également qu'il y a une autre asymptote verticale à x = 0+ pour les limites lorsque x approche de 0+. En résumé, ce cours explique comment trouver les bornes de définition d'une fonction, déterminer les limites aux bornes, et identifier les asymptotes.
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Asymptote oblique

L'asymptote oblique est étudiée dans ce cours. Il est précisé que cela faisait partie du programme de première, mais apparemment cela a changé. L'enseignant mentionne qu'il était habitué à faire des exercices sur les asymptotes obliques en première, et il recommande de les étudier car cela peut être demandé aux examens. Il explique que l'asymptote oblique est une droite de la forme AX plus B, vers laquelle la fonction se rapproche lorsque x tend vers plus ou moins l'infini. Dans l'exercice présenté, il simplifie une fonction en différentes fractions pour rendre le calcul plus facile. Il souligne également l'importance de séparer les fractions pour simplifier l'analyse de la fonction. Il mentionne que certaines astuces peuvent être utiles, comme reconnaître une expression comme un carré parfait. L'enseignant poursuit en étudiant les variations de la fonction. Il explique que la dérivabilité de la fonction est souvent un critère utilisé pour déterminer les variations. Il rappelle que les racines de x et la fonction valeur absolue sont des cas particuliers où la dérivabilité pose problème. Il effectue des calculs pour déterminer la dérivée de la fonction et analyse les signes de celle-ci. Il note que la fonction est dérivable en dehors des racines et utilise ces informations pour compléter un tableau des variations. Ensuite, il calcule les limites de la fonction aux extrémités de l'intervalle d'étude. Il remarque que les limites tendent vers l'infini et complète le tableau en indiquant les limites aux différents points. Il fait également une observation sur l'asymptote verticale en x=0. Enfin, l'enseignant aborde la question des asymptotes dans l'exercice. Il conclut qu'il y a une asymptote verticale en x=0 mais pas d'asymptote horizontale car la limite de la fonction tend vers l'infini. Il mentionne ensuite la nécessité de déterminer les limites et d'étudier la position relative des deux expressions, en analysant le signe de leur différence. Il rappelle la simplicité de cet exercice grâce à la bonne expression utilisée.
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Croissance comparée plus lourde

Dans ce cours, il est question de la croissance comparée et de la fonction exponentielle E de x. L'objectif est de simplifier l'expression en utilisant la comparaison entre E de x et une autre puissance. On met en évidence le terme qui semble être le plus important, c'est-à-dire E de x. On simplifie ensuite l'expression en la divisant par E de x en haut et en bas. On obtient ainsi une expression idéale égale à 1-E de x. On remarque que E de x tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini. On décompose également l'expression en différentes parties et on constate que chacune tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini. On conclut donc que l'expression tend vers 0.
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Difficile : BAC 2009

Ce cours est une transcription d'une vidéo qui date de 2009 et concerne l'étude d'une fonction. Dans cet exercice, il est demandé d'étudier une fonction, de trouver sa limite en plus infini, et de montrer qu'elle admet un maximum. Pour trouver la limite en plus infini, on utilise la croissance comparée. On compare la convergence de l'exponentielle à celle des puissances de x lorsque x tend vers plus infini. On constate que l'exponentielle domine toujours une puissance de x, par conséquent, la limite de la fonction est 0 lorsque x tend vers plus infini. Ensuite, pour montrer que la fonction admet un maximum, on calcule sa dérivée. On applique la formule du produit de deux fonctions, ce qui donne une expression avec des exponentielles. On utilise une règle de dérivation pour simplifier l'expression. On constate que la dérivée est positive ou nulle sur l'ensemble des réels positifs. On trouve que la dérivée est positive lorsque x est plus petit que la racine de 2 sur 2 (√2/2), et négative lorsque x est plus grand que √2/2. En construisant un tableau de variations, on détermine que la fonction monte puis descend, avec un maximum en √2/2. Pour calculer la valeur du maximum, on remplace x par √2/2 dans la fonction et on simplifie l'expression. On obtient racine de 2 sur 2 fois l'exponentielle de -1,5. Cela conclut l'exemple.
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Exp : indéterminée en -∞

Ce cours aborde la démonstration d'un exercice classique en mathématiques. L'objectif est de rappeler une limite importante et d'étudier les variations d'une fonction dérivable. Le professeur utilise des techniques de calcul pour simplifier les expressions et établir les résultats demandés. Notamment, il démontre que la limite de la fonction tend vers l'infini et identifie une asymptote horizontale à la courbe. Enfin, il effectue un tableau de variations pour déterminer les intervalles où la dérivée de la fonction est positive ou nulle. La conclusion indique que la limite de la fonction, quand X tend vers moins l'infini, est égale à 1, ce qui permet de déduire une autre asymptote horizontale à la courbe.
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Vers la SUP : Quantité conjuguée

Dans ce cours, il est expliqué que le nombre d'éléments de la somme reste fixe, représenté par n. En revanche, la valeur de x va augmenter. Pour résoudre cet exercice, il est conseillé d'utiliser la méthode de la quantité conjuguée. En utilisant cette méthode, on peut réécrire la somme en utilisant des racines et en les mettant en paire avec une racine principale. En multipliant chaque terme de la somme par la quantité qu'on souhaite obtenir, on obtient une expression qui peut être simplifiée. Le tout tend vers 0 lorsque x tend vers plus l'infini. La clé pour résoudre cet exercice est de dépasser les peurs et les stress liés à l'écriture et de bien comprendre les concepts fondamentaux, tels que la quantité conjuguée.
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Quantité conjugée piégeuse

Dans ce cours, nous abordons la méthode D, qui consiste à utiliser une quantité conjuguée pour simplifier une expression. L'erreur à éviter est de transformer le signe "- " en "+", car cela mènera à des calculs erronés. Une autre possibilité est d'utiliser une différence de racine, mais cela ne convient pas à notre expression. Pour simplifier l'expression, nous décidons de séparer la fraction en deux parties. En utilisant une quantité conjuguée, nous pouvons simplifier la première partie en x-a au carré divisé par la racine de x2-2 multipliée par la racine de x plus la racine de a. En simplifiant davantage, nous obtenons x-a divisé par la racine de x moins a multipliée par la racine de x plus a. Dans la limite où x tend vers a, la racine de x-a devient simplement racine de a. Pour la deuxième partie de l'expression, nous réutilisons le même raisonnement. Cela nous donne racine de x moins a divisé par la racine de x2 moins a2. En utilisant les résultats précédents, nous concluons que cette expression tend vers 0 lorsque x tend vers a plus. En combinant les deux parties, nous obtenons une fonction f(x) égale à -1 sur 2 racine de x tendant vers a plus. En résumé, en utilisant la méthode D et en séparant la fraction en deux parties, nous avons pu simplifier l'expression initiale pour obtenir une fonction f(x) égale à -1 sur 2 racine de x tendant vers a plus.
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Déf formelle

La continuité en mathématique fait référence à la propriété d'une fonction où il n'est pas nécessaire de lever le stylo pour la tracer. De manière formelle, une fonction f est continue en un point a si et seulement si la limite finie de f lorsque x tend vers a est égale à f(a). Si cette condition est vérifiée pour tous les points d'un intervalle, on dit que la fonction est continue sur cet intervalle. La limite finie en un point signifie que lorsque x approche d'une valeur a, la fonction se rapproche d'une valeur l. Pour vérifier cela, on peut sélectionner un intervalle orange arbitraire et trouver un intervalle bleu correspondant où toutes les valeurs de la fonction sont comprises dans l'intervalle orange. Si cette condition est vérifiée pour tous les intervalles orange de tailles différentes, alors la fonction a une limite finie en un point. La continuité d'une fonction est établie lorsque la limite finie en un point est égale à f(a).
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Discontinuités : exemples

La continuité d'une fonction est définie comme étant la présence d'une limite finie en un point, qui est également la valeur de la fonction à ce point. Si pour un couloir horizontal donné, il est possible de trouver un couloir vertical dans lequel toutes les valeurs de la fonction se trouvent également dans le couloir horizontal, alors la fonction est continue. Par exemple, si le couloir orange est suffisamment réduit, toutes les valeurs de la fonction se trouvent dans ce couloir, ce qui signifie que la fonction se rapproche infiniment du point au milieu. Cependant, il existe également des discontinuités dans les fonctions. La première est la discontinuité par non-existence du point, ce qui signifie que le point n'est pas défini. Par exemple, la fonction f(x) = 1/x n'est pas définie en zéro, ce qui rend la fonction non continue en zéro. En plus de cela, la fonction a un comportement croissant à l'infini à droite et décroissant à l'infini à gauche. Un autre exemple de discontinuité est une fonction composée de deux paraboles, où la valeur de la fonction est zéro en zéro pour la branche de droite, mais n'est pas attribuée à la branche de gauche. Cela crée un saut dans la fonction, ce qui la rend discontinue. Enfin, il y a des discontinuités rattrapables, où la fonction n'est pas définie en un point, mais il est possible de trouver une valeur pour ce point qui permettrait de rendre la fonction continue. Par exemple, la fonction f(x) = sin(x)/x n'est pas définie en zéro, mais si on attribue une valeur de 1,7 à ce point, la fonction peut être prolongée de manière continue. En somme, la continuité d'une fonction se base sur la présence d'une limite finie en un point, tandis que les discontinuités peuvent être dues à la non-définition d'un point, à des sauts ou peuvent être rattrapables en attribuant une valeur spécifique au point.
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Fonctions usuelles

Ce cours traite de la continuité des fonctions visuelles. Il explique que la plupart des fonctions visuelles rencontrées depuis le lycée sont continues, y compris les fonctions x puissance n, 1 sur x, racine carrée, valeur absolue, exponentielle, sinus et cosinus, ainsi que toutes les fonctions construites à partir de combinaisons de celles-ci. Les fonctions non continues sont généralement des fonctions construites par morceaux et par branches. Le cours rappelle également les différents types de discontinuité, tels que la discontinuité par définition, les sauts de discontinuité, les discontinuités prolongeables et les discontinuités en un point mal placé non-prolongeables. Il souligne également que l'ensemble de définition, l'ensemble de continuité et l'ensemble de dérivabilité ne sont pas nécessairement les mêmes pour une fonction donnée. Par exemple, la fonction valeur absolue de x est définie sur R, continue sur R mais non dérivable sur R. Cependant, elle est dérivable sur R étoile. Le cours se termine en encourageant les questions dans le forum et annonce une prochaine vidéo.
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Continuité vs dérivabilité

Ce cours explique le lien entre dérivabilité et continuité d'une fonction. On y apprend que si une fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en ce point, mais que le contraire n'est pas vrai. Une démonstration est également donnée pour illustrer ce lien. En résumé, l'ensemble des points où une fonction est dérivable est contenu dans l'ensemble des points où elle est continue, qui est lui-même contenu dans l'ensemble des points où elle est définie. Deux exemples importants de fonctions continues mais non dérivables sont la racine carrée en 0 et la valeur absolue.