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Primitive : Définition

Une primitive de la fonction f est une fonction qui satisfait l'équation différentielle y'=f. En d'autres termes, c'est une fonction F telle que F'=f. Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction. Par exemple, l'exponentielle est une fonction qui vérifie l'équation y'=y. Les primitives d'une fonction peuvent être trouvées en utilisant le tableau de primitives, qui est l'inverse du tableau de dérivées. Il est important de noter qu'il faut toujours ajouter une constante lors de la recherche des primitives, car la dérivée d'une constante est nulle. Certaines fonctions peuvent avoir des primitives similaires. Par exemple, les fonctions 3x+2 et 3x+4 ont la même dérivée. Une illustration des primitives de la fonction f(x)=x² est donnée, montrant les différentes fonctions qui ont la même dérivée que x². Enfin, le tableau de primitives est présenté, donnant les expressions générales des primitives pour différentes fonctions. Il est conseillé de connaître ces expressions par cœur.
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Existence et Calcul des Primitives

Ce cours aborde quelques théorèmes importants sur l'existence des primitives en mathématiques. Le premier théorème stipule qu'une fonction continue sur un intervalle a des primitives sur cet intervalle. Par exemple, la fonction constante 3 a plusieurs primitives, telles que 3x+2, 3x+5 et 3x-pi. On peut en trouver une infinité en ajoutant une constante. Le deuxième théorème indique que l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction continue sur un intervalle est l'ensemble des fonctions de la forme F(x)+k, où F est une primitive de la fonction et k est une constante. Cela signifie qu'il n'y a pas d'autres formes de primitives possibles. Le troisième théorème affirme que pour tout réel y0, il existe une unique primitive qui passe exactement par ce point. Par exemple, si on fixe l'ordonnée 5, il n'y a qu'une seule primitive qui passe par ce point. La démonstration du premier théorème utilise une démonstration par condition nécessaire et suffisante. On montre que toute fonction qui est une primitive d'une autre fonction doit être de la forme F(x)+k. On prouve également que toute fonction de cette forme est une primitive. Enfin, le cours présente un tableau récapitulatif des différentes règles pour primitives, similaire au tableau des dérivées. Par exemple, la primitive de la somme de deux fonctions est la somme des primitives des fonctions, et la primitive d'une constante multipliée par une fonction est égale à cette constante multipliée par la primitive de la fonction. Il est important de maîtriser ces théorèmes et règles pour pouvoir calculer les primitives de fonctions de manière efficace.
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Primitives : condition initiale

Dans cet exercice, nous devons vérifier si la fonction proposée, F(x) = x³ + ln(x), est bien une primitive de la fonction f(x) = 3x² + 1/x. Pour cela, nous allons dériver F(x) pour voir si nous obtenons f(x). En dérivant F(x), nous obtenons 3x² + 1/x, ce qui est bien égal à f(x). Donc F(x) est une primitive de f(x). Cependant, il est important de noter qu'il existe une infinité de primitives de f(x) qui diffèrent par une constante additive. Ainsi, l'ensemble des primitives de f(x) est de la forme F(x) + K, où K est une constante réelle. Ensuite, nous devons déterminer l'unique primitive de f(x) qui s'annule en un certain point E. Pour cela, nous évaluons F(E) + K et cherchons la valeur de K qui rend cette expression égale à zéro. En calculant F(E), nous obtenons E³ + 1 + K. En résolvant l'équation E³ + 1 + K = 0, nous trouvons que K = -1 - E³. Ainsi, la primitive de f(x) qui s'annule en E est F(x) + K = ln(x) + x³ - 1 - E³. Cet exercice introduit la notion de primitives et montre leur utilité pour la résolution des équations différentielles. N'hésitez pas à poser vos questions dans la FAQ si besoin.
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Transformer puis primitiver

Dans ce cours, nous étudions comment trouver une primitive à partir d'une fonction pour laquelle il n'est pas évident de la trouver. Nous avons vu qu'il est généralement facile de dériver, mais trouver une primitive peut être compliqué. Nous avons pris comme exemple une fonction f(x) égale à 3x^2 + 2x^3 + 2x. Nous avons essayé de l'identifier sous la forme u' * u. Nous avons remarqué que le polynôme de degré 2 correspondait à u(x), et après avoir dérivé, nous avons obtenu que u' était égal à 3x^2 + 2, ce qui correspondait exactement à ce que nous avions au départ. Donc, finalement, nous avons trouvé que la primitive de u' * u était égale à 1/2u^2(x). De là, nous avons pu déterminer une primitive de f(x), qui était donc égale à 1/2(x^3 + 2x)^2. Ensuite, nous avons voulu trouver la primitive qui valait 5 lorsque x était égal à 1. Nous savions que toutes les primitives étaient de la forme f(x) + k, avec k appartenant à R, mais il y avait une seule primitive qui prenait la valeur 5 en x = 1. En résolvant l'équation, nous avons trouvé que k était égal à 1/2. Donc, finalement, la fonction cherchée était 1/2(x^3 + 2x)^2 + 1/2. Ensuite, nous avons considéré une nouvelle fonction g qui était aussi un produit, mais cette fois-ci au dénominateur. Nous avons utilisé une méthode classique pour les fonctions rationnelles, appelée décomposition en éléments simples. Nous avons trouvé que g(x) était égal à -1/(x+1) + 1/(x-1). En trouvant les primitives de chaque terme, nous avons obtenu que la primitive de g(x) était -ln(x) + ln(x-1). Après avoir vérifié que la dérivée était correcte, nous avons noté que cette fonction était définie pour x > 1, car g(x) était non définie pour x = 0 et x = 1. De plus, nous avons mentionné qu'une primitive de 1/x était ln(|x|), et qu'il fallait faire attention aux valeurs absolues lorsque la fonction était définie sur plusieurs intervalles. En conclusion, nous avons expliqué deux méthodes pour trouver des primitives : l'identification d'un produit sous la forme u' * u et la décomposition en éléments simples pour les fonctions rationnelles.
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Composition et Primitives

Dans ce cours, nous apprenons à repérer des primitifs de fonctions composées. Certaines formes reviennent souvent et il est important de les reconnaître. Par exemple, lorsque nous avons U' sur la racine de U, la primitive sera deux racines de U. Si nous avons cos U fois quelque chose, et que c'est U' devant, la primitive est sin U. De la même manière, si nous avons U' fois sin U, la primitive est moins cos U. Lorsqu'il y a une exponentielle, la primitive est E2U. Si nous avons un coefficient U' sur U, la primitive est ln U. Lorsque nous avons U' fois U puissance n, la primitive est U puissance n plus 1 sur n plus 1. Pour vérifier si notre proposition de primitive est correcte, nous pouvons dériver et voir si nous obtenons la bonne fonction. Si nous avons U' sur U puissance n, la primitive est moins 1 sur n-1 fois 1 sur U puissance n-1. Il est également important de connaître les dérivées des primitifs inverses, comme U' de racine de U. Nous pouvons également utiliser des constantes multiplicatives lorsque cela est nécessaire pour trouver la bonne valeur de notre primitive. En pratique, pour trouver les primitives d'une fonction donnée, nous devons repérer la forme de base et ajuster si nécessaire. Par exemple, si nous avons une exponentielle de U, nous pouvons introduire un coefficient multiplicatif à l'intérieur de la fonction pour correspondre à la dérivée. Ensuite, nous pouvons déterminer la forme générale des primitives, en ajoutant une constante. En conclusion, il est important de reconnaître les formes courantes des primitifs de fonctions composées et de savoir comment ajuster si nécessaire.
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Primitive et réécriture

Ce cours porte sur l'analyse d'une fonction f(x) = x + log(4) + 2/(e^(2x) + 1). Dans la première partie de l'exercice, on cherche à analyser cette fonction pour trouver une expression de sa primitive qui soit facile à détecter. Pour commencer, on calcule la limite de f(x) lorsque x tend vers plus l'infini et moins l'infini. On constate que la limite est de 0 lorsque x tend vers plus l'infini et de 2 lorsque x tend vers moins l'infini. Ensuite, on étudie le sens de variation de f et on dresse le tableau des variations. On observe que f est dérivable sur R et que sa dérivée est toujours positive. Donc, f est croissante sur tout R. Pour trouver les primitives de f(x), on remarque que la fonction peut être réécrite comme x + log(4) + 2 - 2/(e^(2x) + 1). On calcule cette expression et on obtient x^2/2 + 2x + log(e^(2x) + 1) + K, où K est une constante. Donc l'ensemble des primitives de f(x) est donné par x^2/2 + 2x + log(e^(2x) + 1) + K, avec K appartenant à R.
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Décomposition en éléments simples

Dans ce cours, nous apprenons à simplifier les fractions rationnelles en séparant les monômes, c'est-à-dire les polynômes du degré 1. Il existe deux méthodes pour y parvenir : la première consiste à mettre tous les termes au même dénominateur et à résoudre un système d'équations, tandis que la seconde méthode est plus rapide. La deuxième méthode consiste à prendre en compte trois pôles (x, x+1, x-1) et à utiliser cette expression pour isoler les constantes a, b et c. Ensuite, nous déterminons les primitives de cette fonction et ajoutons une constante k. Enfin, nous déterminons les limites en l'infini et en 1 de ces primitives. Pour cela, nous utilisons les propriétés du logarithme. Au final, nous obtenons une fonction qui tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini, et nous pouvons simplifier cette fonction en utilisant les propriétés du logarithme.
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Polynôme × exponentielle

This is a transcription of a video class discussing the concept of finding the primitive of a function. The speaker starts by explaining that when dealing with exponential functions, a common rule is that the primitive of a polynomial multiplied by an exponential function will likely be a polynomial of the same degree multiplied by the exponential function. They then provide an example using a second-degree polynomial to demonstrate this concept. Next, they address the question of finding f'(-1), stating that f'(-1) is equal to f(-1) since f is defined as the primitive of f'. They move on to the next question, which asks to express f'(x) in terms of a and b. Using the derivative rule, they derive f'(x) as the product of e^x, a, and b. Moving on to the third question, they are asked to demonstrate that the expression obtained in the previous question holds for all x in the set of real numbers. They explain that in order for the two polynomials to be equal, the coefficients in front of x^2, x, and the constant term must be the same. By identifying the coefficients and solving the corresponding equations, they find that a is equal to -1 and b is equal to 3. Finally, they express f'(x) as -x + 3 - x^2 + 3x - 2x.
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Reconnaissance de formes

Dans cette vidéo, nous avons déterminé plusieurs primitives de fonctions. La première fonction était f(x) = 3x - 1 * (3x^2 - 2x + 3)^3. Nous avons utilisé deux méthodes pour trouver la primitive de cette fonction. La première méthode était de tout développer, mais cela prenait beaucoup de temps. La deuxième méthode était de reconnaître une forme particulière de la fonction à une puissance 3 et d'utiliser des formules de primitives. Nous avons finalement trouvé que la primitive de f(x) était 1/8 * (3x^2 - 2x + 3)^4. Ensuite, nous avons déterminé la primitive de 1 - x^2 / (x^3 - 3x + 1)^3. Encore une fois, nous avons utilisé la méthode de faire apparaître une dérivée dans l'expression pour utiliser une formule de primitives. Nous avons trouvé que la primitive de cette fonction était 1/6 * (1 / (x^3 - 3x + 1)^2). Enfin, nous avons trouvé la primitive de 1 / (x * ln(x^2)) sur l'intervalle [1, +∞). Nous avons utilisé la propriété du logarithme naturel pour simplifier l'expression et faire apparaître une forme de primitive courante. Nous avons finalement trouvé que la primitive de cette fonction était 1/2 * ln(ln(x)). Il est important de connaître et de comprendre les formules de primitives courantes pour résoudre ce type de problème. Merci d'avoir suivi cette vidéo ! À bientôt.
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Intégration par parties 1

Dans cette vidéo, Mathis de Studio aborde le sujet des intégrations par parties. Pour commencer, il explique que l'intégration par parties est utilisée pour résoudre des problèmes de produits de fonctions différentes, ce qui est le cas ici avec l'intégrale de 0 à 1 de x exponentielle x dx. Il explique ensuite que pour choisir les fonctions à utiliser dans la méthode, il faut prendre en compte la facilité de dérivation et d'intégration. Dans ce cas, x est choisi comme fonction à dériver car sa dérivée est simple (égale à 1) et e de x est choisie comme fonction à intégrer car elle est facilement intégrable. Il présente ensuite la méthode de l'intégration par parties en détaillant chaque étape. Il rappelle également qu'il est important de vérifier les hypothèses du théorème d'intégration par parties avant de l'appliquer. Il applique ensuite cette méthode à l'intégrale de 0 à 1 de x exponentielle x dx et obtient comme résultat 1. Il aborde ensuite la deuxième intégrale à calculer, l'intégrale de 1 à e de x² ln2x dx. Il fait la même analyse que précédemment pour choisir les fonctions à utiliser. En utilisant la méthode d'intégration par parties, il obtient le résultat de 2 neuvièmes de e3 plus 1 neuvième. En conclusion, Mathis souligne l'importance de bien comprendre et retenir la méthode d'intégration par parties, ainsi que de vérifier les hypothèses du théorème. Il encourage également à analyser les fonctions à intégrer et à dériver pour faciliter le calcul.
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Intégration par parties 2

Dans cette vidéo, l'auteur traite de la détermination de primitives pour des fonctions particulières. Il mentionne d'abord le théorème fondamental de l'analyse, qui permet de trouver une primitive. Il explique ensuite qu'il y a deux méthodes couramment utilisées pour résoudre ce genre d'exercice, à savoir l'intégration par parties et le changement de variable. Il applique ensuite l'intégration par parties pour trouver une primitive de l'arc tangente. Après quelques calculs, il obtient que la primitive de l'arc tangente est égale à x arc tangente de x moins 1/2 ln(1 + x²). Ensuite, il résout un autre exercice en utilisant à nouveau l'intégration par parties. Cette fois-ci, il trouve une primitive pour ln(x) au carré, qui est égale à x ln(x) au carré moins 2x ln(x) plus 2x. Enfin, il traite du cas du sinus de ln(x), et utilise à nouveau l'intégration par parties pour trouver une primitive. Après quelques calculs, il obtient que la primitive du sinus de ln(x) est égale à 1/2 x sinus de ln(x) moins x cosinus de ln(x). L'auteur conclut en soulignant l'importance du théorème fondamental de l'analyse pour déterminer des primitives, et en encourageant les spectateurs à se familiariser avec les différentes techniques de résolution d'exercices de ce type.
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Changement de variables 1

Bonjour à tous, dans cette vidéo, nous allons effectuer des changements de variables pour calculer des intégrales. La première intégrale est de 1 à 4 de 1-√t sur √dt. Nous la nommons i. Pour effectuer le changement de variable, nous posons x = √t. Donc dx = 1/(2√t) dt. La borne supérieure devient x+ = √4 = 2 et la borne inférieure devient x- = √1 = 1. Les hypothèses du théorème de changement de variable sont vérifiées. Par conséquent, nous pouvons utiliser le théorème et obtenir que i = 2∫(1-x) dx de 1 à 2. En calculant cette intégrale, on trouve que i = -1. Passons maintenant à la deuxième intégrale, qui est de 0 à π de sin2t sur 1+cos²t dt. Nous devons poser x = cos²t. En dérivant, nous obtenons dx = -sin2t dt. Les bornes deviennent x+ = cos²π = -1 et x- = cos²0 = 1. Les hypothèses du théorème de changement de variable sont vérifiées. Nous utilisons le théorème pour obtenir que l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1+cos²t dt est égale à -∫-1/(1+x²) dx de 1 à -1. Nous reconnaissons cette intégrale comme l'arc tangente et trouvons que cette intégrale est égale à π/2. Enfin, nous évaluons la troisième intégrale, qui est de 1 à e de 1/(2t ln t + t) dt. Nous posons x = ln t. En dérivant, nous obtenons dx = 1/t dt. La fonction f associée à x est 1/(2x + 1). Les bornes sont x+ = ln e = 1 et x- = ln 1 = 0. Les hypothèses du théorème de changement de variable sont vérifiées. Nous utilisons le théorème pour obtenir que cette intégrale est égale à ∫(1/(2x + 1)) dx de 0 à 1. En calculant cette intégrale, nous trouvons que c'est égal à ln(3/2). En résumé, l'intégrale de 1 à 4 de 1-√t sur √dt est égale à -1, l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1+cos²t dt est égale à π/2, et l'intégrale de 1 à e de 1/(2t ln t + t) dt est égale à ln(3/2).