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Au moins un six

Dans cet exercice de probabilité, on nous demande la probabilité d'obtenir des résultats différents lors du lancement répété d'un dé équilibré n fois. On nous demande également la probabilité d'obtenir une fois le chiffre 6, ainsi que la probabilité d'obtenir au moins deux fois le chiffre 6 et au moins k fois le chiffre 6. La probabilité d'obtenir des résultats différents à chaque fois est de 1 moins 5 sur 6 élevé à la puissance n. La probabilité d'obtenir une fois le chiffre 6 est de 1 moins 5 sur 6 élevé à la puissance n. La probabilité d'obtenir au moins deux fois le chiffre 6 est de 1 moins la probabilité d'obtenir au plus une fois le chiffre 6. La probabilité d'obtenir au plus une fois le chiffre 6 est la somme de la probabilité d'obtenir zéro fois le 6 et la probabilité d'obtenir une fois le 6. Pour calculer la probabilité d'obtenir une fois le 6, on multiplie le nombre de possibilités d'obtenir exactement un 6, qui est une parmi n, par la probabilité d'obtenir un 6, qui est 1 sur 6, et par la probabilité de ne pas obtenir de 6 lors des autres lancers, qui est 5 sur 6 élevé à la puissance n moins 1. Donc la probabilité d'obtenir au moins deux fois le chiffre 6 est de 1 moins la somme de la probabilité d'obtenir zéro fois le 6 et la probabilité d'obtenir une fois le 6. La probabilité d'obtenir au moins k fois le chiffre 6 est la probabilité contraire de ne pas obtenir exactement 1, 2, 3, ... , k-1 fois le chiffre 6. Pour obtenir exactement j fois le chiffre 6, la probabilité est j parmi n multiplié par 1 sur 6 élevé à la puissance j, multiplié par 5 sur 6 élevé à la puissance n moins j. Donc la probabilité d'obtenir au moins k fois le chiffre 6 est de 1 moins la somme des probabilités d'obtenir exactement 1, 2, 3, ... , k-1 fois le chiffre 6. Voilà pour le résumé SEO friendly de cet exercice sur les probabilités.
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Indice de coïncidence d’un texte

Dans cet exercice, nous étudions l'indice de coïncidence d'un texte, qui représente la probabilité que deux lettres choisies au hasard soient identiques. L'indice de coïncidence est exprimé par la formule Na*(Na-1) / N*(N-1), où Na représente le nombre de lettres A dans le texte, Nz le nombre de lettres Z, et ainsi de suite pour chaque lettre. Pour chaque lettre, il y a deux façons de choisir deux lettres identiques parmi celles de cette lettre, soit deux parmi Na possibilités. Au total, il y a deux façons de choisir deux lettres parmi l'ensemble des lettres du texte, soit deux parmi N possibilités. En simplifiant cette formule, nous obtenons l'expression Na*(Na-1) / N*(N-1) comme l'indice de coïncidence. Cet indice est calculé indépendamment pour chaque lettre, et représente la probabilité d'obtenir deux lettres identiques pour chaque lettre, de A à Z. Cela résume l'exercice sur l'indice de coïncidence.
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Racines de polynômes

Dans cet exercice, nous devons calculer la probabilité que le polynôme Q, dont les coefficients sont obtenus en lançant trois fois un dé à six faces et en notant les résultats successifs "ABC", ait deux racines réelles distinctes. Pour cela, nous devons déterminer le nombre total d'issues possibles, qui est de 216 (6^3). Ensuite, nous devons trouver le nombre de cas où B²-4ac est strictement positif, ce qui est nécessaire pour avoir deux racines réelles distinctes. Pour cela, nous listons toutes les valeurs possibles pour 4ac en recensant toutes les valeurs de A et C, et en calculant 4ac pour chaque combinaison. Par exemple, le résultat du calcul pour ABC = 3x4x4 est 48. Ensuite, nous listons toutes les valeurs possibles pour B et pour chaque valeur, nous comptons combien de cases dans le tableau des calculs de 4ac rendent B²-4ac strictement positif. En ajoutant ces possibilités, on obtient un total de 38. Cela correspond au nombre de cas où B²-4ac est strictement positif et donc à la taille de l'ensemble A. La probabilité de A est donc de 38/216, simplifiée en 19/108. Nous suivons le même raisonnement pour calculer la probabilité de B, qui est le cas où Q a une racine réelle double (B²-4ac = 0), et pour calculer la probabilité de C, qui est le cas où Q n'a pas de racine réelle (B²-4ac < 0). En effectuant ces calculs, nous obtenons 5/216 pour B et 173/216 pour C. Conclusion : La probabilité que Q ait deux racines réelles distinctes est donc de 173/216.
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Matrice diagonale

Dans cet exercice, nous sommes dans le contexte des matrices 2x2 et des probabilités. Nous avons quatre événements à considérer : A (matrice diagonale), B (matrice triangulaire supérieure et non diagonale), C (matrice triangulaire inférieure et non diagonale) et D (matrice non triangulaire). Pour déterminer les probabilités de ces événements, nous utilisons la méthode classique en comptant le nombre d'issues qui nous intéressent et en le divisant par le nombre total d'issues. Pour A, les matrices triangulaires, nous avons quatre possibilités (ε1 et ε4 peuvent valoir soit 0, soit 1), donc la probabilité de A est 1/4. Pour B et C, les matrices triangulaires supérieure et inférieure respectivement, nous avons également quatre possibilités pour chaque événement. Donc, les probabilités de B et C sont également de 1/4. Pour D, les matrices non triangulaires, il reste quatre possibilités. Donc, la probabilité de D est également de 1/4. Ensuite, nous devons déterminer la probabilité qu'une matrice soit diagonalisable. Pour les matrices de A, elles sont toutes diagonales, donc elles sont diagonalisables. Pour B et C, il faut que les valeurs sur la diagonale soient différentes de 0 et de 1 pour qu'elles soient diagonalisables. Il y a deux possibilités pour chaque valeur, donc il y a 2 diagonalisables dans B et 2 diagonalisables dans C. Enfin, pour les matrices de D, elles sont toutes diagonalisables. En somme, il y a 12 matrices diagonalisables sur les 16 possibles. Donc, la probabilité qu'une matrice soit diagonalisable est de 3/4.
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Le problème des anniversaires

Dans cet exercice, nous traitons le paradoxe des anniversaires, adapté à une classe de 30 élèves. La probabilité que deux élèves aient la même date d'anniversaire est beaucoup plus élevée que prévu. Nous oublions la possibilité du 29 février pour simplifier les calculs. Ainsi, pour chaque élève, la probabilité qu'ils aient une date qui n'a pas encore été prise diminue. Au final, nous obtenons une probabilité d'environ 0,706 que deux élèves aient la même date d'anniversaire parmi les 30. Il est donc préférable de ne pas accepter le pari du professeur, car il a plus de chances de gagner.
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La coupe

Dans cet exercice, on nous demande d'organiser une coupe de basket en tirant au sort les équipes de 1ère division et de 2ème division. La première question consiste à calculer la probabilité que chaque match oppose une équipe de chaque division. On calcule d'abord le nombre total de tirages au sort possible, qui est égal à 2N! / (2^N). Ensuite, on calcule le nombre de matchs possibles entre les divisions distinctes, qui est égal à N^2 x N-1^2 x ... x 1^2. En divisant le nombre de matchs possibles par le nombre total de tirages, on obtient la probabilité PN. Ensuite, on nous demande de calculer la probabilité QN que tous les matchs opposent deux équipes de la même division. On utilise un raisonnement similaire, en supposant que N est pair. On obtient la formule QN = (2K! / (2^K))^2 / (2N! / (2^N))^2. La troisième question consiste à démontrer que pour tout N supérieur à 1, on a l'inégalité N! / (2N!) <= 1/2^N. On utilise une décomposition de N parmi 2N et on montre que cette inégalité est vérifiée. Enfin, la quatrième question demande de déduire les limites de Pn et Qn. On utilise les inégalités précédemment démontrées pour minorer Pn et Qn et on montre que les limites de Pn et Qn sont 0.
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Indépendance et contexte

Dans cet exercice sur les probabilités, nous avons une urne contenant 12 boules numérotées de 1 à 12. Nous devons déterminer si les événements A (tirage d'un nombre pair) et B (tirage d'un multiple de 3) sont indépendants. Pour cela, nous considérons une équiprobabilité, c'est-à-dire que chaque boule a autant de chances d'être tirée. Le nombre de possibilités favorables pour l'événement A (nombres pairs) est de 6 (2, 4, 6, 8, 10, 12), alors que le nombre total de possibilités est de 12. Ainsi, la probabilité de l'événement A est de 6/12, soit 1,5. Pour l'événement B (multiples de 3), il y a 4 possibilités favorables (3, 6, 9, 12) sur un total de 12. La probabilité de B est donc de 4/12, soit 1/3. En ce qui concerne l'intersection des événements A et B (nombres pairs et multiples de 3), seuls les nombres 6 et 12 sont communs. Ainsi, la probabilité de A inter B est de 2/12, soit 1/6. Cette probabilité est également égale au produit des probabilités de A et B, c'est-à-dire 1,5 * 1/3, ce qui donne également 1/6. Par définition, A et B sont donc indépendants dans ce cas. Ensuite, nous reprenons la question avec une urne contenant 13 boules. Les calculs changent légèrement, mais les possibilités de A et B restent les mêmes. La probabilité de A sera alors de 6/13 et la probabilité de B de 4/13. Pour l'intersection des événements, nous avons encore les nombres 6 et 12, mais la probabilité de A inter B sera de 2/13. Ce résultat est différent du produit des probabilités de A et B qui est égal à 24/169. Ainsi, dans le cas de 13 boules, les événements A et B ne sont plus indépendants.
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Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle

Dans cet exercice de probabilité, nous avons pour contexte une voisine ayant deux enfants dont nous ignorons le sexe. Nous étudions les trois événements suivants : A (les deux enfants sont de sexe différent), B (l'aîné est une fille), et C (le cadet est un garçon). Nous devons montrer que les événements A, B et C sont indépendants deux à deux, mais pas mutuellement indépendants. Pour commencer, nous supposons que la probabilité d'avoir une fille ou un garçon à la naissance est de 1,5. Nous créons ensuite un arbre pour visualiser les différentes possibilités. Chaque branche a une probabilité de 1,5. La probabilité de A, c'est-à-dire d'avoir deux sexes différents parmi les enfants, est de 2 chances sur 4, soit 1,5. La probabilité de B, c'est-à-dire que l'aîné est une fille, est également de 1,5. La probabilité de C, c'est-à-dire que le cadet est un garçon, est également de 1,5. Ensuite, nous calculons les probabilités des intersections pour montrer qu'elles sont bien égales à la probabilité du produit des individuelles. La probabilité de l'intersection entre A et B, c'est-à-dire que les deux enfants sont de sexe différent et que l'aîné est une fille, est de 1 sur 4. Cela est égal à la probabilité de A multipliée par la probabilité de B, soit 1,5 fois 1,5. Donc, A et B sont indépendants. Les mêmes calculs sont effectués pour les intersections entre A et C, et B et C. Dans les deux cas, les probabilités des intersections correspondent au produit des probabilités individuelles, ce qui montre que A et C, ainsi que B et C, sont indépendants. Enfin, nous devons montrer que les trois événements ne sont pas mutuellement indépendants. La probabilité de l'intersection entre A, B et C est différente du produit des trois probabilités. Plus précisément, la probabilité de A inter B inter C est de 1 quart, tandis que le produit des trois probabilités est de 1,8. Donc, les trois événements ne sont pas mutuellement indépendants. C'est ainsi que se conclut cet exercice de probabilité.
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Probabilité d’une réunion et indépendance

Cet exercice porte sur la probabilité et les événements indépendants. On suppose avoir a1, a2 jusqu'à an, n événements d'un espace probabilisé omega p. Ces événements sont mutuellement indépendants et ont des probabilités respectives pi égal à p de ai. On cherche à obtenir une expression simple de la probabilité d'avoir a1, a2, etc., ou an en fonction des pi. On sait que les complémentaires des événements ai sont également mutuellement indépendants. Donc, la probabilité de l'union de ces événements est égale à 1 moins la probabilité de l'intersection de leurs complémentaires respectifs. Cette formule est importante à retenir. De plus, on sait que la probabilité du complémentaire de ai, notée pi bar, est égale à 1 moins pi. Ainsi, la probabilité de l'union de ces événements est égale à 1 moins le produit de 1 à n, de 1 moins pi. Ensuite, pour l'application de cet exercice, on suppose qu'une personne est soumise à n expériences indépendantes, avec une probabilité p d'avoir un accident à chaque expérience. On cherche la probabilité qu'elle ait au moins un accident. La probabilité d'avoir au moins un accident est égale à 1 moins la probabilité de ne pas avoir d'accident du tout. Donc, cela revient à utiliser la formule précédente avec tous les pi égaux à p, et élever le résultat à la puissance n. En résumé, cet exercice traite de la probabilité et des événements indépendants. On utilise des formules pour calculer la probabilité d'union, puis on applique ces résultats à un cas concret où l'on cherche la probabilité d'avoir au moins un accident lors de n expériences indépendantes.
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indépendance impossible

Dans cet exercice de probabilité, nous supposons avoir un espace probabilisé avec un univers Ω fini et de cardinal P. Nous utilisons le modèle de l'équiprobabilité, où chaque événement de l'univers a la même probabilité que les autres. L'objectif est de prouver que deux événements A et B, non triviaux (différents de l'ensemble vide et de Ω), ne peuvent pas être indépendants. Nous notons N le cardinal de A et M le cardinal de B. La probabilité de A est donc N/P et la probabilité de B est M/P. En supposant qu'ils sont indépendants, cela signifie que la probabilité de l'intersection de A et B est égale au produit de leurs probabilités. En remplaçant cette équation, nous obtenons le cardinal de l'intersection de A et B, égal à M*N/P. Comme le cardinal est un nombre entier, cela signifie que M*N/P est également un nombre entier. Puisque P est un nombre premier, d'après le théorème de Gauss, P divise N ou P divise M. Supposons que P divise N. Comme N est plus petit ou égal à P, cela signifie que N est soit 0 (ensemble vide) soit P (l'univers Ω). Donc, si A est différent de l'ensemble vide et de Ω, il ne peut pas être indépendant de B. En résumé, si A et B sont indépendants, les seules possibilités sont que A soit l'ensemble vide ou Ω. Si A n'est ni l'ensemble vide ni Ω, alors A et B ne peuvent pas être indépendants.
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Relectures indépendantes

Cet exercice de probabilités concerne un livre contenant 4 erreurs. Chaque erreur est corrigée par une série de relecteurs, avec une probabilité de 1/3 à chaque relecture. Les relectures et les corrections sont indépendantes les unes des autres. La question principale est de savoir quelle est la probabilité que l'erreur n°1 ne soit pas corrigée lors de la énième relecture. En utilisant la notation AI pour décrire l'événement "l'erreur 1 est corrigée lors de la ième lecture", nous constatons que P(AI) = 1/3 et P(AI') = 2/3. Les AI étant indépendants, les AI' le sont également. Ainsi, la probabilité que l'erreur n°1 ne soit pas corrigée lors de la énième relecture est (2/3)^n. La deuxième question concerne la probabilité que le livre soit entièrement corrigé lors de la énième relecture. On note BJ comme l'événement "l'erreur n°J n'est pas corrigée après la énième lecture" pour J = 1, 2, 3 ou 4. Nous voulons que l'intersection des BJ' se réalise pour que toutes les erreurs soient corrigées. Comme les BJ sont indépendants, les BJ' le sont également. La probabilité de l'intersection des BJ' est donc égale à (1 - (2/3)^n)^4. Enfin, nous souhaitons savoir combien de relectures sont nécessaires pour que la probabilité que le livre soit entièrement corrigé soit supérieure à 0,9. En résolvant cette équation, nous trouvons que n doit être supérieur à log(1 - 0,9)^(1/4) / log(2/3), soit environ 9,001. Puisque n doit être un entier, nous commençons à partir de n = 10 pour avoir une probabilité supérieure à 0,9.
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Jeu équitable

Dans cet exercice, nous étudions principalement l'indépendance entre deux joueurs, A et B, qui s'affrontent dans un jeu. Chaque joueur joue à tour de rôle et le jeu se compose d'au plus N parties. Le joueur qui gagne la première partie gagne le jeu dans son ensemble. Nous supposons que le joueur A a une probabilité a de gagner et le joueur B a une probabilité b de gagner. De plus, nous supposons que chaque partie est indépendante des autres. La première question consiste à déterminer la probabilité que ni A ni B ne gagnent, c'est-à-dire qu'aucun des joueurs ne gagne après 2N parties. Pour cela, nous prenons le complémentaire de l'événement A1 (A gagne la première partie), et nous voulons que A perde la première partie, B perde la deuxième partie, etc. Comme les parties sont indépendantes, la probabilité de l'intersection des complémentaires est le produit des probabilités de chaque partie. Cependant, B joue seulement les parties paires, donc la probabilité recherchée est le produit des probabilités de B perdant chaque partie paire. Nous simplifions ensuite cette expression en remplaçant chaque probabilité par son complément, c'est-à-dire 1-A et 1-B, élevé à la puissance N. Cette probabilité représente donc la probabilité que personne ne gagne après 2N parties. Ensuite, nous cherchons la probabilité que A ou B gagne le jeu. La probabilité que A gagne est la somme des probabilités de chaque partie qu'il gagne. On factorise A et par la suite, en utilisant la formule d'une somme de suite géométrique, nous obtenons une expression de la probabilité que A gagne en fonction de A, B, et N. Nous effectuons le même raisonnement pour la probabilité que B gagne. En utilisant le fait que la somme des probabilités de gagner pour A, B et le match nul est égale à 1, nous pouvons exprimer la probabilité que B gagne en fonction de A, B et N. Finalement, pour que le jeu soit équilibré, il faut que la probabilité que A gagne soit égale à la probabilité que B gagne. Après simplification, nous obtenons la condition d'équilibre : A = B - AB. Cela résume les principales idées traitées dans cet exercice sur l'indépendance et l'équilibre entre deux joueurs dans un jeu.