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Petit théorème de Fermat

Dans cet exercice, on étudie le petit théorème de Fermat en utilisant la méthode de récurrence sur A. On veut montrer que pour tout entier k compris entre 1 et p-1, le coefficient binomial p divise k parmi p. Pour cela, on utilise la définition du coefficient binomial k parmi p, qui est p factoriel divisé par p-k factoriel fois k factoriel. On remarque que si on sort le p et le k de la factorielle, on peut réécrire cela comme k-1 parmi p-1. Comme les coefficients binomiaux sont des nombres entiers, on peut en déduire que p divise k parmi p. Ensuite, on veut montrer que a puissance p est congru à a modulo p en utilisant la récurrence sur a. On commence par l'initialisation en prenant a égale à 1, ce qui donne 1 puissance p congru à 1 modulo p. Ensuite, on effectue l'étape de récurrence de a à a plus 1. Pour cela, on utilise la formule du binôme de Newton pour décomposer a plus 1 puissance p en une somme de coefficients binomiaux multipliés par a puissance k. On remarque que grâce à ce que l'on a montré précédemment, seul le terme correspondant à k égal à 0 et à k égal à p ne sont pas divisibles par p. En prenant la congruence modulo p, on peut simplifier cette somme pour obtenir a puissance p plus 1. En utilisant l'hypothèse de récurrence, qui dit que a puissance p est congru à a modulo p, on peut conclure que a puissance p plus 1 est congru à a plus 1 modulo p. Ainsi, on a montré par récurrence que a puissance p est congru à a modulo p, ce qui est le petit théorème de Fermat.

Nombre de Fermat suite

Dans cet exercice, nous montrons qu'il y a une infinité de nombres premiers en utilisant les nombres de Fermat. Nous commençons en montrant par récurrence que pour tout n et pour tout k plus grand que 1, nous avons l'égalité suivante : 2 puissance 2 puissance n plus k moins 1 est égal au produit de 2 puissance 2 puissance n moins 1 et du produit de 2 puissance 2 puissance n plus i plus 1 pour i allant de 0 à k moins 1. Ensuite, nous montrons que pour tout m différent de n, les nombres de Fermat fn et fm sont premiers entre eux. Nous utilisons l'hypothèse de récurrence précédente pour montrer cela. Enfin, nous utilisons les nombres de Fermat pour montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers. Nous supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers et nous considérons les nombres de Fermat F1, F2, F3, etc. jusqu'à FN plus 1. En utilisant le principe des tiroirs, nous montrons qu'il y a forcément deux nombres de Fermat distincts qui ont le même diviseur premier, ce qui contredit le fait qu'ils sont premiers entre eux. Par conséquent, il ne peut pas y avoir un nombre fini de nombres premiers et il en existe une infinité.

Ensemble de Nombre Premiers

Dans cet exercice, on cherche à démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k + 3. Tout d'abord, on doit prouver que l'ensemble x de ces nombres premiers est non vide. On remarque facilement que 3 est de la forme 4k + 3 avec k égal à 0, donc 3 appartient à x. Donc x est non vide. Ensuite, on veut montrer que le produit de deux nombres de la forme 4k + 1 est également de cette forme. On prend donc deux nombres, k et l, et on effectue une multiplication. On factorise ensuite par 4 et on obtient un nombre k' qui peut s'écrire sous la forme 4k' + 1. Donc le produit de deux nombres de la forme 4k + 1 est bien de cette forme. On suppose ensuite que l'ensemble x est fini, donc qu'il contient un nombre fini de nombres premiers de la forme 4k + 3, et on construit un nombre a égal à 4 multiplié par le produit de tous ces nombres, moins 1. On va montrer que a a nécessairement un diviseur premier de la forme 4k + 3. On suppose par l'absurde que a n'a pas de diviseur premier de cette forme. On constate alors que tous les diviseurs de a doivent être de la forme 4k + 1. On exclut rapidement la possibilité que a soit divisible par 2, puisqu'il est impair. Donc tous ses diviseurs premiers doivent être de la forme 4k + 1. Or, on a montré précédemment que le produit de nombres de la forme 4k + 1 est lui-même de cette forme. Mais a, qui est de la forme 4k - 1, ne correspond pas à cette propriété. Donc on aboutit à une contradiction et on prouve que a admet nécessairement un diviseur premier de la forme 4k + 3. Cela signifie qu'il existe un nombre premier de la forme 4k + 3 qui divise a, contredisant ainsi l'hypothèse que l'ensemble x est fini. On conclut donc qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k + 3.

Groupe avec des fonctions

Dans cette vidéo, Corentin aborde plusieurs concepts liés aux structures algébriques, en se concentrant sur la démonstration que l'ensemble R étoile croyeur, muni de la loi étoile, forme un groupe et sur la question de sa commutativité. Il aborde également la simplification de l'expression xy puissance n dans R étoile croyeur pour x, y appartenant à cet ensemble et n appartenant à n étoile. Il commence par rappeler la définition d'un groupe comme étant un ensemble muni d'une loi interne associative, possédant un élément neutre et où chaque élément a un symétrique. Il précise également que la loi doit être interne. Ensuite, il démontre que la loi étoile est interne en montrant que le résultat des opérations xy et x'y' appartient toujours à R étoile. Il prouve également l'associativité de la loi étoile en montrant que peu importe l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées, le résultat reste le même. Il cherche ensuite l'élément neutre de la loi étoile en posant un système d'équations et déduis que l'élément neutre est (1,0). Il détermine également l'inverse d'un couple (x,y) en résolvant un autre système d'équations et conclut que tout élément (x,y) a un inverse qui est (1/x,-y/x). Il aborde ensuite la question de la commutativité de la loi étoile et montre qu'elle n'est pas vérifiée en exhibant un contre-exemple. Enfin, il passe à la deuxième question et explique que la puissance n du couple (x,y) signifie effectuer la loi étoile sur ce couple n fois. Il montre que pour n=2 et n=3, le résultat peut être exprimé sous une forme spécifique, et propose de prouver par récurrence que pour tout n dans n étoile, le résultat de xy puissance n est de cette forme spécifique. Il conclut en encourageant les spectateurs à mener cette démonstration par récurrence eux-mêmes.

Lois usuelles

Salut à tous ! Dans cette vidéo, nous allons étudier une loi, notée "étoile", qui s'applique sur un ensemble R privé de 1. Cette loi est définie par x étoile y = x + y - x * y. Nous nous posons plusieurs questions sur cette loi. Tout d'abord, nous voulons déterminer si elle est associative et commutative. Pour l'associativité, nous calculons (x étoile y) étoile z et nous obtenons une expression. Ensuite, nous calculons x étoile (y étoile z) et obtenons une autre expression. En comparant les deux, nous constatons qu'elles sont égales. Nous concluons donc que la loi est associative. Ensuite, nous prouvons que la loi est commutative en montrant que x étoile y est égal à y étoile x, en utilisant les propriétés de commutativité de l'addition et de la multiplication dans l'ensemble R. Nous passons ensuite à la question suivante qui concerne l'existence d'un élément neutre pour cette loi. Nous cherchons E tel que x étoile E soit égal à x. En simplifiant l'expression, nous trouvons que E doit être égal à 0. Donc, la loi admet 0 comme élément neutre. Enfin, nous étudions si chaque réel x a un inverse pour cette loi. En posant x étoile A = 0, nous isolons A et trouvons que A = x / (x - 1), en assumant que x est différent de 1. Pour conclure, nous donnons une formule explicite pour la puissance n-ième de x (notée x puissance n). En calculant les premières puissances de x, nous remarquons une régularité et trouvons la formule de récurrence suivante : x puissance n = (1 - 1/x) puissance n. Notons que la puissance n-ième ici représente la répétition de l'opération étoile n fois. Voilà un résumé SEO friendly de cette vidéo sur la loi étoile dans l'ensemble R privé de 1.

Neutre et inverse

Dans cette vidéo, Corentin explique le concept de groupe en mathématiques. Il commence par donner l'énoncé qui définit un groupe comme étant un ensemble muni d'une loi étoile associative, avec un élément neutre à gauche et où chaque élément possède un inverse à gauche. Il souligne que pour montrer qu'un ensemble E est un groupe pour la loi étoile, il faut également prouver que l'inverse à gauche est également un inverse à droite. Pour démontrer cela, Corentin utilise les inverses à gauche x prime et y prime de xy, où yx est égal à l'élément neutre E. En multipliant à gauche par y prime y, il montre que xy est égal à E en utilisant l'associativité de la loi étoile. Ainsi, il démontre que l'inverse à gauche est également un inverse à droite. Ensuite, Corentin se penche sur l'unicité de l'élément neutre à gauche et montre que si F et E sont tous les deux neutres à gauche, alors ils sont égaux. Il utilise le fait que F fois E est égal à E par hypothèse sur F, et que E fois F est également égal à E. Comme E est un élément neutre à gauche, il en déduit que F est égal à E. Enfin, Corentin montre que l'élément neutre à gauche est également neutre à droite en utilisant l'inverse de x prime. Il montre que x fois E est égal à x en utilisant l'associativité de la loi étoile et en prouvant que l'inverse à gauche est également l'inverse à droite. En conclusion, Corentin résume les étapes de sa démonstration en montrant que l'élément neutre à gauche est également neutre à droite, qu'il est unique, et que l'inverse à gauche est également l'inverse à droite. Ainsi, il conclut que toutes les hypothèses sont réunies et que E est bien un groupe.

Inverse

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice qui consiste à démontrer que certaines lois donnent à l'ensemble J une structure de groupe, et à déterminer si ce groupe est abélien ou non. Il commence par parler de la première loi, appelée "loi étoile", qui associe à deux éléments x et y dans l'intervalle (-1,1), l'opération (x+y)/(1+xy). Il veut d'abord prouver que cette loi est interne, c'est-à-dire que x étoile y appartient à J. Il introduit une fonction f(x) = (x+y)/(1+xy) et montre que cette fonction est dérivable et strictement croissante sur l'intervalle (-1,1). Grâce à cela, il conclut que la loi étoile est bien interne. Ensuite, il montre l'associativité de cette loi, ce qui nécessite quelques calculs. Il explique qu'il est également possible de trouver l'élément neutre et l'inversibilité de la loi étoile en effectuant des tests avec des valeurs particulières, mais il ne donne pas de détails sur ces calculs. Finalement, il conclut que la loi étoile est commutative, ce qui signifie que l'ensemble J forme un groupe abélien. Ensuite, Corentin aborde une deuxième loi, toujours appelée "loi étoile", mais cette fois-ci pour l'ensemble G qui est l'espace R². Cette loi associe à deux couples (x,y) et (x',y') de G le couple suivant : (x * x' - y * y', x * y' + x' * y). Il montre que cette loi est interne en montrant que le résultat de l'opération appartient à G. Il procède ensuite à de nombreux calculs pour démontrer l'associativité de la loi étoile, en utilisant des expressions algébriques pour les éléments du groupe G. Puis, il cherche l'élément neutre en testant différentes valeurs de couples et finalement trouve que le couple (0,0) est neutre pour la loi étoile. Il prouve l'inversibilité en testant un couple particulier, et montre qu'il existe un inverse pour tout couple (x,y) dans G. Enfin, il démontre que la loi étoile n'est pas commutative en montrant que le résultat de l'opération dépend de l'ordre des couples dans l'opération. Il conclut donc que G n'est pas un groupe abélien. En résumé, Corentin aborde deux lois différentes, la première sur un ensemble J et la deuxième sur un ensemble G. Il montre que la loi étoile donne à J une structure de groupe abélien, tandis que la loi étoile sur G ne forme pas un groupe abélien.

elements réguliers

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice théorique portant sur un groupe fini G. Il est demandé de démontrer qu'il existe un élément X dans G qui est différent de l'élément neutre E et égal à son inverse. Corentin commence par utiliser des sous-parties de G pour exploiter l'hypothèse que le cardinal de G est pair. Il pose l'ensemble f(X) qui est égal à l'ensemble des éléments X multiplié par leur inverse. Ensuite, il remarque que pour des éléments X et Y distincts, les ensembles f(X) et f(Y) sont soit distincts soit confondus. Plus précisément, soit f(X) est égal à f(Y) ou l'intersection de f(X) et de f(Y) est un ensemble vide. En effet, si Y est égal à X-1 (l'inverse de X), alors l'ensemble f(X) est égal à l'ensemble f(Y). Si Y est différent de X-1, alors l'intersection de f(X) et de f(Y) est un ensemble vide. De là, Corentin déduit que le groupe G peut s'écrire comme une réunion disjointe de tous les ensembles f(X) différents. En d'autres termes, G est égal à l'union de tous les ensembles f(X) pour X appartenant à G et différent de l'élément neutre. Corentin réalise que au moins l'un de ces ensembles f(X) est de cardinal 1, c'est-à-dire qu'il ne contient qu'un seul élément. Il s'agit de l'ensemble f(E). En effet, on a E-1 qui est égal à E, ce qui réduit l'ensemble f(E) à juste l'élément E. Si tous les autres ensembles étaient de cardinal 2, alors le groupe G aurait un cardinal impair, ce qui contredit l'hypothèse de départ selon laquelle le cardinal de G est pair. Il en conclut donc qu'il existe un élément X différent de l'élément neutre E tel que le cardinal de l'ensemble f(X) soit égal à 1, autrement dit, X est égal à son inverse.

Sous-groupes

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice qui mélange l'algèbre générale et l'algèbre linéaire. Il commence par présenter le problème qui consiste à déterminer si certaines parties de GLN2R sont des sous-groupes de GLN2R, l'ensemble des matrices inversibles à coefficients réels. Pour la première question, on donne l'ensemble des matrices diagonales inversibles à coefficients non nuls. Corentin montre que cet ensemble, noté H1, est bien une partie de GLN2R. Il explique que pour chaque matrice diagonale, il suffit de prendre l'inverse en prenant l'inverse de chaque coefficient diagonal. Le produit de ces deux matrices donne la matrice identité. Il vérifie également que la matrice identité appartient à H1, démontrant ainsi la stabilité par rapport à l'élément neutre, au produit et à l'inverse. Pour la deuxième question, Corentin étudie l'ensemble H2 qui consiste en des matrices 2x2 telles que A est différent de zéro. Il montre que H2 est également une partie de GL2 de R en calculant son inverse grâce à un petit système linéaire. Il démontre également la stabilité par rapport à l'élément neutre, au produit et à l'inverse. Enfin, pour la troisième question, Corentin remarque que la matrice identité n'appartient pas à l'ensemble H1-I3, montrant ainsi que H1-I3 n'est pas un sous-groupe de GL2 de R. En résumé, Corentin aborde un exercice qui consiste à déterminer si certaines parties de GLN2R sont des sous-groupes de GLN2R. Il montre que l'ensemble H1, constitué de matrices diagonales inversibles à coefficients non nuls, est un sous-groupe de GLN2R, tandis que H2, constitué de matrices 2x2 avec A différent de zéro, est également un sous-groupe de GL2 de R. Cependant, il démontre que H1-I3 n'est pas un sous-groupe de GL2 de R, car la matrice identité n'appartient pas à cet ensemble.

Morphisme de groupe

Dans cette vidéo, Corentin aborde la question de savoir si un sous-groupe d'un groupe produit est nécessairement le produit de deux sous-groupes. Pour expliquer cela, il commence par rappeler ce qu'est un groupe produit. Un groupe produit est défini comme l'ensemble des couples (x1, x2) composés d'un élément x1 du groupe G1 et d'un élément x2 du groupe G2. La loi de composition sur ce groupe produit est définie comme x1y1 * x2y2 = (x1 * x2, y1 * y2), où * représente la loi interne dans chaque groupe. Ensuite, Corentin donne un contre-exemple pour montrer que ce n'est pas toujours le cas. Il prend les groupes G1 et G2 comme étant l'ensemble des entiers positifs (z+). Il montre ensuite que le sous-groupe des couples (x, x) dans le groupe produit n'est pas le produit de deux sous-groupes. Il précise que si cela était le cas, cela signifierait que ce sous-groupe serait le produit de z * z, qui est l'ensemble des couples (x, y) avec x appartenant à z et y appartenant à z. Cependant, le couple (1, 2) n'appartient pas à ce sous-groupe, ce qui montre que ce sous-groupe des couples (x, x) ne peut pas être écrit comme le produit de deux sous-groupes. En conclusion, la réponse à la question posée est non, et Corentin a présenté un contre-exemple pour le prouver.

Automorphisme

Dans cette vidéo, Corentin explique la notion d'automorphisme, qui consiste à déterminer les morphismes injectifs et surjectifs de Z' plus dans lui-même. Il commence par rappeler ce qu'est un morphisme de groupe, en expliquant que c'est une application qui respecte les lois du groupe. Ensuite, il montre que pour tout morphisme f de Z' dans Z', f de n est égal à n fois f de 1, grâce à une démonstration par récurrence. Il précise que cette égalité est valable aussi pour les nombres négatifs. Ainsi, les morphismes de Z' plus dans Z' plus sont les fonctions qui vérifient f de n est égal à n fois f de 1, pour tout n dans Z. Ensuite, il se concentre sur les morphismes surjectifs et trouve que f de 1 est égal à -1 ou 1. Il conclut que les morphismes surjectifs sont ceux qui vérifient f de n est égal à n ou -n. Enfin, il aborde les morphismes injectifs en utilisant le théorème selon lequel un morphisme est injectif si et seulement si le noyau de f est réduit à l'élément neutre. Il montre que le noyau de f est égal à 0 si f de 1 est différent de 0, ce qui implique que f est injectif. Sinon, si f de 1 est égal à 0, alors f n'est pas injectif car tous les éléments n de Z vérifient f de n est égal à 0. Il conclut que tous les morphismes de Z' plus dans Z' plus sont injectifs, sauf l'application identiquement nulle.