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Divisibilité de n⁵-n ?

Ce cours porte sur la factorisation d'une expression mathématique. L'objectif est de démontrer que l'expression, a^n = n^5 - n, est divisible par certains nombres tels que 2, 3 et 5. Pour commencer, l'instructeur suggère de simplifier l'expression en la factorisant dès le début. En factorisant par n, l'expression devient n * (n^4 - 1). Il est également possible de reconnaître une identité remarquable, n^4 - 1 = (n^2 - 1) * (n^2 + 1). Ainsi, l'expression peut être réécrite comme n * (n^2 - 1) * (n^2 + 1). Ensuite, pour démontrer que a^n est pair, l'instructeur utilise le fait que le produit de deux entiers consécutifs sera toujours divisible par 2. Puisque n, n-1 et n+1 sont des entiers consécutifs, cela garantit que a^n est pair. Pour démontrer que a^n est divisible par 3, l'instructeur fait remarquer que parmi les entiers consécutifs n-1, n et n+1, il y en aura toujours un qui sera un multiple de 3. Par conséquent, leur produit, a^n, sera également divisible par 3. Enfin, pour démontrer que a^n est divisible par 5, l'instructeur utilise une table de congruence. Il montre que pour chaque valeur de n (0, 1, 2, 3, 4), le produit n * (n-1) * (n+1) * (n^2 + 1) est congruent à 0 modulo 5. Ainsi, cela prouve que a^n est divisible par 5. En conclusion, l'approche de factorisation dès le début permet de simplifier les démonstrations et de trouver rapidement les diviseurs de l'expression. Cette méthode d'investissement initial facilite l'ensemble des questions posées dans cet exercice.

Reste de 5³ⁿ - 6ⁿ par 17 ?

Dans cet exercice, nous devons trouver le reste de la division Euclidienne de "5 puissance 3n moins 6 puissance n" par 17. Pour cela, nous pourrions créer des tables de congruence pour les valeurs de 5 et de 6 pouvant être élevées à des puissances (3n et n respectivement) et les comparer avec le modulo 17. Cependant, il est préférable d'analyser les deux éléments de la différence séparément pour voir s'il y a quelque chose de plus simple qui se passe. Nous avons donc le calcul de "5 puissance 3n" qui peut être simplifié en utilisant la propriété que si A est congru à B, alors A puissance M est congru à B puissance M. Donc, nous pouvons simplifier 125 à l'aide du modulo 17 en enlevant les paquets multiples de 17. Par exemple, nous pouvons enlever 102, puis 102 plus 17 jusqu'à ce que nous atteignions un nombre proche de 125. Ensuite, nous comparons "5 puissance 3n moins 6 puissance n" avec 0, nous remarquons que les deux éléments sont congrus entre eux modulo 17. Par conséquent, nous pouvons conclure que 17 divise toujours cette différence. En résumé, pour trouver le reste de la division Euclidienne de "5 puissance 3n moins 6 puissance n" par 17, nous avons réalisé une analyse des congruences en simplifiant les valeurs utilisant le modulo 17 et en comparant les éléments de la différence. Nous avons conclu que 17 divise toujours cette différence.

Un entier toujours impair ?

Dans cet exercice, nous devons démontrer que la quantité 3n4 + 5n1 est impaire pour tout n. Nous appelons cette quantité "n" pour la suite de la question. Nous devons également en déduire que ce nombre n'est jamais divisible par n(n+1). Pour commencer, nous pouvons remarquer que n(n+1) évoque les notions de sommes d'entiers jusqu'à n et de produits de deux nombres consécutifs. La somme des entiers jusqu'à n est égale à n(n+1)/2, ce qui peut nous aider à aborder le problème. De plus, un produit de deux nombres consécutifs inclut toujours un nombre paire. En utilisant ces réflexes, nous pouvons dire que si n(n+1) divise n, alors 2 divise n. Cependant, si n est impair, alors ce n'est pas possible. Donc, grâce à cette réflexion, nous pouvons conclure que n(n+1) ne divise jamais n. Maintenant, nous nous concentrons sur le fait que n doit être impair. Puisque nous avons une addition de 1 à la fin de la quantité, nous pouvons la simplifier en disant que si n est impair, alors en enlevant 1, n devient pair. Donc, montrons plutôt que la quantité n que j'appelle "a" est paire. Pour cela, nous factorisons n en 3n3 + 5. Nous pensons à une possible décomposition de 2k pour n. Il peut être 2k, 2k+1 ou 2k+2. Cependant, nous devons considérer la division paire-impair. Si n est pair, alors a est pair et la démonstration est terminée. Si n est impair, nous pouvons écrire n congru à 1 modulo 2. Dans ce cas, nous remarquons que n³ est aussi congru à 1 modulo 2, donc 3n³ est congru à 3 modulo 2 (car 3 modulo 2 est égal à 1). En ajoutant 5, nous obtenons 0, ce qui signifie que si n est impair, 3n³ + 5 est pair. En conclusion, si n est pair, a est pair, et si n est impair, a est pair. Par conséquent, a n'est jamais divisible par n(n+1) car il est pair tandis que n(n+1) contient un multiple de 3 et donc de 6. Voilà, c'est la fin de cet exercice. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser dans les commentaires. À bientôt pour une autre vidéo !

Piège à éviter : degré 2 !

Dans ce cours, il est expliqué comment résoudre l'équation x² plus x congruent à 3 modulo 5 pour x entier. L'exercice peut sembler difficile et effrayant, mais il faut simplement réfléchir calmement. Le professeur suggère de réécrire x² plus x comme n² plus n pour faciliter la compréhension. Ensuite, il explique que la méthode classique consiste à tester tous les cas possibles en utilisant une table des congruences. Il suggère également de vérifier s'il y a une factorisation évidente, bien que cela ne semble pas être le cas dans cet exercice. Ensuite, il explique comment remplir rapidement la table des congruences, en calculant x² modulo 5 et la somme de 2 modulo 5 pour chaque valeur de x de 0 à 4. En analysant les résultats, il conclut que pour toutes les valeurs de x, x² plus x est congruent à 0, 1 ou 2, et jamais à 3. Par conséquent, l'ensemble des solutions est vide. Malgré l'apparente complexité de l'exercice, le professeur souligne l'importance d'une approche méthodique et réfléchie. Il espère que cette explication aidera les élèves et leur donne rendez-vous pour une prochaine vidéo.

5²ⁿ, 2²ⁿ ... et des congruences !

Dans cet exercice de congruence, nous devons déterminer quand l'expression 145 puissance 2022 modulo 17 est divisible par 3. Tout d'abord, nous simplifions en se concentrant sur les congruences de 5 puissance n modulo 3. Nous remarquons que 5 puissance n est congruent à 2 puissance n modulo 3. De plus, nous observons que 5 puissance 2n est congruent à 4 puissance n. Ainsi, nous pouvons simplifier en disant que 5 puissance 2n est toujours congruent à 1. Ensuite, nous examinons la somme de 5 puissance 2n, 5 puissance n et 1 modulo 3. Cette somme est congruente à 2 puissance n plus 2. En analysant le tableau de congruence de 2 puissance n, nous constatons que si n est pair, alors 2 puissance n est congruent à 1. En résumé, l'expression 145 puissance 2022 modulo 17 est divisible par 3 si et seulement si n est pair. Dans un deuxième exercice similaire, nous devons déterminer quand l'expression 2 puissance 2n plus 2 puissance n plus 1 est divisible par 7. Nous simplifions cette expression en utilisant les congruences de 4 puissance n et 2 puissance n. Le tableau de congruence de 4 puissance n nous montre que si n est multiple de 3, alors 4 puissance n est congruent à 1. De même, le tableau de congruence de 2 puissance n indique que si n est multiple de 3, alors 2 puissance n est congruent à 1. En conclusion, l'expression 2 puissance 2n plus 2 puissance n plus 1 est divisible par 7 pour tous les entiers n qui ne sont pas multiples de 3. Il est important de noter que ces méthodes de congruence sont fondamentales et peuvent s'appliquer à d'autres exercices plus complexes.

Problème : Suite et PGCD !

Ce cours traite d'un problème d'arithmétique intéressant qui commence avec une fraction, ce qui est inhabituel car on préfère travailler avec des entiers. On définit A_n comme étant une suite. On effectue quelques calculs pour trouver A2 et A3. Ensuite, on cherche à démontrer que A_n+1 peut s'écrire de manière récurrente. On effectue des calculs et constatons que cela est vrai. Ensuite, on démontre que A_n appartient à N (l'ensemble des entiers naturels) en utilisant une récurrence triviale. La question 4 aborde le calcul du PGCD de A_n et A_n+1 et montre qu'il est égal à 1 ou à 3. Enfin, on vérifie que A0 est congru à 1 modulo 3 et on conclut que A_n n'est jamais divisible par 3. On déduit ainsi que le PGCD est égal à 1. Cette approche permet d'obtenir une solution efficace à l'exercice.

Déterminer un PGCD

Dans cet exercice, nous utilisons l'algorithme d'Euclide pour calculer le PGCD de 18840 et 9828. L'algorithme d'Euclide consiste en une série de divisions euclidiennes. Nous commençons en divisant le plus grand nombre par le plus petit. Ainsi, nous obtenons 18840 divisé par 9828, ce qui donne 9828 multiplié par 1, plus 9012 comme reste. Ensuite, nous divisons le diviseur (9828) par le reste (9012). Nous répétons ce processus jusqu'à obtenir un reste de 0. Ainsi, nous avons 9828 divisé par 9012, ce qui donne 9012 multiplié par 1, plus 816 comme reste. Nous continuons avec 9012 divisé par 816, ce qui donne 816 multiplié par 11, plus 36 comme reste. Nous poursuivons avec 816 divisé par 36, ce qui donne 36 multiplié par 22, plus 24 comme reste. Ensuite, nous avons 36 divisé par 24, ce qui donne 24 multiplié par 1, plus 12 comme reste. Enfin, nous divisons 24 par 12, ce qui donne 12 multiplié par 2, plus 0 comme reste (qui est un multiple de 12). À ce stade, nous avons atteint un reste de 0, nous arrêtons donc l'algorithme d'Euclide. Le dernier reste non nul (12) est le PGCD de 18840 et 9828. Ainsi, le PGCD de 18840 et 9828 est 12.

Différence et quotient

Dans cet exercice, la différence entre deux entiers est de 538. Lorsqu'on divise l'un par l'autre, le quotient est de 13 et le reste est de 34. Pour résoudre ce problème, on commence par modéliser les deux entiers recherchés par A et B. On suppose que A est plus grand que B, car la différence est de 538 et donc ils ne peuvent pas être égaux. Nous avons deux informations: la différence est de 538 et lors de la division euclidienne, le quotient est de 13 et le reste est de 34. Nous écrivons donc les équations suivantes: A - B = 538 et A = 13B + 34. En résolvant ce système d'équations, nous trouvons que B = 42. En remplaçant B par sa valeur dans l'équation A - B = 538, nous trouvons que A = 580. Ainsi, les deux nombres recherchés sont A = 580 et B = 42.

PGCD qui dépend de n

Dans cet exercice, on cherche à trouver les entiers naturels n pour lesquels le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 3. On utilise l'algorithme d'Euclide pour trouver le PGCD. En faisant la division euclidienne de 2n + 3 par n, on obtient 2n + 3 = 2 * n + 3. Le PGCD étant égal à 3, cela signifie que le dernier reste non nul est égal à 3. Donc, si on divise n par 3, il doit rester un reste nul, ce qui montre que n est divisible par 3. Ainsi, si le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 3, alors n est multiple de 3. Ensuite, on cherche les entiers naturels n pour lesquels le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 1. Si n est multiple de 3, cela est exclu car on a montré que le PGCD serait égal à 3. On suppose donc que n peut s'écrire sous la forme 3k + 2. En faisant la division euclidienne de 2n + 3 par n, on obtient 2n + 3 = 2 * n + 3. En divisant n par 3, on obtient n = 3 * k + 2. En continuant l'algorithme d'Euclide, on divise 3 par 2 et on obtient 3 = 2 * 1 + 1. Le dernier reste non nul est égal à 1, donc le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 1 lorsque n peut s'écrire sous la forme 3k + 2. De plus, si n s'écrit sous la forme 3k + 1, on obtient le même résultat en faisant l'algorithme d'Euclide. Finalement, si n n'est pas multiple de 3, le PGCD de 2n + 3 et de n est égal à 1.

Autre dépendance en n

Dans cet exercice, nous devons déterminer le PGCD de deux entiers, a et b, en fonction de la valeur de n. Pour simplifier le calcul, nous souhaitons éliminer la variable n et nous concentrer uniquement sur le PGCD. Nous utilisons donc une combinaison linéaire de a et b pour éliminer n, ce qui nous donne l'équation 3a-b. Comme le PGCD de a et b divise cette combinaison linéaire, il divise également le nombre 5. Étant donné que 5 est un nombre premier, cela signifie que le PGCD ne peut être que 1 ou 5. Nous examinons ensuite ces deux cas séparément pour déterminer les valeurs possibles de n. Si le PGCD est égal à 5, cela signifie que a est divisible par 5 (congru à 0 modulo 5). En utilisant l'expression de a (n+4), nous constatons que n doit être congru à 1 modulo 5 pour satisfaire cette condition. D'autre part, si le PGCD est égal à 1, cela signifie que n n'est pas congru à 1 modulo 5. En conclusion, le PGCD de a et b est égal à 5 si et seulement si n est congru à 1 modulo 5, et il est égal à 1 si et seulement si n n'est pas congru à 1 modulo 5.

PGCD et n carré

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