Cours de Dénombrement en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Dénombrement

Principe multiplicatif

Dans cet exercice sur les échanges de poignées de mains entre deux équipes de 15 personnes, on cherche à déterminer le nombre de poignées de mains échangées. Pour résoudre ce problème, il faut analyser la notion de poignée de main en tant que lien entre deux personnes appartenant à des équipes différentes. On peut donc former une paire en choisissant une personne de l'équipe 1 et une personne de l'équipe 2. Il y a 15 possibilités dans l'équipe 1 et 12 possibilités dans l'équipe 2, ce qui donne un total de 180 poignées de mains possibles. Il est important de noter que chaque poignée de main est comptée une seule fois, car on a établi une liste où le premier élément vient de l'équipe 1 et le second élément vient de l'équipe 2. Ainsi, on évite de compter deux fois la même paire en inversant les rôles des équipes. En comprenant qu'il s'agit de compter des paires, le problème devient plus simple à résoudre.

Cours par cas pratiques !

Lors de ce cours, nous traitons de la détermination du nombre d'anagrammes, c'est-à-dire le nombre de façons de combiner les lettres d'un mot. Pour calculer ce nombre, nous utilisons la notion de permutation, qui correspond au nombre de choix possibles pour ranger les lettres dans des cases. Par exemple, pour le mot ABC, il y a 3! (3 factorielle) façons de l'organiser, car il y a 3 lettres et 3 cases. De même, pour les mots CHA, CHIEN et VALISE, nous utilisons respectivement 3!, 4!, 5! et 6! pour déterminer leur nombre d'anagrammes. Ensuite, nous abordons des mots avec des lettres répétées, comme AXA. Dans ce cas, nous devons prendre en compte le fait que les lettres identiques ne peuvent pas être distinguées. Par exemple, pour AXA, nous aurons seulement 3 choix possibles (AAX, AXA, XAA) au lieu de 6, car les deux lettres A peuvent être permutées entre elles. Ainsi, pour chaque combinaison de lettres, nous devons diviser par le nombre de permutations possibles des lettres identiques. Nous généralisons ensuite ce raisonnement pour des mots plus complexes tels que "visir" et "abracadabra". Pour ces mots, nous prenons en compte le nombre de lettres répétées (par exemple, 2 a dans "abracadabra") et le nombre de permutations possibles pour chaque lettre. Nous calculons donc le nombre d'anagrammes en utilisant le nombre total de lettres et en divisant par le produit des facteurs correspondant aux lettres répétées. En conclusion, le calcul du nombre d'anagrammes peut être complexe, mais en utilisant les principes de permutation et en prenant en compte les lettres répétées, nous pouvons obtenir des résultats précis. Cela nous permet de comprendre et de déterminer le nombre de combinaisons possibles pour des mots donnés.

Déterminer des ensembles

Dans ce cours sur le dénombrement, on va traiter des ensembles et des listes. Un ensemble est comme un sac qui contient des objets, sans ordre spécifique. Une liste, en revanche, est une séquence d'objets avec un ordre précis. Les ensembles peuvent contenir d'autres ensembles, tandis que les listes représentent des coordonnées (ex: 1-2 n'est pas la même chose que 2-1). Lorsqu'on aborde des problèmes où l'ordre compte, on travaille avec des listes, sinon on utilise des ensembles et les combinatoires. Dans l'exemple donné, on a deux ensembles E et F, avec des éléments en commun. L'union des deux ensembles (E U F) comprend tous les éléments de E et/ou F. L'intersection (E I F) regroupe les éléments communs à E et F. Le produit cartésien (E croix F) est une liste de couples formés d'un élément de E et d'un élément de F. Une paire est un ensemble de deux éléments. La distinction entre ensembles et listes est essentielle pour comprendre les différentes méthodes de dénombrement. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser.

Utiliser un diagramme

En utilisant les diagrammes, nous pouvons dénombrer les différentes catégories visuellement. Dans cet exemple, nous avons une station de sport d'hiver avec 20 touristes. Parmi eux, 14 pratiquent le ski de piste, 7 pratiquent le ski de fond, et 4 pratiquent les deux. Pour représenter cela, nous pouvons dessiner un diagramme. Nous plaçons les 20 touristes à l'intérieur d'une bulle bleue. Parmi ces touristes, 10 pratiquent uniquement le ski de piste, 4 pratiquent à la fois le ski de piste et le ski de fond, et 3 pratiquent uniquement le ski de fond. Pour trouver combien de touristes ne pratiquent aucune de ces activités, nous comptons simplement : 10 + 4 + 3 = 17. Donc, sur les 20 touristes initiaux, il y en a 3 qui ne pratiquent rien du tout. Même si cet exemple est simple, le principe reste le même pour des diagrammes plus complexes.

Dénombrer des ensembles simples

Le cours aborde le dénombrement et illustre des exemples. Dans le premier exemple, on lance une pièce pile ou face 7 fois de suite. On détermine le nombre de résultats possibles en considérant que c'est une liste où l'ordre compte et où on peut répéter plusieurs fois le même résultat. Ainsi, le nombre de tirages possibles est de 2 à chaque fois, soit 2 à la puissance 7. Dans le deuxième exemple, deux joueurs reçoivent 7 dominos au hasard parmi les 28 du jeu. On cherche à déterminer le nombre de distributions possibles en considérant que c'est une liste où l'ordre compte. Il n'y a pas de répétition possible, donc on dénombre en partant de 28 pour le premier tirage et en diminuant de 1 à chaque tirage, pour un total de 2 fois 7 dominos. On utilise une astuce pour déterminer la limite de tirage. On exprime également le résultat sous forme factorielle. Dans le dernier exemple, il y a 4 gâteaux et 4 invités. Chaque invité doit recevoir un gâteau. On considère que c'est une liste où l'ordre compte et où il n'y a pas de répétition possible. Ainsi, on dénombre 4 factorial, c'est-à-dire 4 fois 3 fois 2 fois 1. En conclusion, lorsqu'on effectue un dénombrement, il faut se poser deux questions : est-ce que l'ordre compte et est-ce qu'il peut y avoir des répétitions. Il est également recommandé de consulter la FAQ en cas de questions supplémentaires.

Tirage successif sans remise

Dans ce cours, nous abordons la façon de compter des tirages successifs sans remise. Nous considérons un exemple où 5 élèves se tiennent en rang et nous voulons savoir combien de façons il y a de les ranger. Pour déterminer cela, nous devons tout d'abord répondre à quelques questions. S'agit-il d'une liste ou d'un ensemble ? Dans ce cas, il s'agit d'une liste car l'ordre compte. Y a-t-il une répétition ? Non, car nous ne pouvons pas avoir deux fois le même élève. Maintenant que nous avons clarifié ces points, nous pouvons procéder au calcul. En première position, nous avons 5 choix possibles car nous pouvons choisir n'importe lequel des 5 élèves. En deuxième position, une fois que nous avons placé un élève, nous n'avons plus que 4 choix possibles, puis 3, puis 2, puis 1. Donc, en utilisant la formule générale, nous multiplions 5 par 4 par 3 par 2 par 1, ce qui équivaut à 5! (factorielle de 5). Cette formule, N! sur N-P!, s'applique lorsque nous avons P tirages successifs sans remise dans un ensemble de N éléments. Pensez à retenir cette formule. En résumé, pour les tirages successifs sans remise, nous utilisons la formule N! sur N-P!. Cela implique de choisir P éléments dans un ensemble de N éléments.

Tirage successif avec remise

Le problème étudié concerne les échanges de poignées de mains entre deux équipes de 15 personnes chacune. Pour déterminer le nombre de poignées de mains, il est nécessaire de comprendre que chaque poignée de main correspond à une paire de personnes, une de chaque équipe. En utilisant cette notion de paire, on peut calculer le nombre de possibilités en multipliant le nombre de personnes dans chaque équipe (15 pour l'équipe 1 et 12 pour l'équipe 2), ce qui donne 180 poignées de mains au total. Il est également important de noter qu'il n'y a pas de doublons compte tenu de l'ordre des membres des équipes dans la liste des paires. Une fois cette compréhension établie, il devient plus facile de résoudre le problème.

Principe multiplicatif et arbre pondéré

Dans ce cours, nous allons apprendre à faire un arbre pondéré, qui est utile pour dénombrer les différentes possibilités. Cependant, il faut noter que cela prend du temps à faire, donc il faut évaluer si cela vaut la peine de le faire en fonction du nombre de sous-branches. Au début, il est toujours bon de le faire au brouillon pour avoir des idées claires. L'exemple utilisé est celui d'une cantine scolaire proposant des menus différents aux élèves. Chaque élève peut choisir entre 4 entrées, 3 plats, puis entre fromage ou yaourt, et dessert ou fruit. Nous devons trouver combien de menus possibles peuvent être constitués. Pour construire l'arbre pondéré, nous commençons par les 4 entrées, puis pour chaque entrée, nous ajoutons les 3 plats possibles. Ensuite, nous avons le choix entre fromage et yaourt, et entre dessert ou fruit. Cependant, dans l'exemple donné, nous n'allons pas tout explorer, car cela ferait trop de branches. Pour compter les possibilités, nous utilisons le principe multiplicatif. Donc, nous multiplions chaque possibilité : 4x3x2x2, ce qui donne 48 menus possibles. Il est important de noter que cet arbre n'est pas pondéré. Les pondérations seraient utilisées pour les probabilités, lorsque certaines options ont des chances différentes d'être sélectionnées. Cependant, cela ne s'applique pas à ce stade, car nous sommes simplement en train de compter les possibilités. Dans le prochain chapitre, nous aborderons les probabilités et la question de la pondération.

Exo type en une minute !

Le cours présente un petit exercice où un candidat doit répondre à quatre questions indépendantes par vrai ou faux. Si le candidat répond au hasard, il y a 2 choix possibles pour chaque question, ce qui donne un total de 16 choix possibles. Ainsi, la probabilité d'obtenir les quatre bonnes réponses est de 1 sur 16. Cette exercice démontre simplement la randomité des réponses lors d'un test de ce type.