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Terminale

Première

Seconde

MPSI/PCSI

2BAC SM Maroc

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Principe multiplicatif

Dans cet exercice sur les échanges de poignées de mains entre deux équipes de 15 personnes, on cherche à déterminer le nombre de poignées de mains échangées. Pour résoudre ce problème, il faut analyser la notion de poignée de main en tant que lien entre deux personnes appartenant à des équipes différentes. On peut donc former une paire en choisissant une personne de l'équipe 1 et une personne de l'équipe 2. Il y a 15 possibilités dans l'équipe 1 et 12 possibilités dans l'équipe 2, ce qui donne un total de 180 poignées de mains possibles. Il est important de noter que chaque poignée de main est comptée une seule fois, car on a établi une liste où le premier élément vient de l'équipe 1 et le second élément vient de l'équipe 2. Ainsi, on évite de compter deux fois la même paire en inversant les rôles des équipes. En comprenant qu'il s'agit de compter des paires, le problème devient plus simple à résoudre.
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Cours par cas pratiques !

Lors de ce cours, nous traitons de la détermination du nombre d'anagrammes, c'est-à-dire le nombre de façons de combiner les lettres d'un mot. Pour calculer ce nombre, nous utilisons la notion de permutation, qui correspond au nombre de choix possibles pour ranger les lettres dans des cases. Par exemple, pour le mot ABC, il y a 3! (3 factorielle) façons de l'organiser, car il y a 3 lettres et 3 cases. De même, pour les mots CHA, CHIEN et VALISE, nous utilisons respectivement 3!, 4!, 5! et 6! pour déterminer leur nombre d'anagrammes. Ensuite, nous abordons des mots avec des lettres répétées, comme AXA. Dans ce cas, nous devons prendre en compte le fait que les lettres identiques ne peuvent pas être distinguées. Par exemple, pour AXA, nous aurons seulement 3 choix possibles (AAX, AXA, XAA) au lieu de 6, car les deux lettres A peuvent être permutées entre elles. Ainsi, pour chaque combinaison de lettres, nous devons diviser par le nombre de permutations possibles des lettres identiques. Nous généralisons ensuite ce raisonnement pour des mots plus complexes tels que "visir" et "abracadabra". Pour ces mots, nous prenons en compte le nombre de lettres répétées (par exemple, 2 a dans "abracadabra") et le nombre de permutations possibles pour chaque lettre. Nous calculons donc le nombre d'anagrammes en utilisant le nombre total de lettres et en divisant par le produit des facteurs correspondant aux lettres répétées. En conclusion, le calcul du nombre d'anagrammes peut être complexe, mais en utilisant les principes de permutation et en prenant en compte les lettres répétées, nous pouvons obtenir des résultats précis. Cela nous permet de comprendre et de déterminer le nombre de combinaisons possibles pour des mots donnés.
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Déterminer des ensembles

Dans ce cours sur le dénombrement, on va traiter des ensembles et des listes. Un ensemble est comme un sac qui contient des objets, sans ordre spécifique. Une liste, en revanche, est une séquence d'objets avec un ordre précis. Les ensembles peuvent contenir d'autres ensembles, tandis que les listes représentent des coordonnées (ex: 1-2 n'est pas la même chose que 2-1). Lorsqu'on aborde des problèmes où l'ordre compte, on travaille avec des listes, sinon on utilise des ensembles et les combinatoires. Dans l'exemple donné, on a deux ensembles E et F, avec des éléments en commun. L'union des deux ensembles (E U F) comprend tous les éléments de E et/ou F. L'intersection (E I F) regroupe les éléments communs à E et F. Le produit cartésien (E croix F) est une liste de couples formés d'un élément de E et d'un élément de F. Une paire est un ensemble de deux éléments. La distinction entre ensembles et listes est essentielle pour comprendre les différentes méthodes de dénombrement. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser.
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Utiliser un diagramme

En utilisant les diagrammes, nous pouvons dénombrer les différentes catégories visuellement. Dans cet exemple, nous avons une station de sport d'hiver avec 20 touristes. Parmi eux, 14 pratiquent le ski de piste, 7 pratiquent le ski de fond, et 4 pratiquent les deux. Pour représenter cela, nous pouvons dessiner un diagramme. Nous plaçons les 20 touristes à l'intérieur d'une bulle bleue. Parmi ces touristes, 10 pratiquent uniquement le ski de piste, 4 pratiquent à la fois le ski de piste et le ski de fond, et 3 pratiquent uniquement le ski de fond. Pour trouver combien de touristes ne pratiquent aucune de ces activités, nous comptons simplement : 10 + 4 + 3 = 17. Donc, sur les 20 touristes initiaux, il y en a 3 qui ne pratiquent rien du tout. Même si cet exemple est simple, le principe reste le même pour des diagrammes plus complexes.
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Dénombrer des ensembles simples

Le cours aborde le dénombrement et illustre des exemples. Dans le premier exemple, on lance une pièce pile ou face 7 fois de suite. On détermine le nombre de résultats possibles en considérant que c'est une liste où l'ordre compte et où on peut répéter plusieurs fois le même résultat. Ainsi, le nombre de tirages possibles est de 2 à chaque fois, soit 2 à la puissance 7. Dans le deuxième exemple, deux joueurs reçoivent 7 dominos au hasard parmi les 28 du jeu. On cherche à déterminer le nombre de distributions possibles en considérant que c'est une liste où l'ordre compte. Il n'y a pas de répétition possible, donc on dénombre en partant de 28 pour le premier tirage et en diminuant de 1 à chaque tirage, pour un total de 2 fois 7 dominos. On utilise une astuce pour déterminer la limite de tirage. On exprime également le résultat sous forme factorielle. Dans le dernier exemple, il y a 4 gâteaux et 4 invités. Chaque invité doit recevoir un gâteau. On considère que c'est une liste où l'ordre compte et où il n'y a pas de répétition possible. Ainsi, on dénombre 4 factorial, c'est-à-dire 4 fois 3 fois 2 fois 1. En conclusion, lorsqu'on effectue un dénombrement, il faut se poser deux questions : est-ce que l'ordre compte et est-ce qu'il peut y avoir des répétitions. Il est également recommandé de consulter la FAQ en cas de questions supplémentaires.
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Tirage successif sans remise

Dans ce cours, nous abordons la façon de compter des tirages successifs sans remise. Nous considérons un exemple où 5 élèves se tiennent en rang et nous voulons savoir combien de façons il y a de les ranger. Pour déterminer cela, nous devons tout d'abord répondre à quelques questions. S'agit-il d'une liste ou d'un ensemble ? Dans ce cas, il s'agit d'une liste car l'ordre compte. Y a-t-il une répétition ? Non, car nous ne pouvons pas avoir deux fois le même élève. Maintenant que nous avons clarifié ces points, nous pouvons procéder au calcul. En première position, nous avons 5 choix possibles car nous pouvons choisir n'importe lequel des 5 élèves. En deuxième position, une fois que nous avons placé un élève, nous n'avons plus que 4 choix possibles, puis 3, puis 2, puis 1. Donc, en utilisant la formule générale, nous multiplions 5 par 4 par 3 par 2 par 1, ce qui équivaut à 5! (factorielle de 5). Cette formule, N! sur N-P!, s'applique lorsque nous avons P tirages successifs sans remise dans un ensemble de N éléments. Pensez à retenir cette formule. En résumé, pour les tirages successifs sans remise, nous utilisons la formule N! sur N-P!. Cela implique de choisir P éléments dans un ensemble de N éléments.
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Tirage successif avec remise

Le problème étudié concerne les échanges de poignées de mains entre deux équipes de 15 personnes chacune. Pour déterminer le nombre de poignées de mains, il est nécessaire de comprendre que chaque poignée de main correspond à une paire de personnes, une de chaque équipe. En utilisant cette notion de paire, on peut calculer le nombre de possibilités en multipliant le nombre de personnes dans chaque équipe (15 pour l'équipe 1 et 12 pour l'équipe 2), ce qui donne 180 poignées de mains au total. Il est également important de noter qu'il n'y a pas de doublons compte tenu de l'ordre des membres des équipes dans la liste des paires. Une fois cette compréhension établie, il devient plus facile de résoudre le problème.
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Principe multiplicatif et arbre pondéré

Dans ce cours, nous allons apprendre à faire un arbre pondéré, qui est utile pour dénombrer les différentes possibilités. Cependant, il faut noter que cela prend du temps à faire, donc il faut évaluer si cela vaut la peine de le faire en fonction du nombre de sous-branches. Au début, il est toujours bon de le faire au brouillon pour avoir des idées claires. L'exemple utilisé est celui d'une cantine scolaire proposant des menus différents aux élèves. Chaque élève peut choisir entre 4 entrées, 3 plats, puis entre fromage ou yaourt, et dessert ou fruit. Nous devons trouver combien de menus possibles peuvent être constitués. Pour construire l'arbre pondéré, nous commençons par les 4 entrées, puis pour chaque entrée, nous ajoutons les 3 plats possibles. Ensuite, nous avons le choix entre fromage et yaourt, et entre dessert ou fruit. Cependant, dans l'exemple donné, nous n'allons pas tout explorer, car cela ferait trop de branches. Pour compter les possibilités, nous utilisons le principe multiplicatif. Donc, nous multiplions chaque possibilité : 4x3x2x2, ce qui donne 48 menus possibles. Il est important de noter que cet arbre n'est pas pondéré. Les pondérations seraient utilisées pour les probabilités, lorsque certaines options ont des chances différentes d'être sélectionnées. Cependant, cela ne s'applique pas à ce stade, car nous sommes simplement en train de compter les possibilités. Dans le prochain chapitre, nous aborderons les probabilités et la question de la pondération.
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Exo type en une minute !

Le cours présente un petit exercice où un candidat doit répondre à quatre questions indépendantes par vrai ou faux. Si le candidat répond au hasard, il y a 2 choix possibles pour chaque question, ce qui donne un total de 16 choix possibles. Ainsi, la probabilité d'obtenir les quatre bonnes réponses est de 1 sur 16. Cette exercice démontre simplement la randomité des réponses lors d'un test de ce type.
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Cours par cas pratiques !

Dans ce cours, nous cherchons à déterminer le nombre d'anagrammes de différents mots tels que ABC, CHA, CHIEN et VALISE. Pour cela, nous utilisons la notion de permutations, qui consiste à ranger des éléments dans des cases. Par exemple, pour ABC, nous avons 3! (3 factorielles) possibilités, car nous pouvons placer les 3 lettres dans les 3 cases de différentes manières. La deuxième question concerne des mots avec des lettres répétées, comme AXA. Dans ce cas, nous devons prendre en compte le fait que certaines lettres se répètent. Par exemple, pour AXA, nous avons 3 possibilités (AXA, AAX, XAA), mais nous devons diviser par 2! (2 factorielles) car nous avons compté les mêmes combinaisons plusieurs fois. Nous généralisons ensuite cette idée pour des mots plus longs, tels que AUTO et VISIR. Pour chaque combinaison de lettres, nous devons diviser par le nombre de permutations possibles des lettres répétées. Ainsi, pour AUTO, nous avons 4! (4 factorielles) possibilités, mais nous divisons par 2! (2 factorielles) car le O se répète. Enfin, nous examinons le mot ABRACADABRA, qui présente plusieurs lettres répétées. Nous comptons d'abord toutes les possibilités avec 11! (11 factorielles), puis nous divisons par 5! (5 factorielles) pour les A, 2! (2 factorielles) pour les B et 2! (2 factorielles) pour les R. Cela nous donne le nombre total d'anagrammes de ABRACADABRA. Cette approche de raisonnement par comptage permet de trouver rapidement le nombre d'anagrammes en tenant compte des lettres répétées. Elle peut sembler complexe au premier abord, mais en comprenant les surplus de permutations et en les corrigeant, elle offre une solution claire et efficace.
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Déterminer des ensembles

Dans ce cours sur le dénombrement, nous traitons des ensembles et des listes. Un ensemble est un sac qui contient des objets, sans ordre spécifique. Une liste, quant à elle, est une collection ordonnée d'éléments. Lorsque nous traitons des ensembles, nous utilisons des combinaisons, tandis que pour les listes, nous utilisons des permutations. Nous examinons ensuite deux ensembles, E et F, avec des éléments communs. L'union de ces ensembles (E U F) est l'ensemble des éléments de E et/ou de F. L'intersection de ces ensembles (E ∩ F) est l'ensemble des éléments communs à E et F. Le produit cartésien (E x F) est l'ensemble des couples formés d'un élément de E et d'un élément de F. Nous apprenons également que l'ordre ne compte pas dans les ensembles, mais compte dans les listes. Une paire est un ensemble de deux éléments. Nous pouvons former des paires en utilisant les éléments d'un ensemble, en faisant attention à ne pas répéter les mêmes combinaisons. Il est important de comprendre la différence entre les ensembles et les listes pour pouvoir compter les possibilités correctement. N'hésitez pas à poser des questions si vous en avez.
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Utiliser un diagramme

Les diagrammes sont très utiles pour comprendre visuellement les informations. Dans cet exemple, nous avons une station de sport d'hiver avec 20 touristes. Parmi eux, 14 pratiquent le ski de piste, 7 pratiquent le ski de fond, et 4 pratiquent les deux. En construisant un diagramme, nous représentons les 20 touristes dans une bulle bleue. Parmi ces 20 touristes, 10 pratiquent uniquement le ski de piste, 4 pratiquent à la fois le ski de piste et le ski de fond, et 3 pratiquent uniquement le ski de fond. En additionnant ces chiffres, nous obtenons bien les 14 touristes qui pratiquent le ski de piste et les 7 touristes qui pratiquent le ski de fond. Maintenant, nous devons déduire combien de touristes ne pratiquent aucune de ces activités. En additionnant les chiffres précédents (10 + 4 + 3), nous obtenons 17. Puisque nous avions initialement 20 touristes, cela signifie qu'il y en a 3 qui ne pratiquent aucune des activités mentionnées. Cette méthode de diagrammes peut être utilisée même dans des situations plus compliquées pour nous permettre de nous y retrouver.
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Dénombrer des ensembles simples

Le cours explique comment dénombrer les résultats dans différents scénarios. Le premier exemple concerne le lancer d'une pièce, où le nombre de résultats possibles est de 2 à chaque fois (pile ou face). Dans le deuxième exemple, il s'agit de distribuer 7 dominos à deux joueurs parmi les 28 dominos du jeu. Le nombre de distributions possibles est calculé en considérant l'ordre et l'absence de répétition, ce qui donne un total de 28! / (28-14)!. Le dernier exemple concerne l'attribution de 4 gâteaux à 4 invités, où chaque invité aura un gâteau différent. Le nombre de choix possibles est de 4!, car il y a 4 options pour le premier invité, puis 3 options pour le deuxième, 2 pour le troisième et 1 pour le dernier. Il est important de se poser deux questions lors du dénombrement : si l'ordre compte et s'il est possible d'avoir des répétitions.
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Tirage successif sans remise

Dans ce cours, nous abordons un nouvel exemple de dénombrement : le tirage successif sans remise. L'énoncé présente une situation où 5 élèves se tiennent en rang et nous devons déterminer combien de façons il y a de les ranger. La première étape est de déterminer s'il s'agit d'une liste ou d'un ensemble, et s'il y a des répétitions ou non. Dans ce cas, il s'agit d'une liste car l'ordre compte. Par exemple, l'ordre des élèves 1, 2, 3, 4, 5 est différent de l'ordre 5, 4, 3. En ce qui concerne les répétitions, il n'y en a pas car aucun élève ne peut être placé plus d'une fois. Ainsi, le processus est assez simple. Pour la première position, nous avons 5 choix disponibles. Pour la deuxième position, il ne reste plus que 4 choix, puis 3, 2, et enfin 1. Donc, le dénombrement total est de 5 x 4 x 3 x 2 x 1, ce qui équivaut à 5 ! (factorielle de 5). Cette méthode peut être généralisée pour tout tirage successif sans remise dans un ensemble de N éléments. Si l'on choisit P éléments à partir de cet ensemble, la formule générale est N ! / (N - P) !. Il est important de retenir cette formule. En conclusion, la méthode des tirages successifs sans remise consiste à déterminer le nombre de façons de choisir des éléments dans un ensemble sans les répéter et en respectant leur ordre.
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Tirage successif avec remise

Le problème des échanges de poignées de mains entre deux équipes de 15 personnes est abordé dans ce cours. Pour calculer le nombre total de poignées de mains, il faut comprendre que chaque poignée de main correspond à une paire de personnes, une de chaque équipe. Ainsi, pour chaque personne de l'équipe 1, il y a 12 possibilités de faire une paire avec une personne de l'équipe 2 (puisque chaque équipe compte 15 personnes). Cela donne donc un total de 12 x 15 = 180 poignées de mains échangées. Il est important de noter qu'il n'y a pas de double comptage dans ce dénombrement, car les paires sont déterminées de manière spécifique (le premier membre de l'équipe 1 serre la main au premier membre de l'équipe 2, le deuxième membre de l'équipe 1 serre la main au deuxième membre de l'équipe 2, etc.). Ainsi, il n'est pas possible de compter une paire dans le sens inverse (par exemple, le deuxième membre de l'équipe 2 serrant la main au premier membre de l'équipe 1). En résumé, le nombre de poignées de mains échangées correspond au nombre de paires possibles entre les deux équipes, soit 180.
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Principe multiplicatif et arbre pondéré

Dans ce cours, nous apprenons à créer un arbre pondéré pour déterminer le nombre de menus possibles dans une cantine scolaire. Tout d'abord, il est important de noter que la création d'un arbre pondéré prend du temps, il faut donc évaluer si cela en vaut la peine en fonction du nombre de sous-branches. Cependant, il est utile de commencer par dessiner un arbre pondéré, même au brouillon, pour avoir une vision claire des idées. Dans notre exemple, la cantine propose 4 entrées différentes, 3 plats, et les élèves peuvent choisir entre fromage ou yaourt, et entre dessert ou fruit. Pour déterminer combien de menus sont possibles, nous utilisons un arbre pondéré. Nous commençons par les 4 entrées, puis pour chaque entrée, nous ajoutons les 3 plats possibles, puis le choix entre fromage ou yaourt, et enfin le choix entre dessert ou fruit. Cependant, créer un arbre pondéré complet dans ce cas serait long et complexe, car nous aurions 12 plats différents (4 entrées x 3 plats), puis 24 sous-branches (12 plats x 2 choix pour le fromage ou yaourt), et enfin 48 branches pour le dessert ou fruit (24 sous-branches x 2 choix pour le dessert ou fruit). Donc, cela devient un peu trop compliqué. Cependant, dessiner partiellement l'arbre nous permet d'avoir une vision claire des possibilités. Ensuite, pour compter le nombre de menus possibles, nous utilisons le principe multiplicatif. Pour chaque choix, nous multiplions le nombre d'options possibles. Dans notre exemple, cela donne 4x3x2x2, ce qui fait 48 menus possibles. Il est important de noter que cet arbre n'est pas pondéré, c'est-à-dire que nous n'avons pas pris en compte les probabilités. Les pondérations seront abordées dans le chapitre suivant, lorsqu'il y aura des probabilités différentes pour chaque option. Pour le moment, nous nous concentrons uniquement sur le dénombrement des possibilités.
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Exo type en une minute !

Ce cours aborde un exercice simple basé sur un test à choix multiples avec 4 questions, où chaque question doit être répondu soit vrai, soit faux. En supposant que le candidat réponde au hasard, on nous demande de déterminer la probabilité d'obtenir 4 bonnes réponses sur 4. En utilisant la formule 2 puissance 4 (car il y a 2 choix possibles à chaque question), on trouve un total de 16 possibilités. Ainsi, lorsqu'on répond au hasard à ce test, il y a une chance sur 16 d'obtenir les 4 bonnes réponses. Cette petite expérience est intéressante pour comprendre les probabilités.
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Cours par cas pratiques !

Le cours porte sur la détermination du nombre d'anagrammes pour différents mots. Un anagramme est un arrangement des lettres d'un mot pour former un autre mot. Pour calculer le nombre d'anagrammes, il faut utiliser des notions de permutations et de combinaisons. Dans le cas des mots ABC, CHA, CHIEN et VALISE, le nombre d'anagrammes peut être calculé en utilisant la formule du factoriel. Par exemple, pour ABC, il y a 3! (3 factoriel) façons de combiner les lettres. Pour CHA, CHIEN et VALISE, il y a respectivement 3!, 4! et 6! anagrammes possibles. Cependant, la deuxième partie du cours aborde des mots qui contiennent des lettres répétées, comme AXA. Dans ces cas, il faut diviser le nombre d'anagrammes par le nombre de permutations possibles pour les lettres répétées. Par exemple, pour AXA, il y a 3! façons de combiner les lettres, mais il faut diviser par 2! parce qu'il y a deux A. Le même raisonnement s'applique aux mots abracadabra, qui contient des lettres répétées (5 A, 2 B et 2 R). Dans ce cas, il faut diviser le nombre d'anagrammes total par le produit des factoriels des nombres de répétitions de chaque lettre. Par exemple, pour abracadabra, il y a 11! façons de combiner les lettres, mais il faut diviser par 5! (pour les A), 2! (pour les B) et 2! (pour les R). En utilisant cette méthodologie de comptage, on peut déterminer le nombre d'anagrammes pour différents mots et prendre en compte les lettres répétées. Cette approche permet d'obtenir des résultats précis et compréhensibles.
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Déterminer des ensembles

Le cours traite du dénombrement en se concentre sur les ensembles et les listes. Un ensemble est comparé à un sac qui contient différentes choses, sans ordre particulier, tandis qu'une liste est une collection ordonnée. L'ordre compte dans les listes, mais pas dans les ensembles. Lorsque l'ordre compte, on traite des listes, sinon on traite des ensembles. On utilise des symboles pour représenter les opérations de l'union (U) et de l'intersection (I). L'union de deux ensembles est la réunion de tous les éléments des deux ensembles, tandis que l'intersection est l'ensemble des éléments communs aux deux ensembles. Le produit cartésien est l'ensemble des couples formés par les éléments de deux ensembles. On distingue également les paires, qui sont des ensembles de deux éléments. Il est important de différencier les ensembles des listes pour compter les possibilités correctement.
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Utiliser un diagramme

Dans ce cours, nous allons utiliser les diagrammes pour dénombrer les catégories à l'aide d'images. Cela nous permet de mieux comprendre les informations. Nous allons faire un exemple simple où différentes sous-catégories sont données et il faut les placer et déterminer combien en font partie ou non. Prenons l'exemple d'une station de sport d'hiver avec 20 touristes. Parmi eux, 14 déclarent pratiquer le ski de piste, 7 le ski de fond et 4 les deux. Pour créer notre diagramme, nous plaçons nos 20 touristes à l'intérieur de la bulle bleue. Parmi ces 20 touristes, nous avons 10 qui font du ski de piste, 4 qui font à la fois du ski de piste et du ski de fond, et 3 qui pratiquent uniquement le ski de fond. En additionnant, nous avons donc 10 + 4 = 14 touristes pratiquant le ski de piste, et 3 + 4 = 7 touristes pratiquant le ski de fond. Maintenant, nous devons calculer combien de touristes ne pratiquent aucune de ces activités. Pour cela, nous additionnons 10 + 4 + 3, ce qui donne 17. Comme il y avait initialement 20 touristes, cela signifie qu'il y en a 3 qui ne pratiquent aucune de ces activités. C'est un exemple simple, mais le principe reste le même, même lorsque les situations sont plus complexes. L'utilisation des diagrammes permet de s'y retrouver facilement. C'est ainsi que fonctionne la méthode des diagrammes.
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Dénombrer des ensembles simples

Dans ce cours, nous commençons par dénombrer des résultats à travers des exemples. Le premier exemple concerne le lancer d'une pièce pile ou face, 7 fois de suite. Il s'agit de déterminer le nombre de résultats possibles en se posant deux questions : est-ce une liste ou un ensemble ? L'ordre compte-t-il ? Et est-il possible de répéter plusieurs fois un résultat ? Dans ce cas précis, nous considérons une liste où l'ordre compte, et nous pouvons répéter le résultat. Ainsi, le nombre de tirages possibles est de 2 puissance 7, soit 2x2x2x2x2x2x2. Le deuxième exemple porte sur la distribution de 7 dominos à deux joueurs parmi les 28 dominos du jeu. Ici, nous considérons des listes où l'ordre compte, mais sans répétition possible. Le nombre de listes possibles est donc calculé en multipliant les possibilités à chaque tirage : 28x27x26... jusqu'à 28-14 plus 1 (en utilisant la formule 28 factorial sur 14 factorial). Enfin, le dernier exemple concerne la distribution de 4 gâteaux à 4 invités. Chaque invité recevra un gâteau, sans répétition possible et en considérant l'ordre. Le nombre de choix possibles est donc de 4 factorial. Pour dénombrer efficacement, il est important de se poser ces deux questions : l'ordre compte-t-il et peut-on répéter les résultats ? En cas de doute, n'hésitez pas à consulter la FAQ pour clarifier votre compréhension.
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Tirage successif sans remise

Dans ce cours, nous étudions le tirage successif sans remise, qui consiste à ranger 5 élèves en rang. Nous nous posons la question de savoir s'il s'agit d'une liste ou d'un ensemble, et s'il y a une répétition ou non. Comme l'ordre compte et qu'il n'y a pas de répétition, nous pouvons utiliser la formule générale pour les tirages successifs sans remise dans un ensemble de N éléments. Ainsi, pour ranger les 5 élèves, nous avons 5 choix pour la première position, 4 choix pour la deuxième position, 3 choix pour la troisième position, 2 choix pour la quatrième position et 1 choix pour la cinquième position. Cela revient donc à calculer 5!. En général, pour un tirage de P éléments parmi N, la formule est N!/(N-P)!. Ainsi, nous obtenons 5!/(5-5)! pour le tirage de 5 élèves. C'est ainsi que fonctionne la méthode des tirages successifs sans remise.
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Tirage successif avec remise

Dans cet exercice, nous avons deux équipes de 15 personnes chacune et nous voulons savoir combien de poignées de mains ont été échangées. Pour résoudre ce problème, il faut analyser le concept de poignée de main comme un lien entre deux personnes appartenant à des équipes différentes. Ainsi, pour chaque personne de l'équipe 1, nous avons 15 possibilités de formuler une paire avec une personne de l'équipe 2 (soit 12 personnes). Donc, il y a un total de 12 x 15 = 180 poignées de mains possibles. Il est important de noter que dans ce décompte, nous ne comptons pas deux fois la même poignée de main. Par exemple, si nous considérons les personnes A11 de l'équipe A et B9 de l'équipe B, cette paire est comptée une seule fois. Il est donc impossible de compter une paire dans le mauvais sens car nous avons spécifié que la première personne est de l'équipe 1 et la deuxième personne est de l'équipe 2. Ainsi, une fois que nous avons compris que nous comptons des paires, le calcul devient beaucoup plus simple.
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Principe multiplicatif et arbre pondéré

Dans cette vidéo, nous apprenons comment créer un arbre pondéré pour déterminer le nombre de menus possibles dans une cantine scolaire. L'arbre pondéré est un outil pratique mais prend du temps à réaliser. Si nous avons trop de sous-branches, il n'est pas nécessaire de faire un arbre pondéré car cela peut être long et finalement peu utile. Cependant, il est toujours bon d'en créer un au brouillon pour clarifier nos idées. Dans cet exemple, la cantine propose 4 entrées, 3 plats, et ensuite le choix entre fromage ou yaourt, et dessert ou fruit. Pour déterminer le nombre de menus possibles, nous commençons par les 4 entrées, puis les 3 plats pour chaque entrée, et enfin le choix entre fromage ou yaourt, et dessert ou fruit. Cependant, dans cet exemple, l'arbre devient très grand avec beaucoup de branches. Nous décidons donc de ne pas tout énumérer, car cela nous donnerait 12 plats, puis 24 sous-branches, et enfin 48 branches pour le dessert ou le fruit. Il s'agit donc d'un nombre considérable de possibilités. Pour compter ces possibilités, nous appliquons le principe multiplicatif. Pour chaque choix, nous avons une option supplémentaire. Ainsi, le nombre total de menus possibles est calculé en multipliant toutes les options : 4x3x2x2, ce qui donne 48 menus possibles. Il est important de noter que cet arbre n'est pas pondéré, les pondérations seront abordées dans une prochaine section concernant les probabilités. Pour le moment, nous nous concentrons uniquement sur le décompte des possibilités.
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Exo type en une minute !

Ce cours concerne un candidat qui passe un test avec quatre questions à choix vrai ou faux. Le professeur se demande quelle est la probabilité pour que le candidat obtienne les quatre bonnes réponses en répondant au hasard. Il explique que le candidat a deux choix possibles pour chaque question, ce qui donne un total de 2 puissance 4, soit 16 possibilités. Ainsi, si le candidat répond au hasard, il a une chance sur 16 d'obtenir les quatre bonnes réponses. Le professeur trouve cela intéressant et amusant.