Cours d'apprentissage en ligne

Analyse

Etude de fonction trigo 2

Ce cours porte sur l'étude de la fonction f(x) = -cosine(3x)/3. Tout d'abord, la fonction parité de f est démontrée, car elle est paire pour tout x. Ensuite, il est montré que f est périodique, avec une période de 2pi. Il est recommandé d'étudier la fonction sur l'intervalle [-pi, pi] à cause de sa parité et de sa périodicité. Le signe de f'(x) est ensuite étudié et il est montré que f(x) est toujours positif ou nul sur l'intervalle [0, 2pi]. Finalement, un tableau de variation de la fonction sur [-pi, pi] est dressé en utilisant sa parité et sa périodicité. Le même tableau est étendu sur [-3pi, pi] en utilisant la même méthode.

Analyse

Etude de fonction trigo 3

Ce cours traite de l'étude des variations de la fonction exponentielle de cos x. On commence par montrer que f est une fonction paire et symétrique. On explique ensuite comment interpréter graphiquement f sur un intervalle de taille de pi en utilisant la périodicité de la fonction. On donne la dérivée de f et on montre que f' est négative sur l'intervalle de 0 à pi, ce qui implique que f décroît sur cet intervalle. En déduisant les extrémums de f sur l'intervalle de moins pi à pi, on trouve un maximum en 0 et des minimums en moins pi et pi. En suivant le tableau de variations de f, on peut tracer la fonction sur moins 2 pi à 3 pi, qui monte et descend périodiquement.

Analyse

Equations trigos : ensembles de résolution

Ce cours traite de la résolution d'équations trigonométriques plus complexes que celles habituellement enseignées. Il met l'accent sur la résolution dans un intervalle spécifique et présente un théorème qui permet de trouver deux solutions possibles à une équation comportant le sinus d'un angle connu. L'exemple donné montre comment trouver quatre solutions possibles pour une telle équation dans l'intervalle entre moins 2 pi et 2 pi. La méthode consiste à tester différentes valeurs de k pour déterminer les solutions valables dans l'intervalle donné.

Définition de base : avec projeté

Le cours traite des propriétés fondamentales du produit scalaire. Le produit scalaire est défini comme le produit de deux vecteurs, qui est égal à la norme des vecteurs s'ils sont dans le même sens et moins le produit des deux normes s'ils sont dans des sens opposés. Si les vecteurs ne sont pas alignés, le produit scalaire sera égal à la version projetée du vecteur sur l'autre. Le cours utilise l'exemple d'un losange pour illustrer ces concepts et calcule plusieurs produits scalaires en utilisant la projection. Il rappelle également que le produit scalaire de deux vecteurs est nul s'ils sont orthogonaux. Enfin, le cours insiste sur l'utilité de la projection pour calculer des produits scalaires plus facilement.

Définition avec le cosinus

La méthode enseignée est une manière d'utiliser la formule classique du produit scalaire AB scalaire AB qui est le produit des normes fois le cosinus de l'angle qui sépare les deux vecteurs. Pour l'appliquer, on prend l'exemple d'un triangle OAB avec OA=5 et OB=3, et on calcule le produit scalaire OA scalaire OB pour différentes valeurs de l'angle theta, soit pi sur 3, pi sur 4, et 5pi sur 6. Pour calculer le cosinus de theta, on utilise des rappels de trigonométrie. Pour le cas de 5pi sur 6, il est expliqué que le produit scalaire peut être négatif à cause de l'angle obtus du triangle. Cette méthode est présentée comme une manière d'illustrer le cours, plutôt qu'une résolution de problème.

Définition avec des coordonnées

Cette méthode utilise deux formules de produits scalaires pour calculer un angle entre deux vecteurs dans un repère orthonormé. La formule pour trouver le produit scalaire est U scalaire V égal à la coordonnée de U multipliée par la coordonnée de V, soit le produit de leurs abscisses plus le produit de leurs ordonnées. Pour trouver l'angle NMP, on doit calculer les coordonnées de MN et MP, puis calculer leur produit scalaire. En utilisant la formule cosinus=NMP/∥ MN ∥∥ MP ∥, on peut trouver la valeur du cosinus de l'angle et l'approximer à 0,01° près. La méthode peut être utilisée pour résoudre des exercices de mathématiques de différents niveaux.

Produit scalaire et perpendicularité

Le cours aborde la puissance du produit scalaire dans l'étude de la perpendicularité. Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, cela équivaut à l'orthogonalité de ces deux vecteurs. Cela permet de simplifier la vérification de la perpendicularité de deux droites en calculant leur produit scalaire. La méthode consiste à déterminer les vecteurs des droites PQ et RS, puis à calculer leur produit scalaire pour vérifier leur orthogonalité. Cela peut être utile en physique ou en maths pour montrer la perpendicularité, même dans l'espace.

Formule d'Al-Kashi

Le théorème d'Alkaci est une formule importante dans le chapitre du produit scalaire. Il permet de trouver la valeur exacte et unique du troisième côté d'un triangle lorsque l'on connaît les longueurs de deux côtés et l'angle entre eux. C'est une généralisation du théorème de Pythagore dans le cas d'un triangle qui n'est pas rectangle. La formule d'Alkaci est une version corrigée du théorème de Pythagore, qui inclut un terme correctif lié au produit scalaire. Lorsque l'angle entre les deux côtés est de 90 degrés, la formule d'Alkaci se réduit à celle de Pythagore. On peut donc l'utiliser pour vérifier si un triangle est rectangle. Dans un exercice, on applique la formule d'Alkaci pour trouver la longueur d'un côté d'un triangle connaissant les longueurs des deux autres côtés et l'angle entre eux. Après avoir effectué les calculs, on trouve une valeur pour le côté manquant. En résumé, le théorème d'Alkaci permet de trouver la valeur exacte d'un côté de triangle en utilisant les longueurs de deux côtés et l'angle entre eux.

Ensembles de points à reconnaître

Ce cours traite des produits scalaires et d'une formule très pratique qui permet de déterminer un ensemble de points vérifiant un produit scalaire égal à une valeur donnée. Cette formule s'applique lorsque l'on a deux points A et B qui forment un segment et qu'on appelle I son milieu. Pour un point M quelconque, la formule nous permet d'exprimer le produit scalaire MA.MB en fonction de M, par exemple MI carré moins un quart de AB carré. Cette formule peut être très utile pour résoudre certains problèmes de géométrie. Lorsque l'on cherche des points M vérifiant un produit scalaire égal à une valeur donnée, il faut appliquer cette formule en posant le milieu H si celui-ci n'a pas été donné. Ensuite, si on nous demande de trouver les points tels que MH égal 4, il s'agit de reconnaître l'ensemble des points à une distance constante de H, soit un cercle de centre H et de rayon 4.

Produit scalaire : 0 calculs, que des projections

Dans cet exercice, on observe un triangle OAB et on cherche à démontrer que OA' x OB est égal à OA x OB'. On commence par trouver les points A' et B', qui sont les projections orthogonales de A et B sur les côtés opposés. Ensuite, on utilise la propriété du produit scalaire pour exprimer OA' x OB en fonction d'un produit scalaire, et on remarque que ce produit scalaire est également égal à OA' x OB'. Ce faisant, on peut exprimer OA' x OB' en fonction d'un produit scalaire, ce qui nous permet de prouver que OA' x OB est bien égal à OA x OB'. Cet exercice montre l'utilité du produit scalaire dans la résolution de problèmes de géométrie.

Produit scalaire dans un carré

L'exercice consiste à calculer des produits scalaires à partir de projections. On utilise la propriété selon laquelle le produit scalaire entre deux vecteurs est égal à leur projection sur une même direction. On démontre ainsi que AB scalaire AC est égal à AB au carré, que AB scalaire AD est égal à zéro, que OC.OD est égal à zéro, que AC.AO est égal à la moitié de A², que OC.OA est égal à moins un demi A² et que AD.OB est égal à moins un demi A² également. L'exercice permet de se familiariser avec la formule des projections, qui permet de simplifier les calculs.