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Critère d'arrêt : n est premier ?

Dans cet exercice, nous utilisons le critère d'arrêt pour déterminer si un nombre est premier ou non. Ce critère stipule qu'un nombre n'est pas premier s'il admet un diviseur premier compris entre 2 et la racine carrée de ce nombre. En utilisant ce critère, nous évitons de tester tous les nombres premiers jusqu'au nombre à tester. Ainsi, pour déterminer si 349 est premier, nous avons calculé la racine carrée de ce nombre, ce qui est d'environ 18,7. Nous avons ensuite testé tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à 17 pour savoir s'ils divisent 349. En vérifiant qu'aucun de ces nombres ne divise 349, nous avons conclu que 349 est un nombre premier. Il est important de connaître tous les nombres premiers avant 20, car ils sont utilisés régulièrement dans les exercices.
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Démo infinité des premiers

Cet exercice démontre qu'il existe une infinité de nombres premiers en utilisant un raisonnement par l'absurde. On suppose qu'il n'y en a qu'un nombre fini, puis on crée un ensemble de nombres premiers qu'on multiplie ensemble et à qui on ajoute 1 pour créer un nouveau nombre, P étoile. On montre ensuite, en montrant qu'aucun nombre premier n'est un diviseur de P étoile, qu'il n'existe aucun indice tel que Pi divise P étoile. Mais en utilisant le critère d'arrêt, on montre qu'il existe un nombre premier P i qui divise P étoile, ce qui contredit ce qu'on a trouvé à la question 1. Cela implique qu'il existe une infinité de nombres premiers et qu'on a donc démontré l'exercice en question.
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Décomposition et équation

Dans cette transcription de vidéo, nous apprenons comment résoudre une équation en trouvant les solutions entières de l'équation x² + 2x + 1 = 84. Pour ce faire, nous utilisons la décomposition en facteurs premiers de 84, soit 2² x 3 x 7, pour trouver toutes les possibilités d'écriture de 84 comme un produit de trois facteurs distincts. Nous trouvons deux possibilités: 2 x 3 x 14 et 3 x 4 x 7. En testant ces deux possibilités, nous trouvons que la seconde est la bonne, car elle correspond à x = 3. Ainsi, nous avons résolu l'équation rapidement.
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Nombre de diviseurs

Cet exercice consiste à déterminer le nombre de diviseurs de 300 puissance 300. En décomposant ce nombre en facteurs premiers (3 fois 2 au carré fois 5 au carré), on peut obtenir sa décomposition en facteurs premiers. En utilisant une formule simple de dénombrement, on peut alors calculer le nombre de diviseurs (301 fois 601 fois 601), qui est égal à 108 721 501 diviseurs. Pour trouver un nombre avec plus d'un milliard de diviseurs, il suffit de multiplier le nombre de diviseurs par 10, ce qui peut être obtenu en ajoutant 7 puissance 9 à la décomposition en facteurs premiers de 300 puissance 300.
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Utiliser Fermat 1/2

Dans cet exercice, on doit démontrer que pour tout nombre premier P différent de 3 et tout entier n, 3 puissance N plus P moins 3 puissance N plus 1 est divisible par P. Pour cela, on utilise le petit théorème de Fermat qui énonce que si A est un nombre entier et P un nombre premier qui ne divise pas A, alors A puissance P moins 1 est congrue à 1 modulo P. En appliquant ce théorème avec 3 et P, on obtient que 3 puissance P moins 1 est congrue à 1 modulo P. Ensuite, en multipliant cette équation par 3 puissance N plus 1 et en simplifiant, on montre que 3 puissance N plus P moins 3 puissance N plus 1 est congruent à 0 modulo P, prouvant ainsi la divisibilité recherchée.
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Utiliser Fermat 2/2

En utilisant le petit théorème de Fermat, on montre que 4 puissance 28 moins 1 est divisible par 29. Pour montrer que 4 puissance n moins 1 est divisible par 3 pour toute n, on utilise la congruence 4 puissance n est congruent à 1 modulo 3. En utilisant des congruences, on montre que 4 puissance 4k moins 1 est divisible par 5 et par 17. Finalement, on déduit que 4 puissance 28 moins 1 est divisible par 3, 5, 17 et 29, ce qui nous permet de déduire quatre diviseurs premiers de 4 puissance 28 moins 1.
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Vers la sup : racine puissance n

Dans cet exercice, nous utilisons le théorème de Bézout pour calculer différentes expressions mathématiques. Nous commençons par calculer 1 + racine de 6 au carré, 1 + racine de 6 puissance 4, et 1 + racine de 6 puissance 6, en utilisant les identités remarquables et les puissances. Ensuite, nous décomposons les nombres 847 et 342 en facteurs premiers et concluons qu'ils sont premiers entre eux. Dans la deuxième partie, nous généralisons ces calculs en utilisant des variables an et bn. Nous déterminons les valeurs de a1, b1, a2, b2, a4, b4, a6, et b6 et nous calculons an + 1 et bn + 1 en fonction de an et bn. Ensuite, nous démontrons que si 5 ne divise pas an + bn, alors il ne divise pas non plus an + 1 et bn + 1, en utilisant la contraposée et le lemme de Gauss. Enfin, nous démontrons que si an et bn sont premiers entre eux, alors an + 1 et bn + 1 le sont également, en montrant que le critère de premier entre eux se transmet de proche en proche.
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Congruence : équation degré 2

Dans cet exercice, nous devons résoudre l'équation x²-2x2 congrue à 0 modulo 17. Tout d'abord, il est demandé de montrer que α = 5 est une solution de l'équation, ce qui est vérifié en remplaçant x par 5. Ensuite, en posant x = x-α, nous pouvons trouver toutes les solutions de E. En faisant cela, nous obtenons l'équation x + 5 au carré - 2(x + 5) + 2 congru à 0 modulo 17, que nous simplifions pour obtenir grand x carré + 8x congru à 0 modulo 17. En factorisant, nous pouvons dire que 17 divise soit x, soit x+8. Ainsi, nous avons deux possibilités : x est congru à 5 modulo 17 ou x est congru à 14 modulo 17. Donc, les solutions de E sont x congru à 5 modulo 17 ou x congru à 14 modulo 17.
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Nombres premiers entre eux

Dans cet exercice, on veut savoir si 59 et 27 sont premiers entre eux, c'est-à-dire s'ils n'ont pas de diviseur en commun. Pour le déterminer, on regarde la décomposition en facteur premier de chacun des nombres et on cherche s'il y a un nombre premier en commun. Pour 27, on trouve que le seul nombre premier dans sa décomposition est 3. Donc, s'ils ont un diviseur commun différent de 1, il doit être un multiple de 3. Mais 3 ne divise pas 59, donc leur PGCD vaut 1 et ils sont premiers entre eux.
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Équation diophantienne

Dans cet exercice, on résout une équation de D'Ouffantienne 13x+9y=2 en rappelant que l'équation admet une solution entière si le PGCD des coefficients devant x et y divise c. Puis, on utilise l'algorithme de Clide pour trouver une solution particulière (-4,6). Enfin, pour trouver l'ensemble des solutions, on utilise la formule x= solution particulière +9k et y=6-13k.
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Fraction irréductible

Dans cet exercice mathématique, on prouve que la fraction 9n+1/6n+1 est irréductible pour tout entier n. Pour démontrer cela, il faut rappeler que pour qu'une fraction soit irréductible, le PGCD du numérateur et du dénominateur doit être égal à 1. On utilise également le théorème de Bézout, qui dit que le PGCD de deux nombres est égal à 1 s'il existe deux coefficients u et v qui vérifient certaines conditions. En développant la fraction et en cherchant les coefficients u et v qui conviennent, on trouve que la solution est u=-2 et v=3. En utilisant le théorème de Bézout, on prouve que la fraction est irréductible pour tout n.
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Système congruences et Bezout

Dans cet exercice, il s'agit de résoudre un système de congruence en utilisant les équations de Dioff-Ancienne. Le système en question est X congruent à 1 modulo 11, et X congruent à 3 modulo 4. On montre que ce système peut être résolu en trouvant une solution pour l'équation 11U plus 4V est égal à 2. On commence par exprimer X en termes de U et V, puis on résout l'équation diophantienne correspondante. On trouve une solution particulière et on généralise les solutions pour obtenir l'ensemble des solutions possibles. Enfin, on déduit les solutions du système initial en trouvant X congruent à 23 modulo 44.