Online Dérivation et étude de fonctions course by Top Instructors - Dérivation et étude de fonctions

Intuition et déf

Dans cette première vidéo sur la convexité, nous abordons les différentes définitions de la convexité. Nous commençons par une explication simple à l'aide d'un graphique : la convexité fait référence à une courbe qui semble monter de plus en plus, tandis que la concavité fait référence à une courbe qui monte mais pas trop rapidement. Une autre façon de se rappeler des concepts est de penser à la convexité comme un sourire et à la concavité comme une tranche. Ensuite, nous introduisons la définition mathématique officielle, qui est basée sur les séquentes ou les cordes. Une séquente est une droite qui relie deux points d'une courbe. Une fonction est convexe si sa courbe est en dessous de toutes ses séquentes, et elle est concave si elle est au-dessus de toutes ses séquentes. Pour illustrer cela, nous regardons des graphiques de fonctions convexes et concaves et vérifions si leur courbe se trouve au-dessus ou en dessous de leurs séquentes. Il est important de noter que dans cette définition, il n'y a pas de mention de continuité ou de dérivabilité. On peut être convexe ou concave même si la fonction n'est pas dérivable. C'est tout pour cette vidéo de présentation et la définition de base de la convexité. À bientôt dans la prochaine vidéo. Au revoir.

Fonctions usuelles

Ce cours aborde les fonctions classiques en mathématiques. Il explique que les fonctions racine et logarithme sont concaves, ce qui signifie qu'elles ressemblent à un sourire dans leur représentation graphique. En revanche, la fonction 1/x est convexe sur R+ et concave sur R-. Une petite règle intuitive est également donnée : les fonctions x puissance alpha, avec alpha entre 0 et 1, sont concaves (comme les racines), tandis que les fonctions x puissance alpha avec alpha supérieur à 1 sont convexes. La fonction y=x est à la fois convexe et concave car elle est une droite. Enfin, quelques exemples de tracés de fonctions sont donnés pour illustrer ces propriétés. Cela concerne des fonctions du type x puissance alpha, avec alpha allant de 0 à 2. On peut voir que les fonctions avec alpha entre 0 et 1 sont concaves, tandis que pour alpha supérieur à 1, elles sont convexes.

Inégalité fondamentale

Dans cette vidéo, nous allons étudier la relation entre une courbe et ses sécantes pour traduire la convexité d'une fonction. Une fonction convexe est située en dessous de ses sécantes. Pour illustrer cela, nous avons un graphique avec une courbe rouge située sous les sécantes bleues. L'objectif est de comparer la différence d'ordonnée entre un point sur la sécante bleue et un point sur la courbe rouge pour une même abscisse entre les points A et B. En prenant une abscisse intermédiaire, représentée par le point T, nous pouvons démontrer que le point sur le segment est plus haut que le point sur la courbe rouge. Ainsi, nous concluons qu'il y a une inégalité entre ces deux points. En utilisant cette notion, nous pouvons considérer un point d'abscisse intermédiaire entre A et B, que nous appelons T, en pondérant les abscisses de A et B. En observant l'image de ce point T par la fonction courbe, notée F, nous constatons qu'elle est inférieure à l'image de cette abscisse par l'équation de la sécante. Il peut être difficile de comprendre cette équation rapidement, mais nous pouvons fournir une démonstration complète pour ceux qui sont intéressés. En résumé, cette vidéo explique comment traduire la relation entre une courbe et ses sécantes dans le contexte de la convexité d'une fonction. De plus, il est important de noter le lien logique entre la convexité et la concavité : si F est convexe, alors moins F est concave, et vice versa. Une démonstration complète est disponible dans une autre vidéo. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser sur le forum. Merci de votre attention et rendez-vous dans la prochaine vidéo.

Lien dérivation

Dans ce cours, nous abordons la convexité d'une fonction dérivable. Nous rappelons que la convexité ne dépend ni de la continuité, ni de la dérivabilité de la fonction, mais seulement de la position entre les séquentes et la courbe de la fonction. Nous simplifions la définition pour la rendre plus pratique pour une utilisation quotidienne. Nous expliquons que f est convexe sur un intervalle i si, pour tout réel x de cet intervalle, f' est croissante. De même, f est concave sur i si f' est décroissante. Nous illustrons cela avec l'exemple de la fonction cubique. Nous observons que la fonction est concave au début et convex à la fin. Nous expliquons que cela correspond à la décroissance de la dérivée f', puis à son augmentation. Nous utilisons également la dérivée seconde pour étudier la convexité. Nous expliquons que si f est deux fois dérivable et que f' est positive, alors f est convexe. Ainsi, plutôt que de comparer les courbes et les droites, il suffit de calculer la dérivée seconde f'' pour déterminer la convexité. En conclusion, il est plus pratique d'étudier la convexité d'une fonction dérivable en calculant sa dérivée seconde. Cela simplifie l'étude en réduisant l'analyse à un simple calcul de dérivée.

Point d'inflexion

Le cours présente la notion de point d'inflexion dans le contexte des fonctions dérivables. Un point d'inflexion est défini comme un endroit où la courbe d'une fonction traverse sa tangente, correspondant à un changement de comportement entre concavité et convexité. Il est également noté que le point d'inflexion correspond à un point de pente maximale de la tangente, où la pente devient la plus négative en valeur absolue. De plus, le cours rappelle que la convexité d'une fonction est liée à la positivité de sa dérivée première, tandis que la concavité est liée à la négativité de sa dérivée première. Enfin, il est souligné qu'un point d'inflexion implique un changement de signe de la dérivée seconde, mais que l'inverse n'est pas toujours vrai, comme illustré par des exemples.

Démo inégalité convexité

Dans ce cours, nous prenons les points réels X et Y, ainsi que les points associés A et B. Nous avons une séquence illustrée par un dessin, ainsi qu'un point M défini par les coordonnées Apcis (TX+1-TY) et (TF2X+1-TF2Y). Nous allons démontrer que cette ordonnée est bien sur la séquence. Pour cela, nous analysons la position de l'apcis entre X et Y, ainsi que l'ordonnée entre TF2X et TF2Y, afin de montrer qu'elle est bien sur la séquence. Nous démontrons aussi que M appartient au segment AB en vérifiant que les Apcis de M et de Y sont comprises entre les Apcis de A et B. Ensuite, nous vérifions que M est sur la droite AB en utilisant l'équation de la droite, où Y est égal à AlphaX+Beta. Nous calculons Alpha en utilisant les variations des ordonnées et des Apcis entre A et B, et nous trouvons Beta en utilisant le fait que le point A est sur la droite. Pour vérifier que M est sur la droite, nous remplaçons l'apcis de M à la place de X dans l'équation et espérons obtenir l'ordonnée de M à la fin du calcul. En effectuant les calculs, nous trouvons que l'apcis de Y correspond à l'ordonnée de M, ce qui confirme que M est sur la droite. En conclusion, en démontrant que M appartient au segment AB qui est sur la séquence CF, nous pouvons affirmer que l'image de l'apcis de M par la séquence est au-dessus de son image par F.

Démo au programme : convexité et f''

Dans ce cours, on étudie les propriétés graphiques d'une fonction et leur lien avec sa dérivée seconde. Si f'' (la dérivée seconde de f) est positive sur l'intervalle i, alors la courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes. Cela rappelle la définition de la convexité, où la courbe est au-dessus de ses cordes. La démonstration de ce fait commence par une introduction, qui indique les hypothèses de départ et ce qu'on veut montrer. Ensuite, on met tout du même côté pour simplifier l'expression, puis on pose une fonction qui compare la courbe et la tangente au point a. On étudie cette fonction, en montrant qu'elle est dérivable et en cherchant le signe de sa dérivée. Puis, on utilise le fait que la dérivée seconde est positive pour conclure que la dérivée est croissante. Enfin, on fait un tableau de variation de la fonction pour montrer qu'elle est toujours positive ou nulle. Cela prouve que la courbe est au-dessus de la tangente. Pour bien comprendre cette démonstration, il est important de reprendre chaque étape et de savoir les réécrire sans aide. Cela permet de maîtriser parfaitement le sujet.

Convexité et f''

La convexité d'une fonction est un chapitre important en mathématiques. En étudiant la convexité d'une fonction, on peut trouver des propriétés intéressantes, comme la position de la tangente par rapport à la courbe. Dans cet exemple, nous étudions la fonction f(x) = (1/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2x + 1. Cette fonction est un polynôme, donc dérivable au moins deux fois. Nous regardons le signe de la dérivée seconde pour déterminer si la fonction est concave ou convexe. La dérivée seconde de f(x) est 2x - 3. Cette dérivée seconde est positive pour x > 3/2 et négative pour x < 3/2. Cela signifie que f(x) est concave pour x < 3/2 et convexe pour x > 3/2. Dans le deuxième exemple, nous étudions la fonction f(x) = 3x - 3x^(3/2). Cette fonction n'est pas définie pour x < 0 et n'est pas dérivable en x = 0. Nous calculons la dérivée seconde qui est -9/(4√x). Comme √x est toujours positif, la dérivée seconde est toujours négative. Nous concluons que f(x) est concave sur tout son ensemble de définition. En termes d'interprétation, cela signifie que la courbe est toujours située sous les tangentes. On peut également dire que la courbe est au-dessus des cordes définies par deux points sur la courbe. La concavité et la convexité permettent de déterminer la position relative de la tangente par rapport à la courbe.

Convexité et Inégalités

Dans cette leçon, nous abordons la méthode de la convexité. Il s'agit d'une approche classique, mais extrêmement utile une fois que l'on maîtrise son étude. Nous commençons par examiner une fonction f(x) = x³ - 2x². Comme il s'agit d'un polynôme, il est dérivable deux fois sans problème. Nous calculons ensuite ses deux dérivées : f'(x) = 3x² - 4x et f''(x) = 6x - 4. Notre objectif est d'étudier le signe de f''(x). Nous résolvons l'inéquation 6x - 4 > 0, ce qui nous donne x > 3/2. En revanche, si f''(x) < 0, cela signifie que x < 3/2. Nous en déduisons donc la concavité et la convexité de la fonction f : f est concave sur l'intervalle ]-∞, 3/2[ et convexe sur l'intervalle ]3/2, +∞[. Ensuite, on nous demande de trouver l'équation de la tangente à la courbe de f au point x = -1. Nous appliquons les formules appropriées : l'équation de la tangente au point x = -1 est f'(-1) * x - (-1) + f(-1). Suite à nos calculs précédents, nous trouvons que f'(-1) = 7 et f(-1) = -3. Ainsi, l'équation de la tangente est y = 7x + 4. Enfin, on nous demande de prouver que pour tout x négatif, x³ - 2x² < 7x + 4. Nous constatons que 7x + 4 est l'équation de la tangente que nous avons précédemment trouvée, et x³ - 2x² est équivalent à f(x). En analysant géométriquement cette inégalité, nous concluons que la courbe de f est située en dessous de sa tangente lorsque f est concave. Comme nous avons prouvé précédemment que f est concave sur l'intervalle ]-∞, 3/2[, nous pouvons affirmer que cette inégalité est vraie pour tout x négatif. Il est essentiel de comprendre le concept de convexité lors de la résolution de ce problème. Si nous ne l'appliquons pas, nous nous retrouverons avec une équation de degré 3, ce que nous ne savons pas résoudre. La méthode de la convexité est donc indispensable. N'hésitez pas à consulter la FAQ si vous avez des questions supplémentaires.

Points d'Inflexion

Ce cours porte sur la convexité d'une fonction et la façon de déterminer les points d'inflexion. La fonction étudiée est f2x. Nous commençons par dériver cette fonction deux fois pour justifier sa dérivabilité. En calculant la dérivée, nous remarquons la présence d'une exponentielle toujours positive. Cependant, le signe de "-x plus 1" est important. Il est positif lorsque x tend vers moins l'infini jusqu'à 1, et négatif sinon. En déduisant le signe de la dérivée, nous obtenons un tableau de variation de la fonction f. Celle-ci est croissante puis décroissante avec un maximum atteint à 1, évalué à 7e moins 1. Les limites de la fonction sont également calculées, avec -∞ tendant vers 0 et +∞ tendant également vers 0 grâce à une comparaison de croissance. Ensuite, nous calculons la dérivée seconde de f(x) et trouvons 7 fois x moins 2 fois e de moins x. Comme l'exponentielle est toujours positive, le signe de f''(x) suit celui de x moins 2, positif pour x supérieur à 2 et négatif sinon. Ainsi, f''(x) change de signe en x=2, ce qui indique un point d'inflexion à ce point. Les coordonnées de ce point sont calculées et correspondent à f de 2 égal à 14 de 2 moins 2. En regardant la courbe de f, on observe que la pente diminue avant le point d'inflexion et augmente après, créant une courbe incurvée. La courbe de f'' est également tracée et montre que la dérivée seconde est d'abord négative avant de changer de signe en 2. Les points d'inflexion sont souvent rencontrés dans des problèmes de physique, tels que les titrages, où ils indiquent un changement de pente. Cette méthode sur la convexité et les points d'inflexion constitue la dernière partie de ces différentes méthodes étudiées.

Convexité étude COMPLETE

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Fonctions cubes et convexité

Ce cours concerne l'étude de la convexité d'une fonction f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D. L'exercice consiste à déterminer dans quels cas la fonction est convexe ou concave. Il s'agit d'un exercice plus avancé mais qui essaie de généraliser les résultats intuitifs sur les fonctions cubiques. On commence par calculer la dérivée seconde de f(x) et la dérivée de f(x). La convexité de f(x) dépendra du signe de la dérivée seconde (f''(x)) et donc de la valeur de A. Si A est positif, la fonction affine A*x + 2B est d'abord négative, puis positive. Donc f''(x) sera négative, puis positive. Dans ce cas, la fonction f(x) sera concave, puis convexe. Si A est négatif, la fonction affine A*x + 2B est d'abord positive, passe à 0, puis devient négative. Donc f''(x) sera positive, puis négative. Dans ce cas, la fonction f(x) sera convexe, puis concave. Il est important de faire attention à la distinction des cas et de comprendre le rôle de A dans les calculs. Si on ne tient pas compte du signe de A, on risque de faire des erreurs. De plus, on remarque que peu importe la valeur de A, la fonction admet un point d'inflexion à x = -B/(3A). Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité. En appliquant ces résultats à un exemple précis, on peut conclure que la fonction f(x) = -x^3 + 2x^2 + 3x - 4 admet un point d'inflexion à x = 4/3. En résumé, cet exercice permet de comprendre la convexité d'une fonction cubique en fonction de la valeur du coefficient A. Il met l'accent sur la distinction des cas et l'utilisation des dérivées pour déterminer la convexité.

Des inégalités classiques

Dans cet exercice, on utilise la convexité et la concavité pour démontrer certaines inégalités. Tout d'abord, on démontre que pour tout réel X, l'exponentielle de X est supérieure à 1 + X, et même si X est non nul, l'inégalité est stricte. Pour cela, on remarque que 1 + X peut être vu comme l'exponentielle de 0 fois X + l'exponentielle de 0. On reconnaît alors l'équation de la tangente à la courbe de l'exponentielle de X au point (0,1). Comme l'exponentielle de X est strictement convexe, la courbe est au-dessus de cette tangente, et donc E(X) est supérieur ou égal à 1 + X pour tout X réel. Si X est différent de 0, alors E(X) est strictement plus grand que 1 + X. Ensuite, on démontre que le logarithme de (1 + X) est inférieur ou égal à X. On remarque que le coefficient directeur de la tangente à la courbe de log(1 + X) en 0 est 1, donc la dérivée de log(1 + X) est égale à 1 / (1 + X), et elle vaut 1 lorsque X = 0. Donc l'équation de la tangente en 0,0 est Y = X. En étudiant la convexité de la fonction log(1 + X), qui est strictement concave, on peut conclure que la courbe est en-dessous de cette tangente, ce qui démontre l'inégalité recherchée. Enfin, on cherche à encadrer sin(X) entre pi/2 et 0 pour X dans l'intervalle [0, pi/2]. On montre que sin(X) est concave dans cet intervalle en calculant sa dérivée seconde qui est -sin(X), et qui est donc négative dans cet intervalle. On démontre ensuite que sin(X) est inférieur ou égal à X en montrant que X est l'équation de la tangente à la courbe de sin(X) en 0. Finalement, on montre que sin(X) est supérieur ou égal à pi/2 en trouvant une corde entre les points (0,0) et (pi/2,1), qui est une droite décroissante. Le maximum de cette droite est atteint en X = 0, et vaut pi/2, ce qui démontre l'encadrement recherché.

Inégalité de Bernoulli

Dans cet exercice, on montre l'inégalité de Bernoulli en utilisant la convexité de la fonction 1 + x^n. On commence par étudier la convexité de cette fonction en dérivant deux fois et en analysant le signe des dérivées. On conclut que la fonction est convexe sur l'intervalle [-1, +∞]. Ensuite, on utilise cette convexité pour déduire que pour x > -1, la fonction 1 + x^n est plus grande que 1 + nx. On fait cela en considérant l'équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse 0, qui est donnée par l'équation y = nx + 1. Comme la fonction est convexe, elle est au-dessus de cette tangente, ce qui implique que 1 + x^n est plus grand que 1 + nx. Ainsi, on obtient finalement que 1 + x^n ≥ 1 + nx pour x > -1.

Moyennes arithmétique et géométrique

Dans cet exercice, on étudie l'inégalité entre la moyenne arithmétique, géométrique et harmonique de deux réels positifs x et y. On veut montrer que m < g < h où m est la moyenne arithmétique, g est la moyenne géométrique et h est la moyenne harmonique. On commence par montrer que m < y car x < y. Ensuite, on montre que g < m en utilisant une identité remarquable. On écrit m - g = x + y / 2 - sqrt(xy) = (sqrt(x) - sqrt(y))^2 / 2. Comme (sqrt(x) - sqrt(y))^2 est positif, on conclut que m - g > 0 et donc m > g. Ensuite, on montre que x < g en utilisant le fait que la racine est croissante. Comme x < y, on a sqrt(x) < sqrt(y), ce qui implique x < sqrt(x)*sqrt(y) = sqrt(xy) = g. Finalement, on veut montrer que h est entre x et g. On utilise les inverses des moyennes et on montre que 1/g < 1/h < 1/x. Donc en prenant les inverses, on a g < h < x. Ainsi, on a montré que x < h < g < m < y. On généralise ensuite cette inégalité pour n > 2 en utilisant la concavité de la fonction logarithme. On écrit la moyenne arithmétique comme une somme et la moyenne géométrique comme un produit. On utilise ensuite l'inégalité de concavité du logarithme pour montrer que la somme des logarithmes des xi/n est plus petit qe le logarithme du produit des xi élevés à la puissance 1/n. En utilisant l'équivalence entre le logarithme et l'ordre croissant, on conclut que la moyenne arithmétique est plus petite que la moyenne géométrique.

Points d’inflexion

Dans cet exercice, nous étudions une fonction pour déterminer ses points d'inflexion. Un point d'inflexion est un point où la dérivée seconde d'une fonction change de signe. Pour cela, nous calculons d'abord la dérivée seconde de la fonction. En factorisant cette dérivée seconde, nous pouvons étudier le signe des différents facteurs pour déterminer les points d'inflexion. La dérivée seconde de la fonction est moins cos(3x) fois cos(x) moins cos(2x). Pour étudier le signe de cette expression, nous utilisons quelques formules trigonométriques pour factoriser. Nous factorisons la dérivée seconde par moins cos(2x), ce qui nous donne moins cos(2x) fois (2cos(2x) plus 1). En étudiant le signe de moins cos(2x), nous voyons que cos(2x) est négatif lorsque 2x est entre pi/2 et 3pi/2. Cela signifie que x est entre pi/4 et 3pi/4. En étudiant le signe de 2cos(2x) plus 1, nous trouvons que cela est positif lorsque cos(2x) est supérieur ou égal à -1.5. Cela correspond à x étant entre 0 et 2pi/3, ou entre 7pi/3 et 2pi. En regroupant toutes ces informations, nous pouvons construire un tableau de signes pour la dérivée seconde. Finalement, les seuls changements de signe de la dérivée seconde se produisent lorsque x est égal à pi/4 + (pi/2)k ou à 2pi/3 + (2pi)k, où k est un entier relatif (z). Ainsi, l'ensemble des points d'inflexion de la fonction est donné par les abscisses pi/4 + (pi/2)k et les ordonnées f(pi/4 + (pi/2)k), pour k appartenant à z, ainsi que les abscisses 2pi/3 + (2pi)k et les ordonnées f(2pi/3 + (2pi)k), pour k appartenant à z.

Majoration de f ’ grâce à f ”

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Inégalité de Hölder et Minkowski

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