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Groupe Symétrique

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet des matrices et des anneaux. Il commence par rappeler ce qu'est un anneau, qui est un ensemble muni de deux lois de composition interne (l'addition et la multiplication) satisfaisant certaines propriétés. Il explique ensuite ce qu'est un sous-anneau, qui est un sous-ensemble d'un anneau plus grand ayant les mêmes lois de composition interne. Corentin montre alors que l'ensemble A, qui est l'ensemble des matrices dont les coefficients sont des entiers naturels, est un sous-anneau de l'ensemble M2(R) des matrices 2x2 à coefficients réels. Il prouve cela en montrant que l'addition et la multiplication de matrices dans A restent dans A. Il termine en vérifiant que la matrice identité appartient également à A. Ensuite, Corentin aborde la question des éléments inversibles de A. Une matrice M est dite inversible si elle possède une matrice inverse M' telle que le produit de M par M' soit égal à la matrice identité. Il montre que les matrices inversibles de A sont celles pour lesquelles la matrice M est égale à 1 ou à -1. Il explique cela en utilisant l'identification des coefficients des matrices et en effectuant des calculs matriciels. En conclusion, Corentin démontre que l'ensemble A est un sous-anneau de l'ensemble M2(R) et détermine les éléments inversibles de A.

Etude de permutations

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet de l'arithmétique et de la structure algébrique. Il commence par définir l'ensemble A, qui est l'ensemble des rationnels ayant un dénominateur impair. L'objectif est de démontrer que A, muni de l'addition et de la multiplication usuelles, forme un anneau. Pour montrer cela, Corentin montre que A est un sous-anneau de l'ensemble des rationnels (Q). Il le fait en montrant que pour tout X et Y appartenant à A, la différence (X - Y) et le produit (X * Y) appartiennent également à A. Pour cela, il utilise le fait que le dénominateur des fractions obtenues reste impair. Corentin montre également que l'élément neutre (1) appartient à A, car il est égal à 1/1, où le dénominateur est impair. Ensuite, Corentin cherche à déterminer les éléments inversibles de A. Soit X appartenant à A, il cherche un élément Y qui serait son inverse. Il montre que Y serait égal à 1/X. Cependant, la difficulté réside dans le fait de déterminer si cet inverse Y appartient toujours à A, qui n'est pas un ensemble aussi simple que les ensembles R et Q. En menant des calculs, Corentin trouve que pour que Y appartienne à A, il faut que X soit un nombre impair. En résumé, les éléments inversibles de A sont de la forme M/N, où M est un nombre impair, N est un nombre entier non nul, et les deux M et N sont impairs.

Anneaux, éléments nilpotents

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet des morphismes d'anneaux et explique comment démontrer que si X appartient à K privé de 0, alors F(X) est inversible, et comment déterminer son inverse. Il souhaite également montrer que tout morphisme de corps est toujours injectif. Un morphisme d'anneaux est défini comme une application qui vérifie certaines propriétés, telles que F(X+Y) = F(X) + F(Y) et F(X*Y) = F(X) * F(Y). Ensuite, en se basant sur le fait que K est un corps, Corentin montre que X est inversible car il existe X-1 tel que X*X-1 = 1 sur K. En composant les deux côtés par F, il sépare X et -1 en utilisant les propriétés du morphisme d'anneaux, et conclut que F(X) est inversible avec pour inverse F(X-1). Dans la deuxième partie, Corentin rappelle une propriété importante : pour qu'un morphisme de corps soit injectif, son noyau doit être réduit à 0. Il suppose donc que F(X) = 0 et montre que cela signifie que X est égal à 0K, ce qui prouve que F est injectif. En résumé, Corentin explique comment démontrer que F(X) est inversible et comment trouver son inverse lorsqu'on a un morphisme d'anneaux allant de K dans L. Il montre également que tout morphisme de corps est injectif en utilisant une propriété sur le noyau.

Exemple d’anneau

Aujourd'hui, nous avons un exercice sur la démonstration que Q (les nombres rationnels) n'admet pas d'autres sous-corps que lui-même. Pour prouver cela, nous utilisons une double inclusion. Tout d'abord, nous montrons que Q est inclus dans tout sous-corps K de Q. Puisque K est un sous-corps de Q, nous savons que 0 et 1 appartiennent à K, et K est stable par addition et multiplication. Donc, pour tout entier naturel n, n appartient à K, et l'ensemble des entiers relatifs est également inclus dans K. Ensuite, nous considérons X appartenant à Q privé de 0. Nous montrons que X peut s'écrire comme P/Q, avec P et Q appartenant à K. Puisque K est un corps, 1/Q appartient également à K. Par conséquent, P * (1/Q) appartient à K, ce qui signifie que X appartient à K. De plus, nous savons que 0 appartient à K. Ainsi, nous avons montré que Q est inclus dans K et vice versa. Par conséquent, il n'existe pas d'autres sous-corps que Q pour Q lui-même. Merci à tous.

Anneaux d’entiers

Le sujet de cette vidéo est la démonstration que l'ensemble Z racine de 2, muni des opérations d'addition et de multiplication, est un anneau. Pour cela, l'orateur rappelle la définition d'un sous-anneau et montre que Z racine de 2 en est bien un. Ensuite, il introduit une fonction, n, associée à la transformation d'un élément de Z racine de 2 en une expression algébrique, et démontre que cette fonction est multiplicative. En utilisant cette propriété, il parvient à trouver les éléments inversibles de Z racine de 2, à savoir ceux qui s'écrivent A plus B racine de 2 avec A carré moins 2B carré égal à plus ou moins 1. En conclusion, l'orateur souligne l'importance de la méthode d'analyse synthèse dans la recherche des inversibles et rappelle l'efficacité de cette approche pour réussir un concours.

Groupe avec des fonctions

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet des structures algébriques et propose un exercice pour vérifier si une loi donnée est un groupe et s'il est commutatif. Il précise également comment simplifier l'expression "xy puissance n" pour x et y dans un ensemble donné et n dans "n étoile". Dans la première partie de la vidéo, Corentin explique les caractéristiques d'un groupe, à savoir qu'il est composé d'un ensemble "G" avec une loi interne "*", qui est associative, possède un élément neutre "e" unique pour tout élément de "G" et que tout élément a un inverse. Il démontre ensuite que la loi "étoile" est interne en montrant que pour deux couples xy et x'y' dans R étoile croyeur, xy étoile x'y' appartient également à R étoile croyeur. Ensuite, Corentin démontre que la loi est associative en montrant que peu importe comment on associe trois couples xy, x'y' et x''y'' dans R étoile croyeur, on obtient toujours le même résultat. Il poursuit en cherchant l'élément neutre de la loi, en posant un système d'équations et en trouvant que l'élément neutre est (1,0). Ensuite, Corentin cherche l'inverse d'un couple xy en posant à nouveau un système d'équations et en trouvant que l'inverse de xy est (1/x,-y/x). Il aborde ensuite la question de la commutativité de la loi, montrant qu'en inversant l'ordre de deux couples x,y et y,x, on n'obtient pas le même résultat, ce qui prouve que la loi n'est pas commutative. Enfin, Corentin aborde la question de la simplification de l'expression "xy puissance n", en montrant par des calculs que pour n=2 et n=3, on obtient une formule récurrente. Il propose ensuite de démontrer formellement par récurrence que pour tout n appartenant à "n étoile", le couple xy à la puissance n est égal à "x puissance n, x puissance (n-1)y + xy + y". Corentin conclut en invitant les spectateurs à réaliser cette démonstration par récurrence.

Lois usuelles

Dans cette vidéo, Quentin aborde des questions basiques sur un ensemble R privé de 1, et une loi appelée étoile. Il commence par analyser si cette loi est associative et commutative. En effectuant les calculs nécessaires, il prouve que la loi étoile est à la fois associative et commutative. Ensuite, il se demande si cette loi admet un élément neutre. En étudiant l'équation x étoile E = x, il simplifie les calculs et conclut que l'élément neutre pour la loi étoile est égal à 0. La troisième question porte sur l'existence d'un inverse pour un réel x par rapport à cette loi. En résolvant l'équation x étoile A = 0, il trouve que l'inverse de x existe si x est différent de 1, et cet inverse est égal à x divisé par x moins 1. Enfin, il aborde la question de la puissance n-ième avec cette loi étoile. Il calcule les premières puissances pour comprendre la formule explicite. En observant les résultats obtenus, il trouve la formule de récurrence : x puissance n est égal à 1-1-x puissance n. Cependant, il insiste sur le fait que cette puissance n'est pas la même que celle utilisée au collège. En conclusion, Quentin a démontré que la loi étoile est associative, commutative et admet un élément neutre. De plus, pour un réel x, il existe un inverse si x est différent de 1, et il a également trouvé une formule explicite pour la puissance n-ième avec cette loi étoile.

Neutre et inverse

Dans cette vidéo, Corentin explique ce qu'est un groupe dans le contexte d'un ensemble E muni d'une loi interne associative et ayant un élément neutre à gauche. Il explique que pour prouver que E est un groupe, il faut également montrer que cet élément neutre à gauche est aussi un élément neutre à droite et que chaque élément possède un inverse à gauche et à droite. Il commence par montrer que l'associativité et l'internalité de la loi étoile sont données dans l'énoncé. Ensuite, il utilise des inverses à gauche respectifs pour montrer que si yx est égal à E, alors xy est aussi égal à E. Ensuite, il démontre que l'élément neutre à gauche est unique en supposant l'existence d'un autre élément neutre à gauche F, mais montre ensuite que F est égal à E. Enfin, il démontre que l'élément neutre à gauche est aussi un élément neutre à droite en utilisant l'associativité et le fait que l'inverse à gauche est aussi l'inverse à droite. Il conclut en réaffirmant que toutes les hypothèses sont réunies pour montrer que E est bien un groupe.

Inverse

Bonjour à tous, aujourd'hui nous allons étudier une loi étoile sur l'ensemble J et déterminer si celui-ci est abélien. Pour commencer, la loi étoile associe à deux éléments x et y dans l'intervalle (-1,1), l'expression x + y / (1 + xy). Nous devons d'abord montrer que cette loi est interne, c'est-à-dire que x étoile y est un élément de J. Pour cela, nous pouvons utiliser une fonction f qui associe chaque y à x + y / (1 + xy) et montrer que f(x) est bien dans J. En analysant cette fonction, nous constatons qu'elle est dérivable sur (-1,1) et que sa dérivée est strictement positive. Par conséquent, f est strictement croissante sur (-1,1). De plus, nous pouvons déterminer les valeurs limites de f en utilisant la fonction f de -1 qui est égale à -1 et f de 1 qui est égale à 1. Ainsi, nous prouvons que x étoile y est bien dans J, ce qui démontre que la loi étoile est interne. Ensuite, nous devons montrer que la loi étoile est associative. Pour cela, nous devons prouver que (x étoile y) étoile z est égal à x étoile (y étoile z). Cependant, cette démonstration nécessite de nombreux calculs fastidieux et je vous invite à les faire vous-même. Mais sachez que le résultat est bien la même chose pour les deux expressions, ce qui prouve l'associativité de la loi étoile. Ensuite, nous devons trouver un élément neutre dans J. En vérifiant pour les valeurs communes de 0 et 1, nous constatons que x étoile 0 est égal à 0 étoile x, qui est égal à x. Ainsi, l'élément neutre dans J est 0. Ensuite, nous devons montrer que tout élément de J a un inverse. En testant avec des formes simples telles que -x et 1/x, nous constatons que -x étoile x est égal à 0, qui est l'élément neutre. Par conséquent, tout élément de J a un inverse qui est son opposé. Enfin, nous devons déterminer si la loi étoile est commutative, c'est-à-dire si x étoile y est égal à y étoile x. En remplaçant dans l'expression de la loi étoile, nous constatons que cela est vrai. Par conséquent, la loi étoile est commutative, ce qui signifie que J est un groupe abélien par rapport à cette opération. Pour la deuxième question, nous avons une nouvelle loi étoile sur l'ensemble G, qui est cette fois R². Nous devons vérifier si cette loi est interne, associative, admet un élément neutre, tout élément de G a un inverse, et si la loi est commutative. En effectuant les vérifications nécessaires, nous constatons que cette fois-ci, la loi étoile n'est pas commutative, ce qui signifie que G n'est pas un groupe abélien. Voilà, nous avons résumé le cours.

elements réguliers

Dans ce cours, nous nous intéressons à un groupe fini G avec un élément neutre E. On suppose que le cardinal de G est pair et nous devons démontrer qu'il existe un X appartenant à G, distinct de l'élément neutre, tel que X soit égal à son inverse. Pour résoudre ce problème, nous commençons par créer des sous-ensembles de G en utilisant l'hypothèse sur le cardinal de G. Nous posons f(X), qui est l'ensemble des éléments de G qui sont égaux à leur inverse. Ensuite, nous remarquons que pour deux éléments distincts X et Y, les ensembles f(X) et f(Y) sont soit distincts, soit confondus en tant qu'ensembles. Plus précisément, soit f(X) = f(Y), soit l'intersection de f(X) et f(Y) est l'ensemble vide, pour tout X et Y dans G. Nous expliquons ensuite que si Y est différent de X-1 (l'inverse de X), alors Y-1 est différent de X-1. Donc, f(Y) ∩ f(X) est l'ensemble vide. Grâce à cela, nous concluons que G peut s'écrire comme une réunion disjointe de tous les f(X) différents. Autrement dit, G est l'union de tous les éléments de G qui ne sont pas dans f(X). Cependant, nous savons qu'au moins l'un de ces ensembles f(X) a un cardinal de 1. Il s'agit de f(E), car E-1 est égal à E lui-même. Si tous les autres ensembles avaient un cardinal de 2, le groupe aurait un cardinal impair, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse que le cardinal de G est pair. Par conséquent, il existe un X différent de E tel que le cardinal de f(X) soit égal à 1, ce qui signifie que X est égal à son inverse, comme demandé dans le problème.

Sous-groupes

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice qui mélange algèbre générale et algèbre linéaire. Il commence par expliquer que l'ensemble GLN2R représente les matrices inversibles à coefficients réels. L'exercice consiste à déterminer si certaines parties de cet ensemble sont des sous-groupes de GLN2R. Pour la première question, il est demandé de vérifier si l'ensemble H1-12, constitué des matrices 2x2 diagonales avec des coefficients diagonaux non nuls, est un sous-groupe de GLN2R. Corentin explique que H1-12 remplit les critères pour être un sous-groupe car il contient l'élément neutre (la matrice identité) et que le produit de deux matrices diagonales inversibles donne une autre matrice diagonale inversible. Pour la seconde question, il est demandé de déterminer si l'ensemble H1-13, composé des matrices 2x2 avec une permutation des coefficients A et B en bas, est un sous-groupe de GLN2R. Corentin montre que H1-13 est également un sous-groupe car il respecte les critères de contenant l'élément neutre et de stabilité par le produit et par l'inverse. Enfin, pour la troisième question, Corentin constate que la matrice identité I2 n'appartient pas à l'ensemble H1-I3, ce qui signifie que H1-I3 n'est même pas un sous-groupe de GLN2R. En résumé, dans cette vidéo, Corentin analyse la nature de différentes parties de l'ensemble GLN2R pour déterminer si elles sont des sous-groupes en utilisant des concepts d'algèbre générale et d'algèbre linéaire.