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Résolution d'inéquations

Dans cette vidéo, nous apprenons à résoudre des inéquations trigonométriques simples. Nous avons besoin de connaître le résultat précédent sur la résolution d'équations trigonométriques. Pour résoudre ces inéquations, nous devons déterminer quand cos(x) est plus petit ou plus grand que cos(a), et de la même manière pour sin(x) et sin(a). Pour comprendre cela, nous nous concentrons sur le cercle trigonométrique. Les points d et e correspondent à une abscisse de cos(1). Les points dont l'abscisse est plus grande se trouvent entre d et e et sont représentés en vert. Pour les inéquations où cos(x) est plus grand que cos(a), la réponse est l'ensemble des points dont l'angle est compris entre -a et a+2π. Les points dont l'abscisse est plus petite que celle de d et e sont représentés en bleu. Pour les inéquations où cos(x) est plus petit que cos(a), la réponse est l'ensemble des points dont l'angle est compris entre a et 2π-a. Le raisonnement est similaire pour les inéquations avec le sinus. Il suffit de regarder les points au-dessus ou en dessous des points e et f pour résoudre les inéquations correspondantes. La réponse associée à ces inéquations est également fournie dans le cours. Il est important de noter que certaines variations dans la manière de colorier les points peuvent exister selon les professeurs, mais il faut s'assurer de bien suivre la norme de son professeur pour éviter de perdre des points. C'est tout ce qu'il y a à dire sur les inéquations trigonométriques. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser dans la FAQ ou dans les commentaires.
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Étudier une fonction trigo

Lorsque l'on étudie les fonctions trigonométriques, il est important d'avoir quelques réflexes. L'étude des fonctions trigonométriques suit généralement les étapes suivantes : le domaine de définition, la parité, les variations avec la dérivée, et enfin le dessin. La parité d'une fonction permet de déterminer si elle est paire (symétrique par rapport à l'axe OY) ou impaire (symétrique par rapport au point 0) en vérifiant si f(-x) = f(x) pour tout x. Si l'on trouve une parité, cela permet de limiter l'étude à une partie de l'ensemble des réels. De plus, pour les fonctions trigonométriques, il est également important de prendre en compte leur périodicité. Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques, ce qui signifie qu'elles peuvent être réduites à un motif de base qui se répète. Par exemple, en partant du point 0 et en allant jusqu'à 2pi, on obtient un motif qui répété plusieurs fois donne la fonction sinus. En identifiant la parité et la périodicité d'une fonction trigonométrique, on peut réduire l'étude et ainsi simplifier l'analyse. Cependant, il est important de souligner que la recherche de la périodicité peut être une tâche supplémentaire et nécessite une attention particulière. En résumé, il est conseillé de vérifier la parité et de prendre en compte la périodicité lors de l'étude des fonctions trigonométriques, car cela permet de simplifier l'analyse et de réduire la charge mentale. Il est également important d'avoir une structure d'étude en tête pour comprendre les différentes étapes d'un exercice et se sentir plus en confiance.
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Dérivation Composition

Bonjour à tous ! Aujourd'hui, nous allons corriger un exercice de dérivation portant sur des fonctions trigonométriques. Nous avons deux questions indépendantes, avec deux fonctions f utilisant des fonctions trigonométriques. Pour la première question, la fonction f(x) est définie comme sin(x) + cos(x) / (1 + cos(x)). Nous avons ici un quotient de fonctions. Avant de calculer la dérivée, il est important de vérifier le domaine de dérivabilité en résolvant l'équation 1 + cos(x) = 0. Nous savons que cos(x) est égal à -1 en pi et à des multiples de 2pi. Dans notre cas, nous étudions la fonction sur l'intervalle ouvert de 0 à pi, donc nous n'avons pas de problème d'annulation du dénominateur. La fonction est dérivable sur cet intervalle. Nous pouvons appliquer la formule de dérivation d'un quotient, qui est u'v - uv' / v^2. Ici, u(x) = sin(x) + cos(x) et v(x) = 1 + cos(x). Calculons les dérivées de u et v : u'(x) = cos(x) - sin(x) et v'(x) = -sin(x). En substituant dans la formule, nous obtenons f'(x) = (cos(x) - sin(x)) * (1 + cos(x)) - (sin(x)) * (sin(x) + cos(x)) / (1 + cos(x))^2. Après développement, nous obtenons f'(x) = 1 + cos(x) - sin(x) / (1 + cos(x))^2. C'est notre première dérivée. Maintenant, passons à la deuxième question qui concerne le produit de deux fonctions trigonométriques. Ici, pas de problème, la fonction est dérivable sur R car elle est composée de deux fonctions dérivables sur R. Nous avons un produit de la forme u(x) * v(x), avec u(x) = cos(2x) - 1 et v(x) = sin(5x) + 3. Appliquons la formule de dérivation d'un produit, qui est u'v + uv'. Calculons les dérivées de u et v : u'(x) = -2sin(2x) et v'(x) = 5cos(5x). En substituant dans la formule, nous obtenons f'(x) = -2sin(2x) * (sin(5x) + 3) + (cos(2x) - 1) * 5cos(5x). Après simplification, nous n'avons pas grand chose à faire de plus. Toutefois, il aurait été intéressant de vérifier si cela correspondait à une formule de trigonométrie connue, comme sin(A+B) ou cos(A+B), mais cela n'est pas possible ici avec les coefficients -2 et 5. Voilà pour les calculs de dérivées. N'hésitez pas à vous exercer sur des exercices similaires pour vous assurer que vous maîtrisez bien vos formules de dérivation. Vous pouvez également consulter nos flashcards pour vérifier vos connaissances. Bonne chance pour vos exercices !
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(in)équation trigo

Dans ce cours, nous apprenons à résoudre une équation trigonométrique. Il est important de se rappeler qu'il existe souvent deux solutions pour une équation trigonométrique, car il y a deux valeurs de θ qui ont le même sinus et deux valeurs de θ qui ont le même cosinus. Dans la première partie de la vidéo, l'équation à résoudre est sin(2x + π/4) = √3/2. On utilise les valeurs remarquables des fonctions trigonométriques pour résoudre l'équation. On obtient deux équations différentes : 2x + π/4 = π/3 + 2kπ et 2x + π/4 = π - π/3 + 2kπ. On résout ensuite ces équations pour obtenir les valeurs de x. Ensuite, on vérifie quelles valeurs de x sont dans l'intervalle spécifié, soit -π à π. On obtient finalement quatre solutions : x = -23π/24, -19π/24, π/24, 5π/24. Dans la deuxième partie de la vidéo, on résout une inéquation trigonométrique. L'équation donnée est cos(4x - π/3) < 1.5. On utilise à nouveau les valeurs remarquables des fonctions trigonométriques pour résoudre l'inéquation. On obtient l'inéquation : 4x - π/3 ∈ ]π/3 + 2kπ, 5π/3 + 2kπ[. On résout ensuite cette inéquation pour obtenir les valeurs de x. Enfin, on vérifie quelles valeurs de x sont dans l'intervalle spécifié, soit 0 à 2π. On obtient la solution suivante : x ∈ ]π/6 + kπ/2, π/2 + kπ/2[ ∪ ]2π/3 + kπ/2, 3π/2 + kπ/2[ ∪ ]5π/3 + kπ/2, 2π + kπ/2[. Ces solutions sont récapitulées dans des intervalles et représentent la réponse à l'équation ou à l'inéquation trigonométrique.
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Parité d'une fonction trigo

Dans cette vidéo, nous étudions la parité et la périodicité d'une fonction trigonométrique. Pour la périodicité, il faut deviner la période et démontrer qu'elle est correcte. Pour la parité, on teste f(-x) et on observe si cela correspond à f(x) ou à -f(x). Dans l'exemple donné avec la fonction f(x) = 7sin(x/2), on sait que sin(x) est périodique de période 2π. En multipliant le x par k à l'intérieur du sinus, la période devient 2π/k et si on divise par k, la période devient 2πk. Comme k est égal à 2 dans cet exemple, nous savons déjà que la période sera de 4π. En représentant graphiquement la fonction sinus et la fonction sinus de 2x, on voit que l'augmentation de k diminue la période tandis que la diminution de k l'augmente jusqu'à ce que k tende vers 0. Pour montrer que f est périodique de 4π, nous effectuons le calcul f(x+4π) qui donne sin(x+4π/2) = sin(x/2) + 4π/2, qui est équivalent à f(x). Ainsi, nous avons démontré que f est périodique de 4π. Ensuite, pour montrer la parité de f, nous devons vérifier que son ensemble de définition est centré sur 0. Dans notre cas, ce n'est pas un problème car f est définie sur R, centré sur 0. En effectuant f(-x), on obtient 7sin(-x/2) = -f(x), ce qui démontre que f est impaire. Il est important de vérifier que l'ensemble de définition est centré sur 0, comme dans l'exemple de la fonction g définie sur R privé de 1, qui n'est pas impaire car son ensemble de définition n'est pas centré sur 0. En résumé, pour la périodicité, il faut deviner la période et la démontrer, tandis que pour la parité, il suffit de faire le test et conclure si la fonction est impaire ou paire.
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Valeurs de cos et sin

Dans cet exercice, nous devons trouver le sinus de π/8 à partir du cosinus de π/8. Nous utilisons la formule cos² + sin² = 1 pour trouver que sin² = 1 - cos². En simplifiant, nous avons sin² = 2 - √2 / 2. Nous notons que sin π/8 est positif car π/8 se trouve dans le premier cadran (entre 0 et π/2). Donc, nous prenons la racine carrée de 2 - √2 / 2 et obtenons sin π/8. Il est important de noter que lorsque nous avons une équation du type x² = A, nous avons deux solutions possibles: x = √A ou x = -√A. Dans cet exercice, nous savons que sin π/8 est positif, donc nous utilisons la solution √(2 - √2 / 2). Cela résume comment calculer les valeurs exactes des sinus ou cosinus d'angles remarquables.
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Inéquation de degré 3

Ce cours porte sur la résolution d'une inéquation trigonométrique de degré 3. L'astuce pour résoudre ce type d'exercice est de poser le changement de variable x = cos(x) ou sin(x). On nous donne une équation trigonométrique avec cos(3x) et cos(2x) et on nous demande de résoudre l'équation f(2x) = 2x^3 - 3x^2 + 1 lorsque f(1) = 0. La méthode consiste à identifier les valeurs de a, b et c pour réécrire f(2x) sous la forme ax^2 + bx + c. En utilisant la factorisation par la racine, on trouve que f(2x) = (x - 1)(2x^2 - x - 1). Ensuite, on étudie le signe de f en utilisant un tableau de signes. Enfin, on résout l'inéquation cos(3x) - 3cos^2(x) + 1 > 0 dans l'intervalle [0, 2pi] en utilisant le changement de variable grand x = cos(x) et en utilisant le cercle trigonométrique pour trouver les solutions. Il faut faire attention à bien raisonner rigoureusement et à ne pas oublier des solutions lors du calcul.
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Introduction Primitives

Dans ce cours, nous abordons la notion de dérivé et la notion de dérivation. La dérivé nous donne accès à la pente des tangentes d'une courbe, ce qui nous permet de savoir si la courbe monte ou descend. Cependant, le but final de la dérivation est de déterminer quand une fonction est croissante, décroissante, ou quand elle atteint un maximum ou un minimum. Dans ce cours, nous allons inverser cette notion en nous demandant s'il existe une fonction dont la dérivée est égale à une autre fonction donnée. Cela s'appelle la primitivé. Nous avons déjà appris plusieurs formules de dérivation en première année, et maintenant nous allons les utiliser dans l'autre sens pour trouver les primitives des fonctions. Il est important de noter que les constantes peuvent varier dans le processus de primitivation. Par exemple, si la dérivée d'une fonction est 2x, la primitive de cette fonction serait x^2, mais avec une constante de 2. La primitivé a de nombreuses applications, notamment en physique, en chimie et en économie. En physique, nous pouvons utiliser la primitivé pour trouver la vitesse et la position d'un objet en fonction des forces qui s'appliquent sur lui. En chimie, nous pouvons étudier la vitesse de réaction de différentes substances. En économie, nous pouvons utiliser la primitivé pour optimiser les décisions d'investissement. Dans ce chapitre sur les primitives, nous allons étudier la définition des primitives, leur existence, l'ensemble de leurs définitions, les conditions initiales et les primitives de fonctions composées. Nous allons également apprendre différentes méthodes pour déterminer les primitives, telles que transformer l'écriture d'une fonction pour obtenir les bonnes primitives. En résumé, les primitives sont l'inverse de la dérivée et nous permettent de déterminer une fonction à partir de sa dérivée. Elles ont de nombreuses applications en sciences et en économie. Il est important d'apprendre les différentes formules de dérivation et de s'habituer à utiliser ces formules pour trouver les primitives des fonctions.
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Primitive : Définition

Une primitive d'une fonction f est une fonction qui satisfait l'équation différentielle y' = f. Il s'agit d'une équation où l'inconnue est une fonction. Par exemple, la fonction exponentielle satisfait cette équation différentielle y' = y. Le tableau de primitives est un outil classique qui permet de trouver les primitives de certaines fonctions. Il est important de noter que lorsqu'on décrit l'ensemble des primitives possibles, il faut toujours tenir compte d'une constante (notée k). Certaines fonctions partagent les mêmes dérivées, ce qui signifie qu'elles ont les mêmes primitives. Par exemple, les fonctions 3x + 2 et 3x + 4 ont la même dérivée. Il est donc important de ne pas oublier cette constante lorsqu'on décrit l'ensemble des primitives. L'exemple illustré montre la fonction f(x) = x² et une de ses primitives F(x) = x³/3. Il y a en réalité une infinité de fonctions primitives qui ressemblent à celle-ci, mais qui sont translatées vers le haut ou vers le bas. Enfin, le cours se termine en présentant les formules de primitives à connaître par cœur, notamment celle pour x^n, 1/x^n et la formule du logarithme. Il est recommandé de bien les revoir pour pratique. N'hésitez pas à poser des questions si vous avez des doutes ou consultez la FAQ. À la prochaine !
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Existence et Calcul des Primitives

Dans ce cours, nous abordons quelques théorèmes importants sur l'existence des primitives. Tout d'abord, le premier théorème stipule que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. Par exemple, si nous prenons la fonction x², nous pouvons trouver plusieurs types de primitives tels que 3x+2, 3x+5, 3x-pi, etc. Une fois que nous avons trouvé une primitive, nous pouvons en trouver une infinité. Cependant, il est important de noter que l'ensemble de toutes les primitives peut contenir d'autres fonctions que nous n'avons peut-être pas envisagées, mais dans cet exemple, nous avons montré qu'il y en a plus d'une. Le deuxième théorème affirme que pour toute valeur y0 donnée, il existe une unique primitive qui passe exactement par ce point. Par conséquent, si nous fixons un point sur l'axe des ordonnées, il n'y a qu'une seule primitive qui passe par ce point. Par exemple, si nous fixons le point (0,5), il n'y a qu'une seule primitive qui vaudra F(0)=5. Il en va de même pour d'autres points donnés. Il est important de démontrer ces théorèmes, car ils établissent une équivalence entre être une primitive et être de la forme F(x)+k. La démonstration consiste à utiliser une preuve par double implication, où l'on montre que les ensembles des primitives et des fonctions de la forme F(x)+k sont équivalents. En outre, il existe un autre théorème important qui donne les règles de primitives pour des fonctions du type U'+V'. Par exemple, la primitive de U'+V' est U+V, et la primitive de λU' est λU, où λ est une constante. Il est important de mémoriser ces règles, tout comme on mémorise les règles de dérivation. En conclusion, ces théorèmes sont essentiels pour comprendre l'existence des primitives et leurs propriétés. Il est important de les connaître et de comprendre comment les démontrer.
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Primitives : condition initiale

Cet exercice porte sur la vérification des primitives d'une fonction présentée, ainsi que la détermination de l'ensemble des primitives et d'une condition initiale. La fonction f est donnée par f(x) = 3x² + 1/x. La première question consiste à vérifier si la fonction F, proposée comme x³ + ln(x), est une primitive de f. Pour cela, il suffit de dériver F et de voir si on obtient f. En dérivant, on obtient bien f(x). Donc F est une primitive de f. Cependant, il faut noter qu'il existe une infinité de primitives, définies à une constante additive près. Dans la deuxième question, on cherche à déterminer l'ensemble des primitives de F et à trouver celle qui prend la valeur 0 en E. Les primitives de F sont de la forme F(x) = x³ + ln(x) + K, où K est une constante réelle. Pour trouver la primitive qui s'annule en E, on utilise la condition initiale F(E) = 0. En substituant E dans F, on obtient l'équation K = -1 - E³. Ainsi, la primitive de F qui s'annule en E est F(x) = x³ + ln(x) - 1 - E³. Cet exercice introduit les méthodes sur les primitives, qui sont utiles pour la résolution des équations différentielles. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à consulter la FAQ.
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Transformer puis primitiver

Dans ce cours, nous allons voir comment trouver une primitive à partir d'une fonction pour laquelle il n'est pas évident de la trouver. La méthode consiste à identifier la fonction sous la forme d'un produit et à utiliser la décomposition en éléments simples pour les fonctions rationnelles. Dans le premier exemple, la fonction étudiée est f(x) = 3x² + 2x³ + 2x. Nous cherchons à l'exprimer sous la forme "u' fois u". En observant la fonction, nous remarquons que nous pouvons prendre u(x) = x³ + 2x. En dérivant u(x), nous obtenons u'(x) = 3x² + 2, ce qui correspond exactement à la partie "u'" que nous cherchions. Ainsi, la fonction peut s'écrire comme u'(x) * u(x), où u(x) au carré serait une primitive de f(x). En poursuivant, nous cherchons une primitive de f(x) qui prend la valeur 5 pour x = 1. Nous savons que les primitives sont de la forme f(x) + k, où k est une constante réelle. Nous imposons la condition que la primitive prenne la valeur 5 pour x = 1. Après calculs, nous trouvons que k = 1/2. Donc la fonction recherchée est 1/2 * x³ + 2x² + 1/2. Dans le deuxième exemple, nous étudions une nouvelle fonction g(x) qui est également un produit, mais cette fois au dénominateur. Nous utilisons la méthode de décomposition en éléments simples pour transformer la fonction en une somme. Après calculs, nous trouvons que g(x) peut s'écrire comme -1/x + 1/(x-1). Ensuite, nous cherchons la primitive de g(x). Nous calculons la primitive de chaque terme de la somme, ce qui nous donne -ln|x| + ln|x-1|. Cependant, il est important de noter que la primitive de 1/x est ln|x| pour x>0, et ln|x-1| pour x>1. Donc, pour éviter les valeurs absolues, nous pouvons écrire la primitive de g(x) comme ln(x) - ln(x-1) pour x>1. En conclusion, ces deux méthodes nous permettent de trouver des primitives en identifiant des produits et en utilisant la décomposition en éléments simples pour les fonctions rationnelles.