Cours de Calcul Intégral en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Calcul Intégral

Introduction

Dans cette vidéo d'introduction sur les intégrales, nous allons présenter les définitions et les propriétés de l'intégrale. Tout au long du chapitre, nous allons calculer des R sous des courbes. Dans ce sous-chapitre, nous posons les bases pour les fonctions continues et nous examinons les fonctions positives et négatives. Nous commençons par un exemple simple. Si nous avons une fonction constante avec une hauteur de 2 et une plage de 0 à 3, l'R sous la courbe est égal à 6, ce qui est représenté par un rectangle de largeur 3 et de hauteur 2. Nous pouvons faire la même chose avec une fonction affine de pente 1, qui est représentée par un triangle rectangle isocèle avec une base de 3 et une hauteur de 3. L'R est donc égal à 9 demi (9/2). Vous pourriez vous demander pourquoi consacrer un chapitre à cela. En réalité, nous aurons des fonctions plus complexes et nous utiliserons cette approximation simple du rectangle pour comprendre comment fonctionne l'R sous une fonction plus courbe et complexe. Ainsi, nous pourrons dire que cela équivaut à l'R d'une somme de rectangles, du moins approximativement. Les rectangles auront une largeur (delta x) et une hauteur (f de x) en fonction du point considéré. Pour être plus précis, ce symbole "S" stylisé représente une somme entre a et b. L'R est essentiellement égal à la somme des rectangles lorsque le nombre de rectangles devient infini, c'est-à-dire lorsque la somme atteint une R complète plutôt qu'une approximation. Nous utilisons également la notation "dx" pour représenter une largeur infiniment petite lorsque le nombre de rectangles devient très grand. Dans ce sous-chapitre, nous allons aborder les définitions de l'intégrale pour les fonctions continues positives et les fonctions de signes quelconques. Nous utiliserons des encadrements et des intuitions graphiques pour estimer les intégrales. Les méthodes abordées seront le calcul de l'R et l'estimation de l'intégrale à l'aide de rectangles. Bon courage pour ce chapitre, et je vous retrouve dans la prochaine vidéo. N'hésitez pas à poser vos questions dans la FAQ, et à bientôt !

Définition de l'intégrale

L'intégrale d'une fonction continue et positive sur un intervalle a, b correspond à l'aire sous la courbe de cette fonction entre les valeurs a et b, ainsi que l'axe horizontal. On peut également l'appeler le domaine sous la courbe ou l'aire sous la courbe. L'unité utilisée pour mesurer cette aire est l'unité d'air, qui est un petit carré de taille 1 sur 1 dans un repère orthonormé. On note l'intégrale comme une expression mystérieuse "intégrale entre a et b de f de x, dx". Cette définition peut être étendue aux fonctions négatives en calculant la surface correspondante et en lui attribuant un signe négatif. Dans certains cas, il peut y avoir des parties positives et des parties négatives de la fonction. Il est important de se rappeler que l'intégrale est positive lorsque la fonction est au-dessus de l'axe OX et négative lorsqu'elle est en dessous. N'hésitez pas à poser des questions supplémentaires dans la FAQ.

Encadrement et intuition graphique

Dans cette vidéo, nous abordons différentes méthodes d'approximation de l'aire sous une courbe. Nous commençons par expliquer que lorsque la courbe est une droite, le calcul de l'aire est assez simple, en utilisant des formes géométriques comme des triangles ou des rectangles. Cependant, lorsque la courbe est incurvée, il devient plus compliqué de calculer l'aire. Nous présentons donc les méthodes d'approximation suivantes : les rectangles supérieurs et inférieurs. Ces méthodes consistent à diviser l'intervalle en plusieurs petits intervalles de même amplitude, et à construire des rectangles inférieurs qui collent la courbe par en dessous, ainsi que des rectangles supérieurs qui collent la courbe par en dessus. Lorsque le nombre de rectangles tend vers l'infini et que leur taille diminue, les rectangles inférieurs et supérieurs convergent vers la vraie valeur de l'aire. En plus de ces méthodes, nous mentionnons brièvement d'autres méthodes qui ne sont pas au programme, mais qui illustrent différentes possibilités : la méthode du point milieu et la méthode des trapèzes. La méthode du point milieu consiste à tracer des rectangles qui sont traversés par la courbe au milieu de leur côté supérieur, offrant ainsi une meilleure précision. La méthode des trapèzes permet quant à elle d'utiliser des quadrilatères non-rectangulaires, offrant ainsi plus de liberté pour se rapprocher de la courbe. En conclusion, cette vidéo explicative présente les différentes méthodes d'approximation de l'aire sous une courbe, en mettant notamment l'accent sur les rectangles supérieurs et inférieurs.

Intégrale et Aire

Lors de ce cours, nous apprenons comment calculer une intégrale de manière géométrique sans utiliser la fonction. Cela est possible lorsque la forme géométrique est simple, comme dans notre exemple avec une fonction affine. Nous nous intéressons à l'intégrale de la fonction x plus 2 entre -0,5 et 2. Pour calculer cette intégrale, nous pouvons utiliser deux méthodes : calculer la primitive de x plus 2, ce qui est relativement simple, ou utiliser une forme géométrique connue pour calculer facilement l'erreur. Dans ce cas, la forme géométrique est un trapèze, ce qui facilite le calcul. Pour cela, nous avons besoin de la hauteur, de la largeur et de la longueur des bases du trapèze. Nous trouvons les coordonnées des points a, b, c et d en utilisant les équations de la droite. Les coordonnées de a sont (-0,5, 1,5) et les coordonnées de b sont (2, 4). Les points c et d étant sur l'axe des abscisses, leurs coordonnées sont (2, 0) et (-0,5, 0) respectivement. Nous calculons ensuite les différentes longueurs du trapèze en prenant la différence entre les ordonnées des deux points correspondants. Cela donne 1,5 pour la longueur a-d, 4 pour la longueur b-c et 2,5 pour la longueur d-c. En appliquant la formule de l'aire du trapèze, qui est la moyenne des deux bases multipliée par la hauteur, nous obtenons l'aire du trapèze. Dans notre cas, cela donne 1,5 * (1,5 + 4) * 2,5, soit 6,875. Cette méthode permet de calculer une intégrale en utilisant directement l'aire géométrique du trapèze, sans avoir besoin de calculer les primitives. Il suffit de trouver les coordonnées des points et de calculer les longueurs et l'aire du trapèze. Cela conclut notre méthode de calcul d'une intégrale à l'aide d'une forme géométrique.

Méthode des Rectangles

Dans ce cours, nous apprenons à calculer une aire géométrique à l'aide de la méthode des rectangles. La courbe intégrée n'a pas une forme géométrique simple, donc nous ne pouvons pas calculer l'aire de manière directe. Cependant, nous pouvons encadrer cette aire en utilisant des petits rectangles en dessous de la courbe et des grands rectangles au-dessus. En diminuant la largeur des rectangles, nous affinons notre encadrement et nous tendons vers l'aire recherchée, c'est-à-dire l'intégrale. Nous cherchons donc à encadrer l'aire sous la courbe de la fonction de 0 à 4. La fonction est croissante, donc nous encadrons l'aire en utilisant les rectangles a'0, a'1, a'2 et a'3. Les a'0, a'1, a'2 et a'3 se calculent en multipliant la largeur par la hauteur de chaque rectangle. Par exemple, a'1 est égal à 1 fois 1 (largeur fois hauteur), ce qui donne 1. En utilisant ces calculs, nous obtenons l'encadrement 1 plus racine de 2 plus racine de 3 pour l'aire sous la courbe, et 3 plus racine de 2 plus racine de 3 pour l'encadrement formé par les petits rectangles. Pour augmenter la précision de l'encadrement, nous pouvons utiliser des rectangles de largeur plus petite, comme 1,5, 1,25, etc. En faisant tendre la largeur vers zéro, nous obtenons des rectangles qui collent de plus en plus à la courbe et ainsi un encadrement plus précis. En résumé, la méthode des rectangles permet d'encadrer l'intégrale lorsque nous ne pouvons pas trouver une primitive de la fonction. Il est possible d'améliorer la précision de l'encadrement en utilisant des rectangles de plus en plus petits.