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Equation avec la trace

Dans cet exercice, nous examinons une matrice A de taille n x n dans Mn2R qui vérifie la trace de A x T2A égal à 0. Pour cela, nous utilisons la formule du produit de matrice qui donne les coefficients de la matrice A x B. En utilisant la formule de produit de matrice, nous pouvons calculer A x transposé de A en remplaçant Bkj par son équivalent avec la transposée de A. Ensuite, nous nous concentrons sur les coefficients diagonaux pour calculer la trace égale à zéro. La trace est la somme des coefficients diagonaux, donc nous sommes intéressés par la somme des Aik². En analysant cette somme, nous remarquons qu'elle correspond à la somme de tous les coefficients de la matrice A². Si cette somme est égale à zéro, cela signifie que tous les éléments de la matrice A doivent être nuls ou négatifs. Donc, la condition nécessaire et suffisante pour avoir la trace de A x T2A égal à 0 est que la matrice A soit nulle. En conclusion, la méthode utilisée dans cet exercice démontre que si la trace de A x T2A est nulle, la matrice A doit être nulle.
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Centre de Mn

Le cours porte sur la détermination du centre de la matrice Mn2R, qui est l'ensemble des matrices A dans Mn2R telles que A*M = M*A pour toutes les matrices M de Mn2R. Il est tout d'abord mentionné que la matrice identité IN appartient au centre, ainsi que lambda*IN. En d'autres termes, toutes les matrices diagonales avec des coefficients sur la diagonale égales à lambda font partie du centre. Ensuite, le cours explique qu'il faut trouver des conditions sur les coefficients de la matrice A pour qu'elle puisse commuter avec toutes les autres matrices de Mn2R. Pour cela, on peut choisir les matrices EIG de la base canonique de l'espace des matrices, où chaque matrice EIG a des zéros partout sauf un 1 croisant la ligne I et la colonne J. En multipliant A par EIG et en calculant A*M et M*A, on peut déterminer les conditions sur les coefficients de la matrice A. On obtient ainsi que les seules matrices qui commutent avec toutes les autres sont les lambda*IN, c'est-à-dire les matrices diagonales avec des coefficients sur la diagonale égales à lambda. En résumé, le centre de Mn2R est constitué uniquement des matrices diagonales avec des coefficients sur la diagonale égales à lambda.
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Puissance nième réccurence

Le cours porte sur le calcul de puissances de matrices et l'importance de trouver l'intuition rapidement. L'exemple donné est de calculer A puissance N et B puissance N. Il est recommandé de commencer par calculer les petites puissances pour avoir une idée du résultat. En utilisant la récurrence, on peut déduire que A puissance N est égal à 2 puissance N moins 1 fois A. Pour B, on fait également le même processus et on remarque que le coefficient est proche de 2 puissance N moins 1. On initie le calcul avec B puissance N plus 1 égal B puissance N fois B et cela fonctionne. Il est possible d'essayer différentes hypothèses jusqu'à ce que la récurrence fonctionne. En conclusion, il est important de trouver l'intuition rapidement et de faire des essais par à-coups pour résoudre des problèmes mathématiques.
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Puissance nième binome Newton

Ce cours traite de la matrice N, une matrice nilpotente qui finit par s'annuler quand on la monte en puissance. Cette matrice est très importante et intervient dans de nombreux exercices en mathématiques. En la montant en puissance, la diagonale de 1 se déplace jusqu'à disparaître complètement. Cette propriété est valable pour toute dimension de la matrice N. On peut utiliser cette matrice dans des calculs en utilisant le binôme de Newton, en sachant que les termes où B a une puissance supérieure à 3 sont nuls. On peut exprimer cette formule sous forme matricielle en remplaçant les puissances par des matrices N. En résumé, il est important de connaître cette matrice nilpotente dans le domaine des mathématiques.
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Puissance nième Polynome annulateur

Dans ce cours, on étudie la division euclidienne du polynôme x^n par le polynôme x^2 - 3x + 2. Pour calculer le polynôme reste R2x, on utilise les racines x=1 et x=2 du polynôme diviseur pour éliminer le terme Q2x dans l'équation. On obtient ainsi le polynôme reste R2x qui est de degré 1 et peut s'écrire sous la forme AX + B. En résolvant les équations, on trouve que B=2^n et A=2^n-1. Le polynôme reste R2x peut donc s'écrire comme 2^n-1 * (x-2) + 2^n. Ensuite, on applique cette structure polynomiale à une matrice A. En remarquant que A^2 - 3A + 2I = 0, on déduit que A^n = R2A. Ainsi, on peut calculer A^n en utilisant le polynôme reste R2A qui s'écrit comme 2^n-1 * (A-2I) + 2^n * I.
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Matrices nilpotentes

Dans cet exercice, nous étudions les propriétés des matrices nilpotentes. Une matrice nilpotente est une matrice pour laquelle il existe une puissance à partir de laquelle toutes les puissances de la matrice sont nulles. Par exemple, si a² est différent de zéro, a³ est différent de zéro, mais a⁴ est égal à zéro, alors toutes les puissances de a à partir de a⁴ seront également nulles. Nous devons démontrer que si deux matrices nilpotentes, a et b, commutent, alors a + b est également nilpotente. Nous traduisons cela en termes mathématiques en disant qu'il existe un entier p tel que a^p = 0 et un entier q tel que b^q = 0. De plus, nous avons a * b = b * a, car les matrices commutent. Notre objectif est de montrer que pour tout entier m, il existe un entier n tel que (a * b)^m = 0 et (a + b)^n = 0. Pour prouver cela, nous utilisons les propriétés des matrices commutantes. Par exemple, si les matrices commutent, alors (a * b)^m = a^m * b^m. Étant donné que a^p = 0 et b^q = 0, nous pouvons dire que (a * b)^p * q = a^p * b^q = 0. Donc, nous avons montré que le produit de deux matrices commutantes est également nilpotent. De même, nous utilisons la formule du binôme pour montrer que (a + b)^n = a^n + n * (a^(n-1)) * b + ... + b^n. En choisissant n = p + q (la somme des indices de nilpotence), nous pouvons séparer les termes en a et b. Comme a^p = 0 et b^q = 0, tous les termes contenant des puissances plus élevées de a et b seront également nuls. Ainsi, nous avons prouvé que la somme de deux matrices commutantes est également nilpotente. En conclusion, en utilisant les propriétés des matrices commutantes et la formule du binôme, nous avons démontré que si a et b sont deux matrices nilpotentes qui commutent, alors a + b est également nilpotente. Cette démonstration nécessite de comprendre la commutativité et d'appliquer les propriétés des matrices nilpotentes et des puissances de matrices.
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Base

Ce cours porte sur la discussion de différentes familles de vecteurs pour déterminer si elles peuvent être des bases de l'espace R3 (espace à trois dimensions). Le professeur examine plusieurs familles de vecteurs et utilise les concepts de liberté et de génération pour les évaluer. Une base est à la fois libre (aucune combinaison linéaire ne peut donner le vecteur nul, sauf si tous les coefficients sont nuls) et génératrice (tous les vecteurs de l'espace peuvent être obtenus par des combinaisons linéaires des vecteurs de la famille). Deux des familles sont rapidement éliminées car elles ne contiennent pas le bon nombre d'éléments pour former une base. Les deux familles restantes sont étudiées plus en détail. Le professeur utilise des tests de liberté (vérification qu'aucune combinaison linéaire ne donne le vecteur nul, sauf si les coefficients sont nuls) pour discuter de différents cas. Il fait des combinaisons linéaires des vecteurs et utilise des méthodes d'élimination gaussienne pour résoudre les systèmes d'équations. Le professeur conclut que l'une des familles est une base lorsque certaines conditions sont remplies, tandis que l'autre famille ne peut pas être une base car elle ne génère pas tous les vecteurs de l'espace. En résumé, le cours analyse différentes familles de vecteurs pour déterminer si elles peuvent être des bases de l'espace R3, en utilisant des tests de liberté et des méthodes d'élimination gaussienne pour résoudre les systèmes d'équations. Deux familles sont éliminées en raison du nombre incorrect d'éléments, tandis que les deux familles restantes sont discutées en détail pour déterminer leur statut de base.
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Coordonnées de polynômes

Dans cette vidéo, on étudie les espaces de polynômes. L'objectif est de montrer que les polynômes P1, P2 et P3 forment une base de R²x, qui est l'ensemble des polynômes du degré 2 dans R. Pour cela, on utilise la méthode de se référer à une base connue, en l'occurrence vec(1, x, x2). On utilise deux identités remarquables, x+1 et x-1, pour montrer que vec(P1, P2, P3) est égal à vec(1, x, x2). En faisant des combinaisons linéaires, on trouve que vec(P1, P2, P3) est égal à vec(P1 + P3 - 2P2). Pour obtenir un vecteur constant, on enlève exprès -2P2. En fin de compte, on obtient que P3 - P1 est égal à 2x2 + 4x, ce qui est bien un vecteur de 1x2 x1, 1x2. Les coordonnées de ce vecteur dans la base P1, P2, P3 sont donc un quart de P1 + trois quarts de P3.
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Dimension

Dans ce cours, nous étudions un exercice basé sur des jeux de combinaisons linéaires. Nous avons cinq vecteurs de R4 (un espace de dimension 4). Nous les divisons en deux groupes : les trois premiers vecteurs dans le groupe F et les deux derniers vecteurs dans le groupe G. Nous utilisons les combinaisons linéaires pour déterminer la dimension de F. En recombinant les vecteurs, nous trouvons que f (qui est la combinaison linéaire de V1, V2 et V3) a une dimension de 3. Ensuite, nous examinons G et constatons que V4 et V5 ne sont pas colinéaires, donc la dimension de G est de 2. Nous essayons de voir si nous pouvons trouver une base de R4 en ajoutant V4 à F ou en l'ajoutant négativement. Nous constatons que V4 ne peut pas être représenté comme une combinaison linéaire de V1, V2 et V3, ce qui signifie que F et V4 forment une famille libre et une base de R4. Nous concluons que F plus G égale R4, car nous avons une base pour R4. Enfin, nous calculons la dimension de F inter G. Utilisant la formule liant les dimensions de ces deux espaces, nous trouvons que F inter G a une dimension de 1. En résumé, la dimension de F plus G est de 4, la dimension de F inter G est de 1. Nous utilisons des techniques de combinaisons linéaires pour obtenir ces résultats.
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Base d’espace de polynômes

Dans cette transcription de vidéo, il est question de démontrer qu'une famille de polynômes dans l'espace des polynômes de degré n forme une base si les degrés des polynômes sont échelonnés. C'est un théorème courant et facile à démontrer. L'auteur mentionne qu'il a utilisé ce théorème lors d'un exercice oral pour résoudre l'exercice plus rapidement. Il explique également comment écrire un polynôme dans une certaine forme en utilisant des polynômes avec des degrés échelonnés. L'auteur donne des détails étape par étape pour effectuer cette transformation. Il conclut en rappelant l'importance de connaître ce théorème et souhaite retrouver le public dans une prochaine vidéo.
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Noyau et image

Dans cet exercice, nous étudions les applications linéaires dans l'espace des polynômes de degré n. Il est important de noter que cet espace a une dimension de n+1, contrairement à ce que l'on pourrait croire. La base de cet espace est composée des polynômes de degré n, n-1, 1 et 0. Dans cet exercice, nous avons une application linéaire définie par phi(p) = p(x+1) - p(x). Pour vérifier que c'est un endomorphisme, il faut montrer que c'est linéaire et que l'image de phi est incluse dans E. Pour la linéarité, on peut simplement le mentionner car c'est évident puisque tout est défini avec des signes moins. Pour montrer que l'image de phi est incluse dans E, on calcule phi(xi) et on utilise le binôme de Newton. On trouve que l'image de phi est incluse dans l'ensemble des polynômes de degré n-1. Ensuite, on s'intéresse à l'égalité de phi au carré, c'est-à-dire phi². On remarque que l'image de phi n'est pas égale à l'espace E, mais elle est incluse dans E. Les polynômes de degré n ne sont jamais atteints par phi. Il est important de ne pas commencer par résoudre phi², mais plutôt d'étudier l'image de phi, car cela peut simplifier les choses. On utilise le théorème de Durand, qui dit que la dimension de l'image de phi plus la dimension du noyau de phi équivaut à la dimension de l'espace de départ. Dans notre cas, la dimension de l'image de phi est n-1 et la dimension de l'espace de départ est n+1. Donc la dimension du noyau de phi est de 1. En utilisant l'astuce que si deux espaces ont la même dimension et que l'un est inclus dans l'autre, alors ils sont égaux, on peut conclure que le noyau de phi est égal à l'espace E. En résumé, dans cet exercice, nous avons étudié une application linéaire dans l'espace des polynômes de degré n. Nous avons montré qu'elle est linéaire et que son image est incluse dans l'ensemble des polynômes de degré n-1. De plus, nous avons utilisé le théorème de Durand et l'astuce de la dimension pour montrer que le noyau de l'application est égal à l'espace E.
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Matrices, produits et composition

Dans cet exercice, on étudie les applications linéaires dans le contexte des matrices. Pour déterminer la matrice d'une application linéaire de R2 dans R2, on peut observer ce que l'application fait aux vecteurs de la base choisie. Pour trouver la matrice, on peut soit calculer f(1, 0) et f(0, 1) et les écrire dans une colonne, soit séparer les composantes x et y d'un vecteur quelconque (x, y) et écrire l'application linéaire en colonne. Ensuite, on peut combiner les applications linéaires en combinant les matrices correspondantes. Il est important de noter que la multiplication des matrices ne commute pas en général, c'est-à-dire que AB n'est pas forcément égal à BA. En effectuant les calculs, on trouve les matrices correspondantes pour S plus T, S rond T, T rond S et S rond S. Cette application pratique permet de lier les applications linéaires aux matrices.