Online Structures Algébriques course by Top Instructors - Structures Algébriques

Groupe avec des fonctions

Dans cette vidéo, Corentin aborde plusieurs concepts liés aux structures algébriques, en se concentrant sur la démonstration que l'ensemble R étoile croyeur, muni de la loi étoile, forme un groupe et sur la question de sa commutativité. Il aborde également la simplification de l'expression xy puissance n dans R étoile croyeur pour x, y appartenant à cet ensemble et n appartenant à n étoile. Il commence par rappeler la définition d'un groupe comme étant un ensemble muni d'une loi interne associative, possédant un élément neutre et où chaque élément a un symétrique. Il précise également que la loi doit être interne. Ensuite, il démontre que la loi étoile est interne en montrant que le résultat des opérations xy et x'y' appartient toujours à R étoile. Il prouve également l'associativité de la loi étoile en montrant que peu importe l'ordre dans lequel les opérations sont effectuées, le résultat reste le même. Il cherche ensuite l'élément neutre de la loi étoile en posant un système d'équations et déduis que l'élément neutre est (1,0). Il détermine également l'inverse d'un couple (x,y) en résolvant un autre système d'équations et conclut que tout élément (x,y) a un inverse qui est (1/x,-y/x). Il aborde ensuite la question de la commutativité de la loi étoile et montre qu'elle n'est pas vérifiée en exhibant un contre-exemple. Enfin, il passe à la deuxième question et explique que la puissance n du couple (x,y) signifie effectuer la loi étoile sur ce couple n fois. Il montre que pour n=2 et n=3, le résultat peut être exprimé sous une forme spécifique, et propose de prouver par récurrence que pour tout n dans n étoile, le résultat de xy puissance n est de cette forme spécifique. Il conclut en encourageant les spectateurs à mener cette démonstration par récurrence eux-mêmes.

Lois usuelles

Salut à tous ! Dans cette vidéo, nous allons étudier une loi, notée "étoile", qui s'applique sur un ensemble R privé de 1. Cette loi est définie par x étoile y = x + y - x * y. Nous nous posons plusieurs questions sur cette loi. Tout d'abord, nous voulons déterminer si elle est associative et commutative. Pour l'associativité, nous calculons (x étoile y) étoile z et nous obtenons une expression. Ensuite, nous calculons x étoile (y étoile z) et obtenons une autre expression. En comparant les deux, nous constatons qu'elles sont égales. Nous concluons donc que la loi est associative. Ensuite, nous prouvons que la loi est commutative en montrant que x étoile y est égal à y étoile x, en utilisant les propriétés de commutativité de l'addition et de la multiplication dans l'ensemble R. Nous passons ensuite à la question suivante qui concerne l'existence d'un élément neutre pour cette loi. Nous cherchons E tel que x étoile E soit égal à x. En simplifiant l'expression, nous trouvons que E doit être égal à 0. Donc, la loi admet 0 comme élément neutre. Enfin, nous étudions si chaque réel x a un inverse pour cette loi. En posant x étoile A = 0, nous isolons A et trouvons que A = x / (x - 1), en assumant que x est différent de 1. Pour conclure, nous donnons une formule explicite pour la puissance n-ième de x (notée x puissance n). En calculant les premières puissances de x, nous remarquons une régularité et trouvons la formule de récurrence suivante : x puissance n = (1 - 1/x) puissance n. Notons que la puissance n-ième ici représente la répétition de l'opération étoile n fois. Voilà un résumé SEO friendly de cette vidéo sur la loi étoile dans l'ensemble R privé de 1.

Neutre et inverse

Dans cette vidéo, Corentin explique le concept de groupe en mathématiques. Il commence par donner l'énoncé qui définit un groupe comme étant un ensemble muni d'une loi étoile associative, avec un élément neutre à gauche et où chaque élément possède un inverse à gauche. Il souligne que pour montrer qu'un ensemble E est un groupe pour la loi étoile, il faut également prouver que l'inverse à gauche est également un inverse à droite. Pour démontrer cela, Corentin utilise les inverses à gauche x prime et y prime de xy, où yx est égal à l'élément neutre E. En multipliant à gauche par y prime y, il montre que xy est égal à E en utilisant l'associativité de la loi étoile. Ainsi, il démontre que l'inverse à gauche est également un inverse à droite. Ensuite, Corentin se penche sur l'unicité de l'élément neutre à gauche et montre que si F et E sont tous les deux neutres à gauche, alors ils sont égaux. Il utilise le fait que F fois E est égal à E par hypothèse sur F, et que E fois F est également égal à E. Comme E est un élément neutre à gauche, il en déduit que F est égal à E. Enfin, Corentin montre que l'élément neutre à gauche est également neutre à droite en utilisant l'inverse de x prime. Il montre que x fois E est égal à x en utilisant l'associativité de la loi étoile et en prouvant que l'inverse à gauche est également l'inverse à droite. En conclusion, Corentin résume les étapes de sa démonstration en montrant que l'élément neutre à gauche est également neutre à droite, qu'il est unique, et que l'inverse à gauche est également l'inverse à droite. Ainsi, il conclut que toutes les hypothèses sont réunies et que E est bien un groupe.

Inverse

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice qui consiste à démontrer que certaines lois donnent à l'ensemble J une structure de groupe, et à déterminer si ce groupe est abélien ou non. Il commence par parler de la première loi, appelée "loi étoile", qui associe à deux éléments x et y dans l'intervalle (-1,1), l'opération (x+y)/(1+xy). Il veut d'abord prouver que cette loi est interne, c'est-à-dire que x étoile y appartient à J. Il introduit une fonction f(x) = (x+y)/(1+xy) et montre que cette fonction est dérivable et strictement croissante sur l'intervalle (-1,1). Grâce à cela, il conclut que la loi étoile est bien interne. Ensuite, il montre l'associativité de cette loi, ce qui nécessite quelques calculs. Il explique qu'il est également possible de trouver l'élément neutre et l'inversibilité de la loi étoile en effectuant des tests avec des valeurs particulières, mais il ne donne pas de détails sur ces calculs. Finalement, il conclut que la loi étoile est commutative, ce qui signifie que l'ensemble J forme un groupe abélien. Ensuite, Corentin aborde une deuxième loi, toujours appelée "loi étoile", mais cette fois-ci pour l'ensemble G qui est l'espace R². Cette loi associe à deux couples (x,y) et (x',y') de G le couple suivant : (x * x' - y * y', x * y' + x' * y). Il montre que cette loi est interne en montrant que le résultat de l'opération appartient à G. Il procède ensuite à de nombreux calculs pour démontrer l'associativité de la loi étoile, en utilisant des expressions algébriques pour les éléments du groupe G. Puis, il cherche l'élément neutre en testant différentes valeurs de couples et finalement trouve que le couple (0,0) est neutre pour la loi étoile. Il prouve l'inversibilité en testant un couple particulier, et montre qu'il existe un inverse pour tout couple (x,y) dans G. Enfin, il démontre que la loi étoile n'est pas commutative en montrant que le résultat de l'opération dépend de l'ordre des couples dans l'opération. Il conclut donc que G n'est pas un groupe abélien. En résumé, Corentin aborde deux lois différentes, la première sur un ensemble J et la deuxième sur un ensemble G. Il montre que la loi étoile donne à J une structure de groupe abélien, tandis que la loi étoile sur G ne forme pas un groupe abélien.

elements réguliers

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice théorique portant sur un groupe fini G. Il est demandé de démontrer qu'il existe un élément X dans G qui est différent de l'élément neutre E et égal à son inverse. Corentin commence par utiliser des sous-parties de G pour exploiter l'hypothèse que le cardinal de G est pair. Il pose l'ensemble f(X) qui est égal à l'ensemble des éléments X multiplié par leur inverse. Ensuite, il remarque que pour des éléments X et Y distincts, les ensembles f(X) et f(Y) sont soit distincts soit confondus. Plus précisément, soit f(X) est égal à f(Y) ou l'intersection de f(X) et de f(Y) est un ensemble vide. En effet, si Y est égal à X-1 (l'inverse de X), alors l'ensemble f(X) est égal à l'ensemble f(Y). Si Y est différent de X-1, alors l'intersection de f(X) et de f(Y) est un ensemble vide. De là, Corentin déduit que le groupe G peut s'écrire comme une réunion disjointe de tous les ensembles f(X) différents. En d'autres termes, G est égal à l'union de tous les ensembles f(X) pour X appartenant à G et différent de l'élément neutre. Corentin réalise que au moins l'un de ces ensembles f(X) est de cardinal 1, c'est-à-dire qu'il ne contient qu'un seul élément. Il s'agit de l'ensemble f(E). En effet, on a E-1 qui est égal à E, ce qui réduit l'ensemble f(E) à juste l'élément E. Si tous les autres ensembles étaient de cardinal 2, alors le groupe G aurait un cardinal impair, ce qui contredit l'hypothèse de départ selon laquelle le cardinal de G est pair. Il en conclut donc qu'il existe un élément X différent de l'élément neutre E tel que le cardinal de l'ensemble f(X) soit égal à 1, autrement dit, X est égal à son inverse.

Sous-groupes

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice qui mélange l'algèbre générale et l'algèbre linéaire. Il commence par présenter le problème qui consiste à déterminer si certaines parties de GLN2R sont des sous-groupes de GLN2R, l'ensemble des matrices inversibles à coefficients réels. Pour la première question, on donne l'ensemble des matrices diagonales inversibles à coefficients non nuls. Corentin montre que cet ensemble, noté H1, est bien une partie de GLN2R. Il explique que pour chaque matrice diagonale, il suffit de prendre l'inverse en prenant l'inverse de chaque coefficient diagonal. Le produit de ces deux matrices donne la matrice identité. Il vérifie également que la matrice identité appartient à H1, démontrant ainsi la stabilité par rapport à l'élément neutre, au produit et à l'inverse. Pour la deuxième question, Corentin étudie l'ensemble H2 qui consiste en des matrices 2x2 telles que A est différent de zéro. Il montre que H2 est également une partie de GL2 de R en calculant son inverse grâce à un petit système linéaire. Il démontre également la stabilité par rapport à l'élément neutre, au produit et à l'inverse. Enfin, pour la troisième question, Corentin remarque que la matrice identité n'appartient pas à l'ensemble H1-I3, montrant ainsi que H1-I3 n'est pas un sous-groupe de GL2 de R. En résumé, Corentin aborde un exercice qui consiste à déterminer si certaines parties de GLN2R sont des sous-groupes de GLN2R. Il montre que l'ensemble H1, constitué de matrices diagonales inversibles à coefficients non nuls, est un sous-groupe de GLN2R, tandis que H2, constitué de matrices 2x2 avec A différent de zéro, est également un sous-groupe de GL2 de R. Cependant, il démontre que H1-I3 n'est pas un sous-groupe de GL2 de R, car la matrice identité n'appartient pas à cet ensemble.

Morphisme de groupe

Dans cette vidéo, Corentin aborde la question de savoir si un sous-groupe d'un groupe produit est nécessairement le produit de deux sous-groupes. Pour expliquer cela, il commence par rappeler ce qu'est un groupe produit. Un groupe produit est défini comme l'ensemble des couples (x1, x2) composés d'un élément x1 du groupe G1 et d'un élément x2 du groupe G2. La loi de composition sur ce groupe produit est définie comme x1y1 * x2y2 = (x1 * x2, y1 * y2), où * représente la loi interne dans chaque groupe. Ensuite, Corentin donne un contre-exemple pour montrer que ce n'est pas toujours le cas. Il prend les groupes G1 et G2 comme étant l'ensemble des entiers positifs (z+). Il montre ensuite que le sous-groupe des couples (x, x) dans le groupe produit n'est pas le produit de deux sous-groupes. Il précise que si cela était le cas, cela signifierait que ce sous-groupe serait le produit de z * z, qui est l'ensemble des couples (x, y) avec x appartenant à z et y appartenant à z. Cependant, le couple (1, 2) n'appartient pas à ce sous-groupe, ce qui montre que ce sous-groupe des couples (x, x) ne peut pas être écrit comme le produit de deux sous-groupes. En conclusion, la réponse à la question posée est non, et Corentin a présenté un contre-exemple pour le prouver.

Automorphisme

Dans cette vidéo, Corentin explique la notion d'automorphisme, qui consiste à déterminer les morphismes injectifs et surjectifs de Z' plus dans lui-même. Il commence par rappeler ce qu'est un morphisme de groupe, en expliquant que c'est une application qui respecte les lois du groupe. Ensuite, il montre que pour tout morphisme f de Z' dans Z', f de n est égal à n fois f de 1, grâce à une démonstration par récurrence. Il précise que cette égalité est valable aussi pour les nombres négatifs. Ainsi, les morphismes de Z' plus dans Z' plus sont les fonctions qui vérifient f de n est égal à n fois f de 1, pour tout n dans Z. Ensuite, il se concentre sur les morphismes surjectifs et trouve que f de 1 est égal à -1 ou 1. Il conclut que les morphismes surjectifs sont ceux qui vérifient f de n est égal à n ou -n. Enfin, il aborde les morphismes injectifs en utilisant le théorème selon lequel un morphisme est injectif si et seulement si le noyau de f est réduit à l'élément neutre. Il montre que le noyau de f est égal à 0 si f de 1 est différent de 0, ce qui implique que f est injectif. Sinon, si f de 1 est égal à 0, alors f n'est pas injectif car tous les éléments n de Z vérifient f de n est égal à 0. Il conclut que tous les morphismes de Z' plus dans Z' plus sont injectifs, sauf l'application identiquement nulle.

Groupe Commutatif

Salut à tous, c'est Corentin. Aujourd'hui, nous allons voir comment déterminer si un ensemble répond aux critères d'un corps commutatif. Un corps est un ensemble muni de deux lois (addition et multiplication) qui satisfont certaines conditions. Nous allons utiliser la méthode 1, la plus longue, pour vérifier ces conditions. Premièrement, nous devons vérifier si l'addition est bien interne à notre ensemble. Nous faisons donc une addition entre deux éléments et nous vérifions si le résultat appartient à notre ensemble. Ensuite, nous devons vérifier si l'addition est associative et commutative. Ces propriétés sont nécessaires pour qu'un groupe commutatif soit formé. Nous cherchons ensuite l'élément neutre pour l'addition. Dans notre cas, l'élément neutre est 0. Nous cherchons également l'élément symétrique, c'est-à-dire l'opposé de chaque élément. Nous utilisons cette propriété pour vérifier si l'ensemble forme bien un groupe commutatif. Ensuite, nous passons à la multiplication. Nous vérifions si la multiplication est interne à l'ensemble et si elle est associative et commutative. Nous cherchons également l'élément neutre pour la multiplication, qui est 1 dans notre cas. Enfin, nous cherchons l'inverse pour la multiplication. Pour être certain que l'inverse appartient à notre ensemble, nous utilisons la technique du conjugué. Une fois toutes ces conditions vérifiées, nous pouvons affirmer que l'ensemble répond aux critères d'un corps commutatif. Cette méthode est assez longue, donc nous pouvons utiliser la méthode 2, plus rapide. Dans cette méthode, nous montrons simplement que l'ensemble est un sous-corps d'un ensemble plus grand et nous vérifions quelques conditions supplémentaires. En résumé, il est important de connaître la définition d'un corps et de penser à utiliser le conjugué pour vérifier si l'inverse appartient à l'ensemble. De plus, il est plus rapide de montrer qu'un ensemble est un sous-corps plutôt que de vérifier toutes les conditions une par une. Voilà, merci à tous et à bientôt !

Groupe avec des fonctions

Dans cette vidéo, Corentin aborde le sujet des structures algébriques et propose un exercice pour vérifier si une loi donnée est un groupe et s'il est commutatif. Il précise également comment simplifier l'expression "xy puissance n" pour x et y dans un ensemble donné et n dans "n étoile". Dans la première partie de la vidéo, Corentin explique les caractéristiques d'un groupe, à savoir qu'il est composé d'un ensemble "G" avec une loi interne "*", qui est associative, possède un élément neutre "e" unique pour tout élément de "G" et que tout élément a un inverse. Il démontre ensuite que la loi "étoile" est interne en montrant que pour deux couples xy et x'y' dans R étoile croyeur, xy étoile x'y' appartient également à R étoile croyeur. Ensuite, Corentin démontre que la loi est associative en montrant que peu importe comment on associe trois couples xy, x'y' et x''y'' dans R étoile croyeur, on obtient toujours le même résultat. Il poursuit en cherchant l'élément neutre de la loi, en posant un système d'équations et en trouvant que l'élément neutre est (1,0). Ensuite, Corentin cherche l'inverse d'un couple xy en posant à nouveau un système d'équations et en trouvant que l'inverse de xy est (1/x,-y/x). Il aborde ensuite la question de la commutativité de la loi, montrant qu'en inversant l'ordre de deux couples x,y et y,x, on n'obtient pas le même résultat, ce qui prouve que la loi n'est pas commutative. Enfin, Corentin aborde la question de la simplification de l'expression "xy puissance n", en montrant par des calculs que pour n=2 et n=3, on obtient une formule récurrente. Il propose ensuite de démontrer formellement par récurrence que pour tout n appartenant à "n étoile", le couple xy à la puissance n est égal à "x puissance n, x puissance (n-1)y + xy + y". Corentin conclut en invitant les spectateurs à réaliser cette démonstration par récurrence.

Lois usuelles

Dans cette vidéo, Quentin aborde des questions basiques sur un ensemble R privé de 1, et une loi appelée étoile. Il commence par analyser si cette loi est associative et commutative. En effectuant les calculs nécessaires, il prouve que la loi étoile est à la fois associative et commutative. Ensuite, il se demande si cette loi admet un élément neutre. En étudiant l'équation x étoile E = x, il simplifie les calculs et conclut que l'élément neutre pour la loi étoile est égal à 0. La troisième question porte sur l'existence d'un inverse pour un réel x par rapport à cette loi. En résolvant l'équation x étoile A = 0, il trouve que l'inverse de x existe si x est différent de 1, et cet inverse est égal à x divisé par x moins 1. Enfin, il aborde la question de la puissance n-ième avec cette loi étoile. Il calcule les premières puissances pour comprendre la formule explicite. En observant les résultats obtenus, il trouve la formule de récurrence : x puissance n est égal à 1-1-x puissance n. Cependant, il insiste sur le fait que cette puissance n'est pas la même que celle utilisée au collège. En conclusion, Quentin a démontré que la loi étoile est associative, commutative et admet un élément neutre. De plus, pour un réel x, il existe un inverse si x est différent de 1, et il a également trouvé une formule explicite pour la puissance n-ième avec cette loi étoile.

Neutre et inverse

Dans cette vidéo, Corentin explique ce qu'est un groupe dans le contexte d'un ensemble E muni d'une loi interne associative et ayant un élément neutre à gauche. Il explique que pour prouver que E est un groupe, il faut également montrer que cet élément neutre à gauche est aussi un élément neutre à droite et que chaque élément possède un inverse à gauche et à droite. Il commence par montrer que l'associativité et l'internalité de la loi étoile sont données dans l'énoncé. Ensuite, il utilise des inverses à gauche respectifs pour montrer que si yx est égal à E, alors xy est aussi égal à E. Ensuite, il démontre que l'élément neutre à gauche est unique en supposant l'existence d'un autre élément neutre à gauche F, mais montre ensuite que F est égal à E. Enfin, il démontre que l'élément neutre à gauche est aussi un élément neutre à droite en utilisant l'associativité et le fait que l'inverse à gauche est aussi l'inverse à droite. Il conclut en réaffirmant que toutes les hypothèses sont réunies pour montrer que E est bien un groupe.

Inverse

Bonjour à tous, aujourd'hui nous allons étudier une loi étoile sur l'ensemble J et déterminer si celui-ci est abélien. Pour commencer, la loi étoile associe à deux éléments x et y dans l'intervalle (-1,1), l'expression x + y / (1 + xy). Nous devons d'abord montrer que cette loi est interne, c'est-à-dire que x étoile y est un élément de J. Pour cela, nous pouvons utiliser une fonction f qui associe chaque y à x + y / (1 + xy) et montrer que f(x) est bien dans J. En analysant cette fonction, nous constatons qu'elle est dérivable sur (-1,1) et que sa dérivée est strictement positive. Par conséquent, f est strictement croissante sur (-1,1). De plus, nous pouvons déterminer les valeurs limites de f en utilisant la fonction f de -1 qui est égale à -1 et f de 1 qui est égale à 1. Ainsi, nous prouvons que x étoile y est bien dans J, ce qui démontre que la loi étoile est interne. Ensuite, nous devons montrer que la loi étoile est associative. Pour cela, nous devons prouver que (x étoile y) étoile z est égal à x étoile (y étoile z). Cependant, cette démonstration nécessite de nombreux calculs fastidieux et je vous invite à les faire vous-même. Mais sachez que le résultat est bien la même chose pour les deux expressions, ce qui prouve l'associativité de la loi étoile. Ensuite, nous devons trouver un élément neutre dans J. En vérifiant pour les valeurs communes de 0 et 1, nous constatons que x étoile 0 est égal à 0 étoile x, qui est égal à x. Ainsi, l'élément neutre dans J est 0. Ensuite, nous devons montrer que tout élément de J a un inverse. En testant avec des formes simples telles que -x et 1/x, nous constatons que -x étoile x est égal à 0, qui est l'élément neutre. Par conséquent, tout élément de J a un inverse qui est son opposé. Enfin, nous devons déterminer si la loi étoile est commutative, c'est-à-dire si x étoile y est égal à y étoile x. En remplaçant dans l'expression de la loi étoile, nous constatons que cela est vrai. Par conséquent, la loi étoile est commutative, ce qui signifie que J est un groupe abélien par rapport à cette opération. Pour la deuxième question, nous avons une nouvelle loi étoile sur l'ensemble G, qui est cette fois R². Nous devons vérifier si cette loi est interne, associative, admet un élément neutre, tout élément de G a un inverse, et si la loi est commutative. En effectuant les vérifications nécessaires, nous constatons que cette fois-ci, la loi étoile n'est pas commutative, ce qui signifie que G n'est pas un groupe abélien. Voilà, nous avons résumé le cours.

elements réguliers

Dans ce cours, nous nous intéressons à un groupe fini G avec un élément neutre E. On suppose que le cardinal de G est pair et nous devons démontrer qu'il existe un X appartenant à G, distinct de l'élément neutre, tel que X soit égal à son inverse. Pour résoudre ce problème, nous commençons par créer des sous-ensembles de G en utilisant l'hypothèse sur le cardinal de G. Nous posons f(X), qui est l'ensemble des éléments de G qui sont égaux à leur inverse. Ensuite, nous remarquons que pour deux éléments distincts X et Y, les ensembles f(X) et f(Y) sont soit distincts, soit confondus en tant qu'ensembles. Plus précisément, soit f(X) = f(Y), soit l'intersection de f(X) et f(Y) est l'ensemble vide, pour tout X et Y dans G. Nous expliquons ensuite que si Y est différent de X-1 (l'inverse de X), alors Y-1 est différent de X-1. Donc, f(Y) ∩ f(X) est l'ensemble vide. Grâce à cela, nous concluons que G peut s'écrire comme une réunion disjointe de tous les f(X) différents. Autrement dit, G est l'union de tous les éléments de G qui ne sont pas dans f(X). Cependant, nous savons qu'au moins l'un de ces ensembles f(X) a un cardinal de 1. Il s'agit de f(E), car E-1 est égal à E lui-même. Si tous les autres ensembles avaient un cardinal de 2, le groupe aurait un cardinal impair, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse que le cardinal de G est pair. Par conséquent, il existe un X différent de E tel que le cardinal de f(X) soit égal à 1, ce qui signifie que X est égal à son inverse, comme demandé dans le problème.

Sous-groupes

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice qui mélange algèbre générale et algèbre linéaire. Il commence par expliquer que l'ensemble GLN2R représente les matrices inversibles à coefficients réels. L'exercice consiste à déterminer si certaines parties de cet ensemble sont des sous-groupes de GLN2R. Pour la première question, il est demandé de vérifier si l'ensemble H1-12, constitué des matrices 2x2 diagonales avec des coefficients diagonaux non nuls, est un sous-groupe de GLN2R. Corentin explique que H1-12 remplit les critères pour être un sous-groupe car il contient l'élément neutre (la matrice identité) et que le produit de deux matrices diagonales inversibles donne une autre matrice diagonale inversible. Pour la seconde question, il est demandé de déterminer si l'ensemble H1-13, composé des matrices 2x2 avec une permutation des coefficients A et B en bas, est un sous-groupe de GLN2R. Corentin montre que H1-13 est également un sous-groupe car il respecte les critères de contenant l'élément neutre et de stabilité par le produit et par l'inverse. Enfin, pour la troisième question, Corentin constate que la matrice identité I2 n'appartient pas à l'ensemble H1-I3, ce qui signifie que H1-I3 n'est même pas un sous-groupe de GLN2R. En résumé, dans cette vidéo, Corentin analyse la nature de différentes parties de l'ensemble GLN2R pour déterminer si elles sont des sous-groupes en utilisant des concepts d'algèbre générale et d'algèbre linéaire.

Morphisme de groupe

Dans cette vidéo, Corentin aborde la question de savoir si un sous-groupe d'un groupe produit est nécessairement le produit de deux sous-groupes. Tout d'abord, il rappelle ce qu'est un groupe produit. Il s'agit de deux groupes, G1 et G2, avec leurs lois internes respectives. Le groupe produit est défini comme l'ensemble des couples (x1, x2) avec x1 dans G1 et x2 dans G2. La loi étoile, définie par x1*y1 étoile x2*y2, est égale à x1 fois x2 au sens de la première loi et y1 fois y2 au sens de la deuxième loi. Ensuite, Corentin explique qu'il veut fournir un contre-exemple pour montrer que la réponse à la question est non. Il choisit G1 et G2 comme étant égal à z+ (l'ensemble des entiers positifs). Il exhibe un sous-groupe de z carré, muni de la loi plus, qui n'est pas le produit de deux sous-groupes. Ce sous-groupe est l'ensemble des couples xx, avec x dans z. Il souligne que ce sous-groupe n'est pas le produit de deux sous-groupes car il ne peut pas s'écrire comme le produit de z x z, qui est l'ensemble des couples (x, y) avec x dans z et y dans z. Il précise que le couple (1, 2) n'appartient pas à H, le sous-groupe qu'il a exhibé, car H est uniquement l'ensemble des couples (xx) avec x dans z. En conclusion, il répond à la question en disant que non, un sous-groupe d'un groupe produit n'est pas nécessairement le produit de deux sous-groupes. Il remercie ensuite l'audience.

Automorphisme

Dans cette vidéo, Corentin parle de la notion d'automorphisme. Il explique qu'un automorphisme est une application qui va d'un groupe à lui-même. Pour déterminer les automorphismes de Z' plus (les entiers positifs), il faut trouver ceux qui sont injectifs et ceux qui sont surjectifs. Corentin commence par rappeler ce qu'est un morphisme de groupe. Il explique que pour tout A et B dans Z (les entiers relatifs), f de A plus B est égal à f de A plus f de B, et f de 0 est égal à 0. Ensuite, il démontre par récurrence que pour tout n dans N* (les entiers naturels non nuls), f de n est égal à n fois f de 1. Il montre également que pour les entiers négatifs, f de n est égal à n fois f de 1. En conclusion, les morphismes de Z' plus dans Z' plus sont les fonctions qui vérifient f de n est égal à n fois f de 1, pour tout n dans Z. Ensuite, Corentin se concentre sur les automorphismes surjectifs. Il propose de trouver une forme particulière et de vérifier si cette forme vérifie les conditions pour être un automorphisme surjectif. Il montre que f de 1 doit être égal à 1 ou -1 pour que f de Z soit égal à Z. Les morphismes surjectifs sont donc f de n est égal à n ou f de n est égal à -n. Enfin, Corentin aborde les automorphismes injectifs. Il rappelle un théorème selon lequel un morphisme est injectif si et seulement si le noyau de ce morphisme est réduit à l'élément neutre du groupe. En appliquant ce théorème à Z' plus, il montre que tous les morphismes de Z' plus dans Z' plus sont injectifs, sauf l'application identiquement nulle. En résumé, les automorphismes de Z' plus sont les fonctions qui vérifient f de n est égal à n fois f de 1, pour tout n dans Z. Parmi ces automorphismes, ceux qui sont surjectifs sont f de n est égal à n ou f de n est égal à -n, et ceux qui sont injectifs sont tous sauf l'application identiquement nulle.