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Introduction à la récurrence

Ce cours vidéo explique la méthode de démonstration par récurrence, souvent utilisée dans le cadre des suites. Pour comprendre cette méthode, l'exemple classique de la somme des n premiers entiers consécutifs est utilisé.

Concept et rédaction

Dans cette vidéo, le professeur explique l'importance de la rédaction, de l'initialisation et des erreurs à ne pas faire lorsqu'on démontre une propriété par récurrence. Le principe général consiste à montrer que si une propriété est vraie pour un entier, elle est vraie pour l'entier suivant. Pour cela, on utilise une initialisation et une transmission de la propriété. Il est crucial de conclure la démonstration. Dans 90% des exercices, la propriété sera vraie pour n=0, mais dans 10% des cas, elle sera vraie pour un autre entier. Le professeur donne l'exemple d'une suite définie de manière récurrente. Enfin, il montre un exemple de démonstration de propriété pour illustrer la rédaction attendue.

Pourquoi l'initialisation ?

Dans ce cours, l'importance de la pitch net initiale est mise en avant, et un exemple est donné pour illustrer cela. Il est expliqué que certaines propriétés peuvent se transmettre même si elles sont fausses, comme l'exemple de P2N, qui n'est pas divisible par 3 mais qui peut être transmis d'un anti à l'autre dans une boucle. Cependant, pour trouver une initialisation pour cette propriété, il faut être complet et s'embêter à la faire à chaque fois, car il n'y aura jamais d'initialisation pour cette propriété. En somme, l'initialisation est importante et ne doit pas être négligée.

Inégalité de Bernoulli : visuel

Dans cette vidéo, l'inégalité de Bernoulli est expliquée visuellement. L'inégalité énonce que pour tout réel A positif et entier N, 1 + A^N est supérieur ou égal à 1 + NA. Cette inégalité est étudiée dans le contexte de la récurrence, car la démonstration par récurrence est simple. L'objectif de cette vidéo est de fournir une intuition graphique plutôt qu'une simple mémorisation de la formule. Les deux éléments de l'inégalité sont considérés comme des fonctions, la gauche étant une exponentielle et la droite une affine. En utilisant un graphique interactif, on peut observer la relation entre les deux fonctions pour différentes valeurs de A. On constate que l'exponentielle monte beaucoup plus rapidement que la fonction affine, ce qui explique l'inégalité de Bernoulli. Les points de la suite définie par F à partir de G sont également tracés, montrant que la suite F est toujours supérieure à la suite G pour les entiers positifs. La vidéo se termine en expliquant que la compréhension de cette inégalité de Bernoulli est essentielle pour les démonstrations et qu'elle est basée sur une intuition graphique facilement accessible.

Récurrence et croissance

La démonstration par récurrence est une méthode importante à maîtriser en mathématiques. Pour prouver l'hérédité de la suite, qui est la partie la plus compliquée de cette démonstration, voici quelques astuces. Pour démontrer que la suite est strictement décroissante, on définit la propriété P2n, qui est vraie pour tout n. Pour l'initialisation, on commence par u0 et pour l'hérédité, on écrit l'hypothèse de récurrence et ce qu'on veut montrer, en veillant à être explicite. Pour montrer que un+2 est plus petit que un+1, on utilise l'hypothèse de récurrence en la composant avec une fonction affine f, qui est strictement croissante. Enfin, on montre l'hérédité rigoureusement. Il est important de ne pas confondre la valeur de la suite au rang n avec l'objet suite elle-même, en utilisant des parenthèses pour éviter toute ambiguïté.

Conjecture puis récurrence

Dans ce cours, on utilise la démonstration par récurrence pour calculer la somme des entiers de 1 à n, qui est égale à n*(n+1)/2. Il est important de connaître le résultat que l'on veut démontrer avant d'utiliser cette méthode. On pose la proposition P2n selon laquelle la somme des entiers naturels jusqu'à n est égale à n*(n+1)/2. On vérifie ensuite la propriété pour n=1, puis on utilise l'hypothèse de récurrence pour montrer que P2n+1 est aussi vrai. En factorisant par n+1, on démontre que pour tout n antinaturel non nul, la somme des entiers de 1 à n est égale à n*(n+1)/2.

Hérédité : comment démarrer ?

Dans ce cours de mathématiques, on nous montre comment utiliser la méthode de récurrence pour démontrer l'hérédité. Pour cela, on utilise deux cas possibles : soit on part de l'hypothèse de récurrence, soit on part de la propriété au rang Un+1. Ces deux méthodes sont possibles et il n'y a pas de méthode meilleure, tout dépend de l'exercice. Il est également important de faire le lien entre l'hypothèse de récurrence et ce que l'on veut démontrer. En utilisant un exemple simple, on montre que la méthode de récurrence permet de prouver que pour tout n, Un est strictement positif.

Hérédité mais...

Dans cet exercice de mathématiques, nous devons démontrer qu'une proposition est vraie pour tous les entiers anti-naturels n. Pour cela, nous utilisons le principe de récurrence. Dans la question 1, nous devons démontrer que si la proposition est vraie pour n, alors elle est vraie pour n+1. Nous commençons par écrire cette proposition et nous utilisons l'hypothèse de récurrence pour simplifier l'expression. Ensuite, nous complétons l'égalité en

Avec une Somme

Ce cours traite d'une démonstration mathématique par récurrence. L'exemple donné est la démonstration que la somme des carrés des nombres impairs jusqu'à un certain nombre N est égale à (2N + 3)²/3. Le cours explique la méthode de rédaction pour une démonstration par récurrence, en soulignant l'importance de suivre les instructions du professeur et d'écrire de manière claire et précise. L'exemple est décomposé en différentes étapes, avec des explications détaillées sur chaque étape. L'auteur souligne également l'importance d'écrire la réponse souhaitée dès le début de la démonstration, afin de faciliter le raisonnement et de ne pas se perdre. Finalement, le cours conclut en montrant que la démonstration a été réussie grâce à la méthode de récurrence.

Majoration 'simple'

Le cours consiste en une démonstration mathématique par récurrence, mais il est difficile de le résumer en termes SEO-friendly car il contient principalement des fragments de phrases, des notations mathématiques et des explications de raisonnements logiques. Cependant, l'objectif de la démonstration est de prouver une propriété en utilisant deux étapes : l'initialisation et l'hérédité. Finalement, la conclusion est que la propriété est démontrée.

Trop de puissance !

Ce cours traite d'une suite définie par une relation de récurrence. Il explique comment calculer les termes de la suite en fonction du terme initial et de l'indice. Le processus se divise en deux étapes : l'intuition du résultat et la démonstration par récurrence. On montre que la suite peut être représentée par la formule u_n = u_0^(2^n). La démonstration de cette formule est simple et se fait facilement par récurrence. En conclusion, il est important de se familiariser avec les techniques de résolution d'exercices difficiles, car cela sera utile tant au lycée qu'à l'université.

Majoration plus costaude

Ce cours est une transcription d'une vidéo qui aborde un exercice intermédiaire en mathématiques. L'objectif est de démontrer une égalité en utilisant la récurrence. Le professeur commence par expliciter les différentes étapes de la récurrence et calcule les termes de chaque côté de l'équation. Il souligne l'importance de faire ces calculs même si certains termes sont triviaux, car cela permet de vérifier que l'égalité est vérifiée à chaque étape. Ensuite, le professeur aborde l'étape de l'hérédité où il introduit une formule clé, la formule du sinus d'une somme. Il explique qu'il est essentiel de connaître cette formule pour résoudre l'exercice. Il introduit également la notion d'inégalité et reconnaît que cela peut être un concept difficile à appréhender pour certains élèves. Il encourage cependant les élèves à s'y intéresser car cela peut être utile dans la résolution d'exercices. Le professeur propose ensuite une démarche pour résoudre l'exercice, en cherchant à faire apparaître le terme sin(nx). Il utilise la formule du sinus d'une somme pour développer sin(nx + x). Il remarque alors qu'il a un terme en nx + quelque chose et fait appel à la formule sin(a + b) pour simplifier ce terme. Il applique ensuite l'inégalité triangulaire pour majorer les termes et cherche à isoler le terme sin(nx) en dehors des valeurs absolues. Le professeur conclut en montrant que l'égalité est démontrée par récurrence en utilisant les bonnes formules et en faisant des majorations. Il souligne l'importance de connaître les formules mathématiques mais aussi de savoir les utiliser correctement et de pouvoir poser les bonnes questions pour résoudre un problème.

Introduction à la récurrence

Dans cette vidéo, le cours introduit le principe de la méthode de démonstration par récurrence, en se basant sur l'exemple de la formule de la somme des n entiers consécutifs. La méthode de démonstration par récurrence s'applique uniquement aux propriétés dépendant de n. Il est important de noter que la méthode de récurrence ne fournit pas une formule, mais plutôt une manière de démontrer une formule dont on a déjà une intuition. Pour démontrer la propriété, on commence par une initialisation, où la propriété est vérifiée pour une valeur spécifique de n. Ensuite, on prouve que si la propriété est vraie pour un certain n, alors elle est également vraie pour n+1, ce qui permet de conclure que la propriété est vraie pour tous les entiers. Il est crucial de ne pas oublier cette initialisation, car sans elle, la méthode de récurrence ne fonctionnera pas. Le cours souligne également trois points clés à retenir : le principe général de la récurrence (initialisation et hérédité), l'importance de l'initialisation (qui peut commencer à n=0, n=1, etc.) et l'inégalité de Bernoulli, qui peut être démontrée par récurrence. En termes de méthode, la récurrence peut être appliquée aux suites, utilisée pour démontrer une formule générale basée sur quelques termes, ou pour résoudre des problèmes plus complexes nécessitant différentes approches de la transmission.

Concept et rédaction

Dans cette vidéo, le professeur explique le principe de la récurrence en mathématiques. Il rappelle que pour démontrer une propriété par récurrence, il faut montrer qu'elle est vraie pour un entier donné, puis que si elle est vraie pour cet entier, elle est également vraie pour l'entier suivant. En utilisant cette "pichenette initiale" et cette transmission, on peut prouver que la propriété est vraie pour tous les entiers. Le professeur insiste sur l'importance de la rédaction dans la démonstration par récurrence. Il souligne qu'il faut toujours conclure la démonstration en affirmant que la propriété est vraie pour tout entier. Si cette conclusion n'est pas incluse, il est possible de perdre des points. Il recommande ainsi de donner une vision d'ensemble de la démonstration après avoir montré l'initialisation et la transmission de la propriété. Le professeur mentionne également que dans environ 10% des exercices, la démonstration par récurrence commence avec un entier différent de zéro, ce qui peut dérouter les étudiants. Il donne l'exemple d'une suite récurrente où il faut prouver la propriété pour tout entier supérieur à 2, au lieu de 0. Enfin, le professeur rappelle aux étudiants de se référer aux consignes spécifiques de leur professeur concernant la rédaction de la démonstration par récurrence, afin d'obtenir de bons résultats. Il invite également les étudiants à poser leurs questions dans la FAQ du cours pour obtenir des éclaircissements supplémentaires.

Pourquoi l'initialisation ?

Dans cette vidéo, on aborde l'importance de l'initialisation dans le contexte de la transmission de propriétés. L'orateur mentionne un exemple spécifique, celui de la propriété P2N, qui affirme que 2 puissance N est divisible par 3, bien que cela soit incorrect. Cependant, cette propriété est transmise, c'est-à-dire que si elle est vraie pour un instant N, elle le sera également pour l'instant N+1. Cela souligne l'importance de l'initialisation, même si celle-ci peut sembler fastidieuse. L'orateur conclut en expliquant qu'il est crucial de faire les initialisations nécessaires pour chaque propriété, car il est peu probable de trouver une initialisation pour des propriétés comme P2N. Cette vidéo est un bonus pour les étudiants, leur montrant que les professeurs insistent sur l'initialisation non pas pour les embêter, mais parce qu'il y a des implications importantes derrière cela. N'hésitez pas à poser des questions ou à consulter la FAQ ci-dessous.

Inégalité de Bernoulli : visuel

Dans cette vidéo, le professeur explique l'inégalité de Bernoulli, qui stipule que pour toute valeur réelle A strictement positive et pour tout entier naturel N, on a l'inégalité 1 + A^N ≥ 1 + NA. Il mentionne que cette inégalité est étudiée dans le cadre de la récurrence car elle peut être démontrée de manière simple en utilisant le principe de récurrence. Pour donner une intuition graphique de cette formule, le professeur compare les deux éléments de l'inégalité à des fonctions. Il remarque que la partie de gauche, A^N, a une forme exponentielle, tandis que la partie de droite, NA, a une forme affine. Il explique que cela traduit le fait qu'une fonction exponentielle monte beaucoup plus vite qu'une fonction affine et donc est plus grande. Pour illustrer cette idée, le professeur utilise une simulation graphique où il fait varier différents paramètres, notamment la valeur de A. Il montre que pour certaines valeurs de A, la fonction exponentielle est toujours au-dessus de la fonction affine, tandis que pour d'autres valeurs, la fonction affine dépasse la fonction exponentielle dans un certain intervalle. Cependant, il souligne que cela n'est pas important pour l'inégalité de Bernoulli, car ce qui compte, c'est la suite des points représentés par les coordonnées entières des fonctions. En observant les points de la suite définie par les fonctions, le professeur constate que, dès le point 2, la suite représentée par la fonction exponentielle est toujours au-dessus de celle représentée par la fonction affine. Il mentionne également que pour les entiers 0 et 1, les deux fonctions sont égales, ce qui peut être vérifié en remplaçant ces valeurs dans l'inégalité de Bernoulli. Le professeur conclut en soulignant l'utilité de cette inégalité pour les démonstrations mathématiques et invite les spectateurs à poser des questions et utiliser la simulation graphique partagée pour mieux comprendre l'inégalité de Bernoulli.

Récurrence et croissance

La démonstration par récurrence est une technique de preuve mathématique utilisée pour prouver qu'une propriété est vraie pour une séquence infinie de nombres. Dans cet exemple, nous devons montrer par récurrence que la suite Un est strictement décroissante. Pour commencer, nous définissons la propriété P2n, qui est vraie pour le rang n. Dans ce cas, nous devons montrer que Un+1 est plus petit que Un. Nous voulons prouver que P2n est vrai pour tous les rangs naturels n. Nous commençons par l'initialisation en calculant U1 et U0 pour n=0. Dans cet exemple, U1 est égal à -2 et U0 est égal à 2, ce qui est correct. Ensuite, nous passons à l'hérédité. Nous supposons que l'hypothèse de récurrence, c'est-à-dire que Un+1 est plus petit que Un, est vraie pour le rang n. Nous voulons montrer que Pn+1 est vrai. Nous utilisons la relation de récurrence Un+1 = 2Un - 6 pour montrer que Un+2 est plus petit que Un+1. Pour simplifier cette démonstration, nous définissons la fonction f(x) = 2x - 6, qui est une fonction affine strictement croissante. Puisque Un+1 est plus petit que Un, nous composons cette relation par la fonction f. Ainsi, nous obtenons Un+2 qui est également plus petit que Un+1. En conclu

Conjecture puis récurrence

Dans ce cours, nous allons voir comment utiliser la démonstration par récurrence pour calculer la somme des entiers de 1 à n. La formule de la somme des entiers naturels est n(n + 1)/2. Pour utiliser la démonstration par récurrence, il faut connaître le résultat que l'on veut démontrer. Dans cet exemple, nous avons besoin de connaître la formule de la somme des entiers naturels. Nous commençons par poser la proposition p2n, qui est que la somme de 1 à n vaut n(n + 1)/2. Nous montrons ensuite que p2n est vrai pour tout n. Nous commençons par l'initialisation en vérifiant que la formule est vraie pour n = 1. Ensuite, nous passons à l'hérédité en supposant que p2n est vrai pour un n quelconque et nous voulons montrer que p2n+1 est vrai. Pour cela, nous remplaçons chaque occurrence de n par n + 1 dans l'expression au rang n. Nous appliquons la formule de la somme des entiers naturels à p2n et nous obtenons n(n + 1)/2 + n + 1. En simplifiant cette expression, nous obtenons n(n + 1)/2 + 2(n + 1)/2, ce qui donne (n + 1)(n + 2)/2. Ainsi, nous avons démontré que p2n+1 est vrai. En conclusion, d'après le principe de récurrence, nous avons prouvé que la somme des entiers de 1 à n est égale à n(n + 1)/2 pour tout entier naturel non nul n. C'est ainsi que nous pouvons utiliser la démonstration par récurrence pour calculer cette somme.

Hérédité : comment démarrer ?

La démonstration par récurrence est une méthode utilisée en mathématiques pour prouver une propriété pour tous les entiers naturels (n). Dans cette vidéo, l'accent est mis sur la démonstration de l'hérédité, qui est la partie la plus complexe de la méthode. Il existe deux cas possibles pour démontrer l'hérédité. Dans les deux cas, l'hypothèse de récurrence et ce que l'on veut montrer doivent être reliés. Le premier cas consiste à partir de l'hypothèse de récurrence (Pn) et à aboutir à Pn + 1. Le deuxième cas consiste à partir de Pn + 1 et à utiliser P2n pour conclure. Les deux méthodes sont possibles et peuvent être utilisées en fonction de l'exercice. Pour illustrer ces deux cas, un exemple simple est utilisé. Une suite (U) est définie par récurrence avec U0 = 5 et Un+1 = 3Un + 6. L'objectif est de montrer que U1 est strictement positif pour tout n. La démonstration commence par poser P2n, qui est U strictement supérieur à 0. L'initialisation ne pose aucun problème car U0 vaut 5. Ensuite, l'hérédité est démontrée en utilisant les deux cas possibles. Dans le premier cas, on part de l'hypothèse de récurrence (Pn) en supposant que U est supérieur à 0. En multipliant par 3 et en ajoutant 6, on obtient que 3Un + 6 est supérieur à 6, qui est lui-même supérieur à 0. Ainsi, Un+1 est supérieur à 0. Dans le deuxième cas, on part de Pn+1, c'est-à-dire de Un+1, et on utilise l'hypothèse de récurrence (Pn). Comme Un est supérieur à 0, on peut conclure que Un+1 est également supérieur à 0. Les deux méthodes sont possibles et peuvent être utilisées selon les besoins. Il n'y a pas de meilleure méthode, tout dépend de l'exercice. Si vous rencontrez des difficultés avec l'une des méthodes, vous pouvez essayer l'autre. En conclusion, la démonstration par récurrence est une méthode utilisée pour prouver une propriété pour tous les entiers naturels. L'hérédité, qui est la partie la plus complexe, peut être démontrée en utilisant deux cas possibles. Les deux méthodes sont viables et peuvent être utilisées en fonction des besoins de l'exercice.

Test video

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Hérédité mais...

L'exercice consiste à démontrer que la proposition "9 divise 10 puissance n plus 1" est vraie pour tout entier naturel n. La question 1 demande de démontrer que si la proposition est vraie pour un entier n, alors elle est aussi vraie pour n plus 1. Pour cela, il faut utiliser le principe de récurrence. Le professeur souligne qu'il ne faut pas surinterpréter les énoncés et se focaliser uniquement sur la démonstration de l'imp

Avec une Somme

Ce cours traite d'une démonstration mathématique. L'objectif est de montrer que pour tout entier n, la somme des carrés des nombres impairs jusqu'à n est égale à la formule 2n + 3. Le cours commence par expliquer l'importance d'écrire clairement ce que l'on veut démontrer. Ensuite, l'auteur utilise des notations mathématiques pour étayer sa démonstration par récurrence. Il commence par l'initialisation, en montrant que l'égalité est vérifiée pour n = 1. Ensuite, il passe à l'hérédité, en supposant que l'égalité est vraie pour n, puis en démontrant qu'elle est également vraie pour n+1. Pour cela, il factorise certaines expressions et effectue des calculs, en utilisant la formule de la somme des impairs. En fin de compte, il conclut en montrant que l'égalité est vérifiée pour tout entier n.

Majoration 'simple'

Dans ce cours, nous cherchons à démontrer une propriété mathématique par récurrence. Nous commençons par initialiser la démonstration en montrant que pour n=1, la propriété est vérifiée. Ensuite, nous supposons que la propriété est vraie pour un certain n. Nous utilisons cette supposition pour montrer que la propriété est également vraie pour n+1. Pour cela, nous manipulons des équations et des inégalités afin de prouver que la propriété est conservée à chaque étape. Enfin, nous concluons que la propriété est démontrée pour tous les n.

Trop de puissance !

Le cours aborde le principe de trouver une suite définie par une relation de récurrence. Il explique que le processus pour trouver cette suite se fait en deux étapes : l'intuition du résultat et la démonstration de l'intuition par récurrence. L'exemple donné est une suite définie par u0 dans R, calculée en fonction de u0 et n, avec la relation un+1 = un^2. Le cours détaille l'intuition du résultat en calculant les premiers termes de la suite et en observant une pattern exponentielle. Ensuite, la démonstration par récurrence est effectuée pour prouver que la formule u0^2^n est valide pour tous les termes de la suite. L'importance de la démarche mathématique et de la capacité à se dépatouiller dans des exercices ambigus est soulignée. Cette compétence est considérée comme cruciale non seulement pour les études supérieures en mathématiques, mais également pour le baccalauréat.

Majoration plus costaude

Il s'agit d'un cours de mathématiques qui traite de la récurrence. L'objectif est de démontrer une relation mathématique en utilisant l'initialisation et l'hérédité. Dans cet extrait, l'enseignant explique comment utiliser la formule du sinus pour résoudre l'exercice. Il mentionne également l'utilisation de l'inégalité triangulaire pour simplifier les calculs. Il encourage les étudiants à connaître et à comprendre les différentes formules mathématiques afin de les utiliser efficacement dans leurs démonstrations. Le cours se termine par une conclusion sur l'importance de poser les bonnes questions pour résoudre les problèmes mathématiques.

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