Cours de Complexes en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Complexes

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Ce cours résume comment associer un nombre complexe à un point du plan en utilisant les coordonnées A et B, correspondant à la partie réelle et imaginaire du nombre complexe. On peut également associer un vecteur OM à un point M et, de la même manière, un point M à un nombre complexe Z. Ainsi, un nombre complexe Z peut être représenté par un point du plan égal au vecteur OM. De plus, on peut traiter un point comme un nombre complexe et extraire un nombre complexe à partir d'un point dans le plan. Une autre propriété importante est que pour un vecteur AB du plan, on peut associer un nombre complexe Z égal à ZB-ZA, où ZB et ZA sont les affixes respectives des points B et A. Cette propriété permet de déterminer si un quadrilatère est un parallélogramme en comparant les affixes des vecteurs AB et DC. Pour illustrer ce concept, un exemple pratique est présenté, où l'on doit trouver les coordonnées d'un point D pour que ABCD soit un parallélogramme. En utilisant les affixes des vecteurs AB et DC, on résout l'équation et trouve les coordonnées de D. Cette méthode est équivalente à l'utilisation des vecteurs et permet d'appréhender le sujet de manière progressive.

Forme trigo, Forme expo

Ce cours traite de l'écriture trigonométrique et exponentielle pour un nombre complexe. L'objectif est de décrire un point M en utilisant les coordonnées cartésiennes (A et B) ou en utilisant le module du point M (norme du vecteur OM à l'origine) et l'angle entre l'axe des abscisses et le vecteur OM. Pour passer de l'écriture A + IB à l'écriture avec le module de Z (distance à l'origine) et l'angle θ, on peut exprimer A et B en fonction de Z et θ. A = module de Z * cosθ et B = module de Z * sinθ. En factorisant par le module de Z, on obtient l'écriture trigonométrique A + IB = module de Z * (cosθ + I sinθ). Le module de Z doit toujours être positif. Ensuite, on introduit l'écriture exponentielle, qui est plus compacte et pratique. On appelle cette quantité cosθ + I sinθ, E2iθ. On remarque que E2iθ satisfait certaines propriétés similaires à celles de l'exponentielle réelle. Par définition, l'écriture exponentielle E2iθ est égale à cosθ + I sinθ.

Racines de l'unité

Ce cours traite des racines énièmes de l'unité, qui sont des nombres complexes vérifiant z^n = 1. L'ensemble total des racines est noté comme étant z = E^(2iπk/n), avec k variant de 0 à n-1. La démonstration repose sur le fait qu'une équation de degré n a au plus n solutions, et en substituant différentes valeurs de k dans l'expression, on obtient n valeurs distinctes qui vérifient la condition. On peut interpréter ces racines comme des nombres de module 1, associés à des angles (arguments). Par exemple, pour n=3, les solutions sont 0, E^(2iπ/3) et E^(4iπ/3), correspondant à une division du cercle en 3 parties égales. La méthode pour résoudre une équation z^n = z_0 consiste à exprimer z_0 sous forme exponentielle, puis à prendre la racine n-ième de z_0, et enfin à utiliser le résultat précédent pour trouver les valeurs de z. L'article inclut également un exemple de résolution de l'équation Z-1^n = -2.

Savoir-faire : les médiatrices

En géométrie, on peut repérer un point de deux manières. La première consiste à utiliser ses coordonnées (abscisse et ordonnée), ce qui correspond au complexe A + B. La deuxième manière est d'utiliser sa distance par rapport à l'origine et l'angle qu'il forme avec l'axe des abscisses. Cette méthode permet de trouver un point unique. La norme du vecteur OM est équivalente au module du complexe Z associé et l'angle entre le vecteur OM et l'axe OX est appelé l'argument de Z. On peut représenter une distance AB comme la différence entre deux nombres complexes (ZB - ZA). Un concept important à retenir est que lorsque vous devez trouver l'ensemble des points vérifiant une relation, il est possible de traduire cela en termes de distances et d'utiliser des complexes pour trouver la médiatrice ou le cercle correspondant. Si vous avez une relation du type Z - ZA = Z - ZB, vous savez que les points correspondants sont sur la médiatrice de AB. Cette technique est très courante et doit être maîtrisée. Il est important de reconnaître ces situations dès le départ et de ne pas les redécouvrir à chaque fois.

Savoir-faire : les cercles

Dans ce cours, nous avons discuté de la représentation des points dans le plan en utilisant des coordonnées polaires. On a vu qu'un point peut être défini à la fois par sa distance à l'origine et son angle avec l'axe des abscisses. Cette représentation peut être traduite en utilisant des nombres complexes, où la norme correspond à la distance du point à l'origine et l'argument correspond à l'angle avec l'axe des abscisses. Nous avons également abordé la notion de cercle et sa définition mathématique. Un cercle est l'ensemble des points équidistants d'un point fixe, appelé centre du cercle. On peut traduire cette définition en utilisant des nombres complexes en exprimant la distance entre un point du cercle et le centre en tant que module du nombre complexe correspondant. Ensuite, nous avons discuté de la manière de reconnaître des équations qui décrivent des cercles dans le plan. Une équation de la forme module de z plus d'autres termes égal à une constante peut être associée à un cercle, où z est un nombre complexe représentant un point du cercle. Finalement, nous avons vu un exemple où une équation module de z plus d'autres termes égal à 4 était donnée. En réarrangeant l'équation et en choisissant un point arbitraire comme centre du cercle, on a pu conclure que les points satisfaisant cette équation appartenaient au cercle de centre -7-2i et de rayon 4. J'espère que cela a été clair. N'hésitez pas à poser des questions si nécessaire, et à bientôt dans une prochaine vidéo.

Forme expo 1 : méthode type

Dans cette vidéo, nous cherchons à trouver la forme exponentielle de 2-2i en utilisant la méthode classique. Nous commençons par trouver z, puis nous factorisons pour faire apparaître cosθ plus i sinθ. Le module de z est calculé en utilisant la formule √a2 plus b2, ce qui nous donne 2√2. Ensuite, nous factorisons 2-2i par 2√2, ce qui donne 1 sur √2 moins i fois 1 sur √2. Pour éliminer les racines au dénominateur, nous multiplions en haut et en bas par √2, ce qui nous donne √2 sur 2 moins i√2 sur 2. Nous remarquons que cette forme correspond à un angle classique, π sur 4. Cependant, nous remarquons également un signe négatif, ce qui indique que l'angle est en réalité -π sur 4. Nous pouvons donc réécrire 2-2i sous la forme cos -π sur 4 plus i sin -π sur 4. En conclusion, la forme exponentielle de 2-2i est cos -π sur 4 plus i sin -π sur 4. Dans la prochaine vidéo, nous verrons une méthode plus astucieuse pour résoudre ce problème.

Forme expo 2 : + rapide

Dans cette transcription vidéo, l'enseignant aborde deux méthodes pour résoudre des exercices sur les nombres complexes. La première méthode est la méthode classique, où l'on calcule le module de l'élément complexe et on factorise le nombre pour trouver la forme cosθ plus sinθ. La deuxième méthode, plus astucieuse, consiste à utiliser des valeurs d'angles classiques très couramment utilisées dans les exercices de lycée et de mathématiques supérieures. Ces angles courants sont π sur 6, π sur 4 et π sur 3. L'enseignant conseille de les apprendre par cœur, ainsi que la forme algébrique et trigonométrique exponentielle correspondante. En utilisant cette méthode astucieuse, l'enseignant explique comment résoudre rapidement des exercices en reconnaissant les nombres complexes courants et leur forme trigonométrique exponentielle. L'enseignant encourage également les élèves à bien maîtriser les formules et à savoir les reconnaître, car une fois cela acquis, cela permet de résoudre les exercices plus rapidement. Il précise toutefois que dans les premières séances ou les premiers contrôles, il est préférable de suivre la méthode classique pour bien comprendre le processus. En conclusion, l'enseignant souligne l'importance d'apprendre et de reconnaître les nombres complexes courants en forme trigonométrique exponentielle pour résoudre les exercices plus efficacement. Note: Le résumé a été rédigé en gardant à l'esprit les bonnes pratiques de référencement pour les moteurs de recherche (SEO friendly).

Forme expo 3 : erreur type !

Dans ce cours, il est expliqué comment résoudre des exercices sur les nombres complexes. L'auteur met en garde contre les pièges et les erreurs fréquentes, notamment en ce qui concerne la forme exponentielle d'un nombre complexe. Il explique qu'il faut faire attention à utiliser la bonne formule, qui est le module du nombre complexe multiplié par l'exponentielle de l'argument, et non pas simplement l'exponentielle de l'argument. L'auteur utilise un exemple pour illustrer son propos. Il présente un nombre complexe de la forme -3 + 3i et explique comment le calculer en utilisant la forme exponentielle. Il montre que la forme correcte est en réalité 3√2 * e^(iπ/4). Pour éviter les erreurs, l'auteur propose une astuce : lorsqu'il y a un moins devant un nombre complexe, il peut être remplacé par l'exponentielle de l'angle pi. Cela permet d'obtenir la bonne forme exponentielle sans perdre de points lors d'un contrôle. En conclusion, l'auteur recommande de faire attention aux erreurs fréquentes dans les exercices sur les nombres complexes et propose une astuce pour éviter de perdre des points en utilisant la bonne forme exponentielle.

Forme expo → algébrique

Dans cette vidéo, on utilise la forme exponentielle pour trouver la forme algébrique de z puissance 11. On pose z égale à 2EI pi sur 4. On écrit z puissance 11 en forme exponentielle en utilisant les formules de l'exponentielle complexe. On utilise la propriété de l'exponentielle complexe qui dit que E2Iθ puissance n est égal à E2Inθ. On fait rentrer le 11 dans le Ipi sur 4 pour obtenir z puissance 11 égale à 2 puissance 11 fois E2I11pi sur 4. On remarque que les puissances de l'exponentielle complexe ajoutent des angles et parfois font des tours complets autour du cercle. On remarque que 11pi sur 4 est proche de 12pi sur 4 qui est égal à 3pi. On exprime 11pi sur 4 comme 8pi sur 4 plus 3pi sur 4. On peut alors remplacer 11pi sur 4 par 2pi sur 11 cos 3pi sur 4 plus i sin 3pi sur 4. On simplifie cette expression et on obtient la forme algébrique de z puissance 11 égale à 2 puissance 10 racine de 2 fois moins 1 plus i. La partie réelle est 2 puissance 10 racine de 2 fois moins 1 et la partie imaginaire est 2 puissance 10 racine de 2. On utilise les propriétés de l'exponentielle complexe pour trouver le bon angle et les différentes rotations nécessaires pour obtenir les valeurs du cosinus et du sinus.

Classique : trouver un cos

Ce cours aborde le sujet des nombres complexes et la manière de les exprimer sous différentes formes, à savoir la forme algébrique et la forme exponentielle. L'objectif est de trouver une expression algébrique de cos(pi/12), en utilisant les propriétés des complexes. Pour y parvenir, on utilise les relations connues entre les angles tels que pi/2, pi/3, pi/4, etc. On fait alors une remarque cruciale : pi/12 peut être exprimé comme (pi/3) - (pi/4). Grâce aux propriétés de l'exponentielle, on peut exprimer E^(2i(pi/12)) comme E^(2i(pi/3)) * E^(-2i(pi/4)), ce qui permet ensuite de l'exprimer en forme algébrique. En effectuant les calculs nécessaires, on obtient les valeurs de la partie réelle et de la partie imaginaire de E^(2i(pi/12)), qui correspondent respectivement à cos(pi/12) et sin(pi/12). Ainsi, on peut exprimer cos(pi/12) en forme algébrique.

Astuce : angle moitié

Ce cours présente une méthode pour résoudre un exercice de mathématiques qui implique des nombres complexes. L'objectif est de trouver une forme exponentielle pour l'expression Z + Z' et Z - Z'. Pour cela, il est recommandé de factoriser les expressions en utilisant une astuce appelée "factorisation par l'angle moitié". Cette astuce consiste à créer une expression contenant un nombre et son conjugué, ce qui permet d'obtenir une forme plus simple. Ensuite, il est possible d'utiliser cette forme factorisée pour résoudre des équations ou résoudre des problèmes. Il est important de vérifier la positivité des angles pour trouver la forme exponentielle correcte. En résumé, il s'agit de factoriser les expressions, utiliser la formule de la somme ou de la différence des exponentielles, et vérifier la positivité des angles pour obtenir la forme exponentielle correcte.

Linéariser cos³ !

Dans ce cours, l'objectif est de trouver une expression pour cos3θ en fonction de cos2θ. Pour cela, on utilise la formule de Moivre : E2iθ³ = cos3θ + isin3θ. On sait que la partie réelle de E2iθ³ est cos3θ, ce qui nous intéresse. On utilise ensuite la formule du binôme de Newton pour développer (cosθ + isinθ)³ et identifier les termes ayant une partie réelle intéressante. On obtient ainsi cos3θ = cos³θ - 3cosθsin²θ. Pour se débarrasser du sin²θ, on utilise la formule trigonométrique fondamentale cos²θ + sin²θ = 1. En remplaçant sin²θ par 1-cos²θ, on obtient finalement cos3θ = 4cos³θ - 3cosθ. Ainsi, on a isolé cos³θ en fonction de cosθ. Cette méthode d'identification et de manipulation des expressions est très courante en mathématiques.

Lieu géométrique avec l’argument

Dans cette vidéo, Paul explore les relations entre des équations avec des complexes et des objets géométriques. Dans la première question, il cherche à déterminer l'ensemble des points M dont l'affixe Z vérifie la relation complexe Z-2 = rho * i, avec rho appartenant à R+. En termes géométriques, cela signifie que les points M se trouvent sur une demi-droite partant de l'origine et tournant de pi/2, décalée vers la droite de 2. Dans la deuxième question, la relation est l'argument de Z / (1 + i) = pi/2 mod 2pi. En utilisant la forme exponentielle du nombre complexe 1 + i, Paul trouve que les points M sont situés sur une demi-droite partant de l'origine et passant par le point (-1, 1). Dans la troisième question, Paul cherche les points M tels que l'argument de (Z-2i) / (Z-1+i) = pi/2 mod pi. Il introduit les points A (0,2) et B (1,1) qui permettent d'écrire l'argument en termes d'angles entre les vecteurs MB et MA. Finalement, il conclut que l'ensemble des points M forme un cercle dont le rayon est le segment AB. C'est ainsi que Paul résume le contenu de cette vidéo orientée vers les relations entre équations complexes et objets géométriques.

Lieu géométrique avec le module

Dans cette vidéo, Paul explique comment déterminer le lieu géométrique des points M dont la fixe Z vérifie certaines relations sur le module. Il commence par assimiler le plan complexe au repère OUV. Ensuite, il pose Z comme étant égal à A + IB pour simplifier les calculs. Il réécrit l'équation de la relation module et utilise les carrés des modules pour faciliter les calculs. Finalement, il détermine que les points M recherchés appartiennent à la droite des réelles, c'est-à-dire la droite des abscisses sur le plan OUV. Pour la deuxième question, il utilise la même méthode et détermine que les points M recherchés sont également sur la droite des réelles. Ainsi, l'ensemble des points M pour les deux questions est la même, c'est la droite des réelles.

Transformations du plan

Dans cet exercice, nous abordons les transformations géométriques du plan complexe. Nous devons déterminer la nature des éléments caractéristiques de ces transformations. La première question concerne une rotation de centre haut et d'angle -π/2, représentée par l'écriture complexe z → 1/(iz). La deuxième question concerne une translation du vecteur d'affix i, représentée par l'écriture complexe z → z + 2i. La troisième question concerne une similitude de centre (1,1), rapport 2 et angle π/3, représentée par l'écriture complexe z → (1 + i√3)z. La quatrième question concerne une similitude d'angle α et de centre (1,0), représentée par l'écriture complexe z → (1 + i tanα)z - i tanα. La réponse à chaque question est résumée de manière claire et concise, en utilisant des termes SEO-friendly.

Lieux géométriques

Dans cette vidéo, Paul aborde un exercice sur les nombres complexes et leur interprétation géométrique. L'exercice consiste à déterminer le lieu géométrique des points M dont l'affixe Z satisfait une certaine condition. Paul explique que pour avoir trois points alignés, l'argument de la différence des affixes de ces points doit être égal à 0 modulo pi. Il précise également que si au moins deux points sont égaux, alors ils sont automatiquement alignés. Ensuite, il considère une condition sur la partie réelle de Z-1 divisée par Z-I, et il la traduit en termes d'arguments complexes. Il en déduit que le triangle formé par les points 1, I et Z est rectangle, quel que soit Z appartenant au cercle de centre racine de 2 et de diamètre 1. Pour la deuxième question, Paul montre que les points vérifiant la condition de la partie réelle de Z-1 divisée par Z-I égale à 0 appartiennent également au même cercle. Enfin, pour la troisième question sur un triangle rectangle formé par les points M, P et Q, Paul rappelle qu'ils doivent être distincts pour former un triangle. Il explique comment traduire cette condition en termes d'arguments complexes et montre que les points M correspondants forment une droite d'équation X égale à moins 1. Puis il détermine les droites correspondantes aux points P et Q, qui sont l'axe des imaginaires purs et une droite parallèle à l'axe des réels passant par le point (-1, 0). Enfin, Paul conclut l'exercice en récapitulant les résultats obtenus pour chaque condition et en soulignant que les points M forment un cercle de centre (-1, 0) et de rayon 1,5.