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Révisions Maths lycée
Analyse Terminale
MPSI/PCSI
Déf fondamentale
Dans ce cours, nous abordons le concept de logarithme et ses propriétés. Le logarithme naturel, noté ln, est une fonction définie sur les nombres réels strictement positifs. Il associe à tout nombre réel positif x, l'unique solution de l'équation E2y = x pour un y donné. Par exemple, si nous avons E2y = 2, nous pouvons utiliser le logarithme de 2 (log 2) pour représenter la solution.
Le logarithme inverse de l'exponentielle est également une propriété importante. Mathématiquement, pour tout x positif, l'exponentielle de log x est égale à x. De même, pour tout x appartenant à R, le logarithme de l'exponentielle de x est égal à x. Ces deux fonctions sont donc réciproques l'une de l'autre, tout comme la racine carrée et le carré. Cependant, il est important de noter que le logarithme est uniquement défini pour les x positifs, contrairement à l'exponentielle qui est définie pour tous les réels.
Nous avons également mentionné quelques valeurs particulières telles que log 1 = 0, log e = 1 et log(1/e) = -1. Il est crucial de faire attention aux ensembles d'existence pour ces égalités, car ils diffèrent pour le logarithme et l'exponentielle.
En résumé, le logarithme est une fonction qui permet de trouver l'unique solution d'une équation exponentielle et possède une relation réciproque avec l'exponentielle. Il est important de prendre en compte les ensembles de définition pour éviter les erreurs.
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Analyse Terminale
MPSI/PCSI
Simplifier des expressions
Dans ce cours, nous traitons des propriétés et des méthodes pour résoudre des inéquations avec des exponentielles et des logarithmes. Voici un résumé SEO-friendly des différentes équations et inéquations traitées dans la vidéo :
1. Équation : ln(x) = 2
- Composez par l'exponentielle pour obtenir x = e^2.
2. Équation : e^x + 1 = 5
- Composez par le logarithme pour obtenir x + 1 = ln(5).
- Résolvez pour x en soustrayant 1 de chaque côté : x = ln(5) - 1.
3. Équation : 3ln(x) - 4 = 8
- Divisez par 3 pour obtenir ln(x) - 4/3 = 8/3.
- Composez par l'exponentielle pour obtenir x = e^(4/3).
4. Inéquation : ln(6x - 1) > 2
- Vérifiez que l'expression à l'intérieur du logarithme est strictement positif (6x - 1 > 0).
- Composez par l'exponentielle pour obtenir 6x - 1 > e^2.
- Résolvez pour x en trouvant que x > (e^2 + 1)/6.
5. Inéquation : e^x + 5 > 4e^x
- Rassemblez tous les termes exponentiels ensemble pour obtenir e^x < 5/3.
- Composez par le logarithme pour obtenir x < ln(5/3).
6. Équation : ln(x - 3) + ln(9 - x) = 0
- Rassemblez les termes logarithmiques pour obtenir ln((x - 3)(9 - x)) = 0.
- Composez par l'exponentielle pour obtenir (x - 3)(9 - x) = 1.
- Résolvez l'équation quadratique pour trouver les solutions x1 = 6 + racine(8) et x2 = 6 - racine(8).
- Vérifiez que ces solutions sont dans l'intervalle valide (3, 9).
7. Inéquation : ln(3 - x) - ln(x + 1) < 0
- Vérifiez les valeurs possibles pour x (3 - x > 0 et x + 1 > 0), ce qui donne -1 < x < 3.
- Rassemblez les termes logarithmiques en utilisant la propriété ln(a) - ln(b) = ln(a/b) pour obtenir ln((3 - x)/(x + 1)) < 0.
- Composez par l'exponentielle pour obtenir (3 - x)/(x + 1) < 1.
- Multipliez par (x + 1) sans changer le sens de l'inégalité (car (x + 1) > 0), ce qui donne 3 - x < x + 1.
- Résolvez l'inéquation pour trouver x > 2.
Il est important de toujours considérer l'ensemble de définition de l'équation ou de l'inéquation traitée afin d'exclure les solutions invalides. Il est également essentiel de faire attention aux signes lors de la manipulation d'équations et d'inéquations. Le regroupement des termes logarithmiques et exponentiels est une méthode utile pour résoudre ces types de problèmes.
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Analyse Terminale
MPSI/PCSI
Équations Inéquations
Ce cours sur les inéquations avec logarithmes explique comment résoudre une équation donnée en isolant le terme en ln. Après avoir vérifié l'ensemble de définition de l'inéquation, l'objectif est de composer par l'exponentiel pour isoler le ln. Ensuite, on résout l'équation simple obtenue et on prend en compte l'ensemble de définition initial pour déterminer l'intervalle solution. Attention à bien faire correspondre les ensembles de définition pour éviter les erreurs. Cette méthode consiste donc à isoler le terme en logarithme, composer par l'exponentiel et prendre l'intersection de la solution finale avec l'ensemble de définition initial.
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Analyse Terminale
MPSI/PCSI
Exposant=Inconnue ?
Ce cours traite de l'utilisation de l'exponentiel et du logarithme pour résoudre des inéquations avec des exposants. Il mentionne que ces calculs sont notamment utilisés en physique, par exemple pour déterminer la durée à partir de laquelle une certaine quantité d'atomes radioactifs a disparu. Pour résoudre ces équations, on utilise la définition de l'exponentiel pour les puissances. Lorsque l'exposant n'est pas un entier, il est défini comme étant égal à e^(B ln A), où e est la constante d'Euler et ln désigne le logarithme népérien. A partir de cette définition, on résout les équations en utilisant les propriétés du logarithme. Il est important de vérifier la cohérence des signes lors de la résolution des équations.
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Analyse Terminale
MPSI/PCSI
Courbe et Tangentes
Ce cours traite de l'étude du logarithme et de sa tangente en un point précis. On nous demande de trouver l'équation de la tangente au point d'abscisse 1. La fonction logarithme est dérivable sur R*, sa dérivée est 1/x et évaluée en 1, cela donne 1.
La position relative de la courbe par rapport à sa tangente peut être déterminée en étudiant la concavité de la fonction. La dérivée seconde est 1/x^2 et est strictement négative pour tout x positif. Cela signifie que la fonction est concave et donc en dessous de toutes ses tangentes, y compris celle au point d'abscisse 1.
Une autre approche consiste à étudier les variations de la fonction en calculant sa dérivée. On pose une fonction auxiliaire g(x) = ln(x) - x + 1. En étudiant le signe de g'(x) = 1/(x-1), on peut construire un tableau de variations qui montre que g(x) est inférieure à 0 pour tout x, avec égalité en x=1.
En conclusion, la tangente au point d'abscisse 1 de la fonction logarithme a pour équation y = x - 1. Il est préférable de considérer la concavité de la fonction pour déterminer la position relative de la courbe par rapport à sa tangente.
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Analyse Terminale
MPSI/PCSI
On redécouvre le log ?!
Dans ce cours, on nous demande de déterminer les fonctions qui vérifient f2ab = f2a + f2b et f'(1) = 1.
On remarque que la relation fonctionnelle du logarithme ressemble à cette équation. On va donc essayer de redémontrer certaines propriétés du log.
Tout d'abord, on démontre que pour toute fonction f non nulle, il n'est pas possible de définir la fonction en 0. On suppose que cela est possible et on utilise la relation donnée pour trouver que f(0) = 0. Si on prend b = 0 et a non nulle, on obtient f(a) = 0. Donc pour tous les réels possibles, f est égal à 0. Cela contredit notre hypothèse de départ que f est non nulle. Donc la fonction ne peut pas être définie en 0.
Ensuite, on montre que f(1) = 0. On remplace a et b par 1 dans la relation donnée et on trouve que 2f(0) = f(0), donc f(0) = 0.
Enfin, on démontre que f(x/y) = f(x) - f(y). On remarque que cette équation ressemble à la démonstration de log(a/b) = log(a) - log(b). On réapplique la même méthode et on trouve que f(x/y) = -f(y). Cela nous permet de conclure que f(x/y) = f(x) - f(y).
En résumé, on a montré que si une fonction vérifie f(2ab) = f(2a) + f(2b) et f'(1) = 1, alors cette fonction a toutes les propriétés du logarithme. On peut donc dire que ces deux conditions suffisent pour définir fondamentalement le log.
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MPSI/PCSI
Une nouvelle définition de l'exp
Le cours aborde des concepts plus techniques en mathématiques, en particulier sur les logarithmes et les limites. Il explique la propriété principale du logarithme, qui est que le logarithme d'une puissance de A est égal à N fois le logarithme de A. Cette propriété permet de simplifier les expressions mathématiques complexes impliquant des puissances.
Le cours souligne également l'importance de connaître les propriétés des logarithmes et des limites pour résoudre des problèmes plus avancés. L'utilisation du logarithme peut aider à simplifier les expressions et à trouver des limites.
Le cours montre comment utiliser les propriétés des logarithmes pour démontrer que certaines expressions sont bien définies et pour calculer des limites. Il utilise également des formules du cours pour manipuler les expressions mathématiques et trouver des équivalences.
Enfin, le cours conclut en montrant que la limite de log de U, N est égale à A, ce qui démontre l'équivalence entre l'exponentielle et le logarithme.
En résumé, le cours explique l'utilisation des logarithmes pour simplifier les expressions mathématiques et trouver des limites. Il met en évidence l'importance de connaître les propriétés des logarithmes et des limites pour résoudre des problèmes plus avancés en mathématiques.
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Analyse Terminale
BCPST
Déf fondamentale
Dans cette vidéo, nous abordons la notion de logarithme. Le logarithme est une fonction notée ln, qui est définie sur l'intervalle des nombres réels strictement positifs. Cette fonction associe à chaque nombre réel positif x, l'unique solution y de l'équation E2y = x. Le logarithme permet de résoudre des équations exponentielles telles que E2y = 1, en trouvant la valeur de y qui est égal à 0. Cependant, pour des équations plus complexes comme E2y = 2, nous utilisons le log de 2 pour représenter la solution. De manière générale, la fonction logarithme et la fonction exponentielle sont inverses l'une de l'autre. Par exemple, pour tout nombre positif x, l'exponentielle de log de x est égal à x. De même, pour tout nombre réel x, le logarithme de l'exponentielle de x est égal à x. Il est important de noter que le logarithme est défini uniquement pour les nombres réels positifs, ce qui différencie cette fonction de la racine carrée, qui peut être calculée pour tout nombre réel. En résumé, le logarithme est une fonction inversée de l'exponentielle, et il fournit des solutions aux équations exponentielles. Il convient de faire attention aux valeurs particulières telles que ln(1) = 0, ln(e) = 1, et ln(1/e) = -1. En résumé, cette vidéo nous présente les propriétés et la définition du logarithme, en mettant l'accent sur sa relation avec l'exponentielle et en clarifiant les différences avec la racine carrée.
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Analyse Terminale
BCPST
Simplifier des expressions
Bienvenue dans le monde du logarithme ! Dans ce cours, nous allons explorer les propriétés importantes pour résoudre des inéquations avec l'exponentiel et le logarithme. Nous allons les aborder une par une et les résoudre.
Pour la première propriété, nous commençons par une équation assez simple : ln(x) = 2. Il est important de noter que lorsqu'on compose avec l'exponentiel ou le logarithme, qui sont des fonctions croissantes, cela joue un rôle important pour les inégalités. Lorsque nous compons avec ln, nous devons vérifier que nous avons bien quelque chose de strictement positif, car la fonction ln est définie uniquement sur l'ensemble des réels positifs. En composant avec l'exponentiel, il n'y a jamais de problème. Donc, ln(x) composé avec e de ln(x) donne x, et e de 2 donne e^2. Ainsi, nous trouvons que la solution est x = e^2.
Ensuite, pour la deuxième équation : e^x + 1 = 5. Nous composons avec le logarithme, et comme e^x + 1 est toujours positif et que 5 est strictement positif aussi, nous pouvons composer avec le logarithme entre les deux. Par conséquent, cela donne x + 1 = ln(5), et nous trouvons immédiatement que x = ln(5) - 1.
Pour la troisième équation : 3ln(x) - 4 = 8. Nous devons faire attention à l'ensemble de définition de l'équation, qui est R*+ (l'ensemble des réels strictement positifs). Notre objectif est d'isoler ln(x) et de composer avec l'exponentiel à la fin. Donc nous avons ln(x) = 4/3, et en composant avec l'exponentiel, nous obtenons x = e^(4/3).
Maintenant, passons aux inéquations. La première : ln(6x - 1) > 2. Nous devons premièrement vérifier que l'inéquation est bien définie, dans ce cas-ci pour les valeurs de x supérieures à 1/6. Nous composons avec l'exponentiel, et cela donne 6x - 1 = e^2. Ainsi, nous trouvons que x doit être supérieur à e^2 + 1/6. Il est important de vérifier que cela ne contredit pas l'hypothèse initiale. Dans ce cas-ci, évidemment il est plus grand que 1/6 car e^2 est positif.
La deuxième inéquation : e^x + 5 > 4e^x. Il y a des exponentielles de x à deux endroits, il ne faut donc pas composer avec le logarithme tout de suite. Nous essayons de rassembler les exponentielles ensemble. Donc nous avons 5 > 3e^x, c'est-à-dire e^x < 5/3. En composant avec la fonction ln, qui est strictement croissante sur R*+, nous obtenons x < ln(5/3). Ainsi, notre solution est que x est inférieur à ln(5/3).
Pour la troisième inéquation : ln(x - 3) + ln(9 - x) > 0. Nous pouvons rassembler les ln, donc cela donne ln((x - 3)(9 - x)) > 0. En composant avec l'exponentiel, nous obtenons (x - 3)(9 - x) > 1. C'est une équation quadratique classique, et nous trouvons que les solutions sont x = 6 + sqrt(8) et x = 6 - sqrt(8). Cependant, il faut vérifier si ces solutions conviennent, car l'équation n'est pas définie sur R tout entier. Il faut que x soit supérieur à 3 et que 9 - x soit supérieur à 0. Donc, les solutions x = 6 + sqrt(8) et x = 6 - sqrt(8) sont valides car elles appartiennent à l'intervalle 3, 9.
Enfin, pour la dernière équation : ln(3 - x) - ln(x + 1) < 0. Nous commençons par déterminer l'intervalle de définition de l'inéquation, qui est -1 < x < 3. Nous utilisons la propriété ln(a) - ln(b) = ln(a/b), et cela donne ln((3 - x)/(x + 1)) < 0. Nous isolons les termes contenant x, ce qui donne 3 - x > x + 1, et donc x > 2. Ainsi, la solution est que x doit être supérieur à 2 lorsque nous intersectionnons cet intervalle avec l'intervalle initial, nous trouvons la solution 2,3.
En résumé, lors de la résolution d'inéquations ou d'équations avec l'exponentiel et le logarithme, il est important de toujours vérifier l'ensemble de définition à la base. Il faut également rassembler au maximum les termes en exponentiel ou en ln, et composer avec la fonction réciproque uniquement à la fin. Il est également crucial de ne pas oublier de prendre en compte les signes lorsqu'on divise ou multiplie par quelque chose dont le signe n'est pas clair.
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Analyse Terminale
BCPST
Équations Inéquations
Ce cours concerne la résolution d'une inéquation contenant un logarithme. L'équation proposée pour la résolution est 3-ln(2x + 1)/2 > 1. La méthode consiste à isoler le terme en ln en le composant par l'exponentielle. Il est important de vérifier l'ensemble de définition de l'inéquation, qui est -1/2 < 2x + 1 < ∞. En isolant ln, il devient -2ln(2x + 1) > -3. Ensuite, en multipliant par -1 et en inversant le sens de l'inégalité, on obtient 2x + 1 < e^4. En isolant x, on trouve x < (e^4 - 1)/2. Il est essentiel de vérifier que cette solution est incluse dans l'ensemble de définition initial, ce qui est le cas. Ainsi, l'intervalle solution est -1/2 < x < (e^4 - 1)/2. Il est important de faire attention aux ensembles de définition pour éviter des erreurs. La méthode consiste à isoler le terme en logarithme, composer par l'exponentielle et prendre l'intersection de la solution avec l'ensemble de résolution initial.
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Analyse Terminale
BCPST
Exposant=Inconnue ?
Dans ce cours, nous utilisons l'exponentiel et le logarithme pour résoudre des inéquations avec un exposant. Cela est souvent rencontré en physique pour des calculs liés à la radioactivité, comme la recherche de la durée après laquelle 80% des atomes radioactifs ont disparu.
Nous utilisons la définition de l'exponentiel pour les puissances, car cela n'est pas clairement défini lorsque l'exposant est un nombre décimal. La formule correcte pour A puissance B est E de B ln de A.
En utilisant cette définition, nous résolvons l'inéquation 1/5 puissance n < 0,01. Nous isolons l'exponentielle et utilisons ensuite des propriétés du logarithme pour simplifier l'expression. Finalement, nous trouvons que n est supérieur à ln(0,01) / ln(5).
Pour vérifier que nos résultats sont cohérents, nous observons que 1/5 est une suite géométrique qui tend vers 0 lorsque n devient grand. Donc, il est cohérent de trouver n supérieur à un certain seuil.
Nous appliquons la même méthode pour résoudre une autre inéquation, 1,22 puissance n > 10 puissance 5. En utilisant le même processus, nous trouvons que n est supérieur à ln(10) / ln(1,2), ce qui est également cohérent.
Le conseil général est de revenir à la définition exponentielle et logarithmique pour résoudre des inéquations avec des exposants, puis d'appliquer les méthodes précédentes. En cas de doute sur les signes, il est recommandé de vérifier si les résultats sont cohérents.
N'hésitez pas à consulter la FAQ si vous avez des questions supplémentaires.
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Analyse Terminale
BCPST
Courbe et Tangentes
Dans ce cours, nous étudions la fonction logarithme et nous cherchons à trouver l'équation de sa tangente au point d'abscisse 1.
Pour cela, nous commençons par calculer la dérivée de la fonction logarithme qui est égale à 1/x. En évaluant cette dérivée en 1, nous obtenons une valeur de 1.
En utilisant ensuite l'équation de la tangente, y = f'(1) * (x - 1) + f(1), nous simplifions et obtenons y = x - 1.
Nous sommes ensuite invités à déterminer la position relative de la courbe par rapport à sa tangente. Pour cela, nous pouvons utiliser deux méthodes : la convexité et la concavité, ou une étude de fonction classique.
Dans la première méthode, nous calculons la seconde dérivée de la fonction logarithme qui est égale à 1/x^2. Puisque cette dérivée est strictement négative, cela signifie que la fonction est concave. Une courbe concave se situe en dessous de toutes ses tangentes, y compris celle passant par le point d'abscisse 1. Nous le vérifions également graphiquement.
Dans la deuxième méthode, nous posons une fonction auxiliaire g(x) = ln(x) - x + 1. Nous étudions les variations de cette fonction en calculant sa dérivée, qui est égale à 1/(x-1). En analysant le signe de cette dérivée, nous constatons que g(x) est positif pour x appartenant à ]0,1[ et négatif pour x supérieur à 1. En calculant g(1), nous trouvons une valeur de 0. Nous pouvons donc conclure que g(x) est inférieur à 0 pour tout x, ce qui signifie que la différence entre la fonction logarithme et sa tangente en 1 est négative ou nulle.
En résumé, nous avons trouvé que l'équation de la tangente de la fonction logarithme au point d'abscisse 1 est y = x - 1. La courbe de la fonction logarithme est concave et se situe en dessous de sa tangente en 1, comme le confirment les deux méthodes utilisées.
Note : L'utilisation de mots-clés pertinents pour le référencement dans le résumé peut inclure : logarithme, tangente, équation, abscisse, dérivée, concavité, convexité, courbe.
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Analyse Terminale
BCPST
On redécouvre le log ?!
Dans ce cours, nous cherchons à déterminer les fonctions qui vérifient les conditions suivantes : f(2ab) = f(2a) + f(2b) et f'(1) = 1. Nous remarquons que cela ressemble à la relation fonctionnelle du logarithme. Nous supposons que f est non nulle et nous montrons par l'absurde que f ne peut pas être définie en 0. En supposant que f est définie en 0, nous obtenons f(0) = 0. Nous essayons ensuite de montrer que f est égale à 0 pour tous les réels possibles en prenant des valeurs simples pour a et b. Cependant, cela entraîne une contradiction avec la condition de non-nullité de f. Nous concluons donc que f ne peut pas être définie en 0.
Ensuite, nous considérons des fonctions définies sur les réels positifs non nuls. Nous montrons rapidement que f(1) = 0 et que f(x/y) = f(x) - f(y). Pour démontrer cette dernière propriété, nous utilisons une astuce similaire à celle utilisée pour démontrer que log(a/b) = log(a) - log(b). Nous remarquons que f(x/y) peut être écrit comme f(x) * (1/y), ce qui est égal à f(1) = 0 compte tenu de notre démonstration précédente. Nous concluons donc que f(x/y) = f(x) - f(y).
Nous passons ensuite à l'étude des taux d'accroissement et montrons que f'(x) = 1/x. Nous écrivons f(x + h) en utilisant la propriété précédente et la valeur de f(1) = 0. En simplifiant l'expression et en prenant la limite lorsque h tend vers 0, nous montrons que cela équivaut à f'(x) = 1/x.
Enfin, nous déterminons le sens de variation de f sur l'intervalle (0, +∞) en examinant le signe de f. Nous avons déjà montré que f(1) = 0, donc f est négatif pour les valeurs de x inférieures à 1 et positif pour les valeurs de x supérieures à 1.
En résumé, ce cours démontre comment retrouver les propriétés du logarithme en utilisant les conditions f(2ab) = f(2a) + f(2b) et f'(1) = 1. Nous montrons également que f(1) = 0, f(x/y) = f(x) - f(y) et f'(x) = 1/x. Nous concluons en déterminant le sens de variation de f sur l'intervalle (0, +∞).
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BCPST
Une nouvelle définition de l'exp
Ce cours aborde des concepts plus techniques et avancés en mathématiques, notamment en lien avec les logarithmes et les puissances. L'auteur explique la propriété principale du logarithme, qui permet de simplifier des expressions avec des puissances. L'utilisation du logarithme permet de résoudre des équations et de démontrer certaines limites. L'auteur souligne également l'importance de connaître les différentes propriétés et formules mathématiques pour résoudre ces problèmes. La démonstration démontre comment utiliser ces formules pour simplifier une expression complexe et trouver une limite. Finalement, l'auteur applique ces concepts à la convergence de l'exponentielle pour montrer que l'expression proposée tend vers une valeur spécifique.
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Analyse Terminale
ECG
Déf fondamentale
Le cours porte sur la fonction logarithme, notée ln, qui est définie sur l'ensemble des réels positifs et qui associe à tout nombre réel strictement positif x, l'unique solution de l'équation E2y = x. On définit donc ln(x) comme solution de l'équation E2y = x. Cette fonction logarithme est réciproque de la fonction exponentielle. On a ainsi les propriétés suivantes : pour tout x positif, ln(e^x) = x et pour tout x réel, e^(ln(x)) = x. Certaines valeurs particulières sont également à retenir, telles que ln(1) = 0, ln(e) = 1 et ln(1/e) = -1. Il est important de noter que ln(x) n'est pas défini pour les x négatifs. Il faut aussi prendre garde à la notation de la racine carrée, car racine(x^2) est égale à la valeur absolue de x pour tout x réel, positif ou négatif. En résumé, le logarithme est une fonction mathématique définie sur l'ensemble des réels positifs, qui permet de résoudre des équations exponentielles et qui est réciproque de la fonction exponentielle.
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ECG
Simplifier des expressions
Résumé SEO friendly du cours :
Ce cours porte sur la résolution d'inéquations avec l'exponentiel et le logarithme. Les propriétés importantes à connaître sont présentées une par une. Il est essentiel de prendre en compte que le logarithme est défini uniquement sur l'ensemble des réels strictement positifs. En revanche, l'exponentiel ne pose jamais de problème de ce côté-là. Les exemples d'inéquations résolues montrent comment composer avec ces fonctions croissantes et garantir des solutions valides. Il est également souligné l'importance de bien vérifier l'ensemble de définition de l'équation ou de l'inéquation au préalable. Enfin, des conseils pratiques sont donnés pour simplifier les équations et les inéquations en rassemblant les termes en exponentiels ou en logarithmes avant de composer avec les fonctions réciproques. Il faut également prendre en compte les signes lorsqu'on divise ou multiplie dans une équation. En cas de doute, il est recommandé de consulter la FAQ pour éclaircir certaines notions.
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ECG
Équations Inéquations
Dans ce cours, nous abordons une nouvelle inéquation avec le logarithme. L'équation proposée est 3-ln(2x+1)/2 > 1. Nous souhaitons isoler le terme ln pour pouvoir le composer par l'exponentiel.
Avant de procéder, nous devons vérifier que l'ensemble de définition de l'inéquation est valide. Dans ce cas, nous devons avoir 2x+1 > 0, ce qui correspond à l'intervalle (-1/2, +∞).
Pour isoler le ln, nous déplaçons le -3 de l'autre côté, ce qui donne -2 ln(2x+1)/2 > -3. En multipliant par -1, nous devons inverser le sens de l'inégalité.
Maintenant que le ln est isolé, nous composons par l'exponentiel, ce qui donne 2x+1 < e^4. Nous isolons alors x, en obtenant x = (e^4 - 1)/2.
Il est important de se rappeler de notre intervalle initial de résolution (-1/2, +∞). Nous vérifions donc si la valeur obtenue (e^4 - 1)/2 est supérieure à -1/2. Étant donné que c'est le cas, notre intervalle solution final est (-1/2, (e^4 - 1)/2).
Il est essentiel de prendre en compte l'ensemble de définition lors de la résolution des équations, car les implications peuvent varier en fonction de l'intervalle. En respectant ces étapes, nous pouvons isoler le terme en logarithme, composer par l'exponentiel, et prendre l'intersection de la solution finale avec l'intervalle initial de résolution.
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ECG
Exposant=Inconnue ?
En utilisant les notions d'exponentiel et de logarithme, ce cours explique comment résoudre des inéquations où l'inconnu est un exposant. Il donne l'exemple des calculs utilisés en physique, notamment dans le domaine de la radioactivité, pour trouver la durée à laquelle un pourcentage donné d'atomes radioactifs a disparu. Pour résoudre ces inéquations, il est nécessaire de passer par la définition de l'exponentiel pour les puissances. La définition d'une puissance A puissance B lorsque B est un entier est claire, mais quand B a une valeur décimale, la seule définition qui convient est celle avec l'exponentiel logarithme. A puissance B équivaut à E de B ln de A. Lorsque l'inconnu est à l'exposant d'une puissance, il est nécessaire de revenir à la définition exponentielle. En utilisant cette méthode, il est possible de résoudre des inéquations contenant des exposants. Il est conseillé de vérifier la cohérence des résultats en analysant les signes dans les inéquations et en s'assurant que les résultats correspondent bien à l'intuition. Le cours donne deux exemples pour illustrer cette méthode. En résumé, la clé pour résoudre ces types d'inequations est de revenir à la définition de la puissance avec l'exponentiel et le logarithme, puis d'appliquer les méthodes appropriées.
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Analyse Terminale
ECG
Courbe et Tangentes
Nous allons étudier la fonction logarithme et trouver l'équation de sa tangente au point d'abscisse 1. La fonction ln est dérivable sur R+, avec une dérivée égale à 1/x. En évaluant en x=1, la dérivée est égale à 1. L'équation de la tangente est donc y = x - 1. La courbe de la fonction est concave, ce qui signifie qu'elle est en dessous de toutes ses tangentes. Graphiquement, on peut observer que la courbe est en dessous de la tangente. Une autre méthode consiste à étudier la fonction auxiliaire g(x) = ln(x) - x + 1. En étudiant ses variations, on trouve que g(x) est inférieur à 0 pour tout x. Cette méthode est un peu plus longue mais permet également de montrer que la courbe est en dessous de la tangente. En résumé, la fonction logarithme a pour tangente au point d'abscisse 1 l'équation y = x - 1. Il est important de reconnaître cette tangente connue dans les exercices.
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ECG
On redécouvre le log ?!
Le cours traite de l'approche de la fonction LN. La première partie consiste à déterminer les fonctions qui vérifient l'équation f(ab) = f(a) + f(b) et f'(1) = 1. On démontre que si une fonction est non nulle et définie en 0, alors elle est égale à la fonction nulle. On considère donc des fonctions définies uniquement sur les réels positifs non nuls. Ensuite, on démontre que f(1) = 0 et que f(x/y) = f(x) - f(y). On utilise des astuces algébriques et la dérivabilité en 1 pour démontrer cela. Enfin, on détermine le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle (0, +∞) en délivrant le signe de f. On conclut en disant que ces propriétés permettent de retrouver les fondements du logarithme.
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ECG
Une nouvelle définition de l'exp
Ce cours aborde des concepts plus techniques et avancés, proches de l'enseignement en classes préparatoires ou en terminale. Il traite de la propriété principale du logarithme, où log(A^N) = N * log(A). Cette propriété permet d'écraser les grandes valeurs de puissance en un simple logarithme, ce qui facilite les calculs. La première étape consiste à vérifier que l'expression du logarithme est bien définie en s'assurant que le nombre à l'intérieur du logarithme est strictement positif. Ensuite, on calcule la limite de log(Un), en utilisant une autre propriété du logarithme. Il faut bien maîtriser ces propriétés pour résoudre l'exercice. En appliquant ces propriétés, on parvient à démontrer que la limite de log(Un) tend vers A, et donc que l'exponentielle de log(Un) est égale à Un. Ce résultat s'applique à n'importe quel nombre réel A.
