Online Calcul algébrique et trigonométrie course by Top Instructors - Calcul algébrique et trigonométrie

Somme et produits

En calcul algébrique, on doit évaluer des expressions sous forme de somme et de produit. Pour une somme, on utilise le symbole SOM (sigma majuscule) qui peut être lu comme la somme pour k allant de 0 à n de x. Il faut ensuite remplacer k par une valeur de 0 à n à chaque terme et les ajouter. On peut également utiliser des propriétés comme la somme des 1 qui vaut (n+1) et sortir un facteur prénuméraire. Pour un produit, on utilise le symbole PI (pi majuscule) qui fonctionne de la même manière que la somme. Il est donc possible de sortir un facteur prénuméraire. En résumé, il ne faut pas se formaliser avec les symboles, mais plutôt se concentrer sur ce qu'ils représentent. Les réponses pour les QCM de l'exercice sont : B pour la somme, 1 pour la somme de moins 1 puissance p et B pour le produit.

Sommes télescopiques

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Sommes des puissances

Dans cette vidéo, Matisse de Studio démontre comment sommer les premières puissances des entiers en utilisant la méthodologie de la récurrence. En notant a_n, b_n et c_n comme les sommes partielles pour k égal à 1 à n, k au carré et k au cube respectivement, il démontre que a_n est égal à n(n+1) sur 2, b_n est égal à n(n+1)(2n+1) sur 6 et c_n est égal à a_n au carré. Il utilise la méthodologie de la récurrence pour démontrer ces relations, en posant une propriété pour chaque cas (Pn pour a_n, Bn pour b_n et Cn pour c_n), en montrant l'initialisation pour n=1, l'hérédité en supposant que la propriété est vraie pour un rang quelconque, puis en synthétisant tout pour obtenir l'expression au rang suivant. En fin de compte, la somme pour k égal à 1 à n des k, k au carré et k au cube correspond respectivement à n(n+1) sur 2, n(n+1)(2n+1) sur 6 et n^2(n+1)^2 sur 4.

Binôme de Newton

Ce cours porte sur le sujet des sommes avec le binôme de Newton, en utilisant la formule pour développer f(x)=1+xⁿ. La somme pour k=0 à n de k parmi n est équivalente à f(1)=2ⁿ. La somme pour k=0 à n de (-1)ᵏ⁺¹ fois k fois k parmi n équivaut à n fois 2ⁿ⁻¹. Enfin, la somme pour k=0 à n de (-1)ᵏ⁺¹ fois k parmi n est équivalente à zéro. Ces sommes peuvent être déterminées en utilisant des techniques telles que la manipulation des expressions en combinatoire et le changement d'indice.

Combinatoire

En résumé, le cours traite des exercices de calcul sur les combinatoires, notamment la démonstration de l'égalité de k parmi n fois p parmi k et p parmi n fois n moins k parmi n moins p. En utilisant des manipulations sur les coefficients binomiaux et le binôme de Newton, on parvient à évaluer des sommes complexes pour aboutir à une réponse de k parmi n fois 2 à la puissance n et 0 si p est différent de n. Le cours souligne l'importance de la manipulation des factoriels pour résoudre de tels problèmes.

Somme de coefficients binomiaux

Dans cette vidéo, Mathis de Studio explique comment calculer des sommes de coefficients binomiaux. La première question consiste à calculer la somme de 0 parmi n, 1 parmi n, ... jusqu'à n parmi n. Pour formaliser cela, on calcule la somme de k parmi n, où k varie de 0 à n. En utilisant le binôme de Newton, on trouve que la somme des coefficients binomiaux est égale à 2 puissance n. On demande ensuite de montrer que la somme des termes pairs pour les coefficients binomiaux est égale à la somme des coefficients impairs. En transformant l'équation et en développant les termes, on obtient la somme de (-1) puissance k fois le coefficient binomial k parmi n est égale à 0. On peut alors appliquer le binôme de Newton pour prouver que la somme des termes pairs est égale à la somme des termes impairs. Enfin, on demande de calculer la somme de 0 fois 0 parmi n plus 1 fois 1 parmi n et la somme de 1 sur k plus 1 fois k parmi n. En utilisant le binôme de Newton et des astuces pour manipuler les termes, on trouve que la première somme est égale à 2 puissance n moins 1, et la deuxième est égale à 1 sur n plus 1 fois (2 puissance n plus 1 moins 1). Il est important de formaliser les expressions mathématiques pour résoudre ces problèmes et de ne pas avoir peur de travailler sur l'expression du binôme de Newton.

Systèmes linéaires

Dans cette vidéo, Mathis de Cydéo résout trois systèmes linéaires avec trois inconnues en utilisant la méthode du pivot de Gauss. Cette méthode permet de triangulariser le système afin d'obtenir une équation pour x, une pour y et une pour z et ainsi simplifier les calculs. Pour résoudre le premier système, il utilise le pivot de Gauss en soustrayant des combinaisons linéaires des lignes du système. Il obtient alors la solution unique (1, 0, 1). Pour le deuxième système, il applique la même méthode et obtient la solution unique (1, 2, 3). Enfin, pour le troisième système, qui a quatre inconnues, il obtient une solution paramétrée par une variable, et donc une infinité de solutions. La méthode du pivot de Gauss est une première approche pour résoudre des systèmes linéaires, d'autres méthodes existent notamment la résolution matricielle.

Encadrements

Dans cette vidéo, Mathis de Studio nous explique comment encadrer des expressions mathématiques. Il commence par nous demander d'encadrer à la main x² + x + 1 pour x appartenant à (-1,0). Il évalue chaque terme de cette expression pour x compris entre -1 et 0, ce qui lui permet de déterminer un encadrement grossier, qui est amélioré en effectuant une transformation canonique du trinôme. Il en déduit le minimum et le maximum de cette expression pour x compris entre -1 et 0. Il applique ensuite la même méthode pour l'expression x+1/(x²+x+1), avec un encadrement grossier et un encadrement plus précis obtenu à partir du tableau de variation de la dérivée de cette expression. En conclusion, il souligne l'importance de l'étude précise de l'expression pour déterminer l'encadrement le plus adéquat.

Moyennes

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique différentes manières de calculer une moyenne, à savoir la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique et la moyenne harmonique. Il montre ensuite différentes inégalités entre ces moyennes, en utilisant des manipulations simples, telles que l'inversion ou la sommation. Il recommande également d'utiliser des équivalences au brouillon pour vérifier la validité des propositions. Enfin, il conclut en soulignant l'importance de se servir de ce qui a été fait avant pour démontrer des inégalités ou des relations entre les différentes moyennes.

Partie entière

Bonjour à tous, dans cette vidéo, nous allons aborder les parties entières et démontrer différentes propriétés les concernant. Tout d'abord, pour représenter la partie entière d'un nombre réel X, nous utilisons la notation [X]. Notre objectif est de montrer que pour tout réel X, [X+1] = [X]+1. Pour cela, nous utilisons la définition de la partie entière, qui dit que pour un entier relatif K, [K] est inférieur strictement à X et inférieur ou égal à X+1. En utilisant cette définition et la propriété selon laquelle il n'y a qu'un seul entier relatif strictement compris entre X et X+1, nous montrons que [X+1] = [X]+1. Cette propriété est valable pour l'addition de tous les entiers. Ensuite, nous abordons la démonstration de la propriété selon laquelle la partie entière de la somme de deux nombres réels est inférieure ou égale à la somme des parties entières de ces deux nombres. En utilisant les mêmes relations que précédemment, nous montrons que [X+Y] ≤ [X]+[Y]. Pour cela, nous utilisons la croissance de la partie entière, qui nous permet d'utiliser la relation [X+Y] ≤ [X]+Y. Ensuite, en observant que [Y] est un entier relatif, nous pouvons le sortir de la partie entière pour obtenir [X]+[Y] ≤ [X+Y], ce qui prouve la propriété souhaitée. Enfin, nous examinons une troisième propriété plus technique selon laquelle la partie entière de la somme de trois nombres entiers est inférieure ou égale à la somme des parties entières de ces trois nombres. Nous utilisons une approche par cas en fonction de la position de X et de Y par rapport à leurs parties entières respectives. En évaluant les différentes parties entières, nous montrons que la propriété est vérifiée dans tous les cas. En conclusion, nous pouvons dire que pour tout couple de réels X et Y, la partie entière de X plus la partie entière de Y plus la partie entière de X+Y est inférieure ou égale à 2[X]+2[Y]. Il est important de retenir les différentes relations des parties entières, notamment la définition classique et la méthode de disjonction de cas basée sur la position des nombres par rapport à leur partie entière. Merci d'avoir suivi cette vidéo et à bientôt !

Somme de parties entières

Dans cette vidéo, Baptiste de Studio montre comment démontrer que la somme pour k allant de 0 à n-1 de la partie entière de x plus kn, est égale à la partie entière de nx. Il s'agit d'un exercice compliqué qui nécessite de travailler avec des sommations de parties entières. Baptiste commence par noter que la somme va ajouter des petits décalages à x, ce qui permettra de retrouver la partie entière de nx à la fin. Il pose ensuite une inégalité pour situer x par rapport à sa partie entière et utilise cette inégalité pour évaluer les deux grandeurs recherchées. Enfin, il montre comment identifier la partie entière de x plus k/n et utiliser cette information pour évaluer la somme. Au final, Baptiste démontre que la partie entière de nx est bien égale à la somme des parties entières de x plus k/n.