Cours de Variables aléatoires en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Variables aléatoires

Schéma de Bernoulli

La vidéo traite de la reconnaissance et de l'utilisation de la loi binomiale en statistiques. Pour cela, il faut identifier un chemin de Bernoulli, qui consiste en la répétition indépendante d'une même expérience avec deux issues possibles : échec ou réussite. Ensuite, on attribue une variable aléatoire x qui compte le nombre de succès, et cette variable suit une loi binomiale de paramètres n (nombre de répétitions) et p (probabilité de succès). La formule utilisée pour calculer la probabilité que x soit égal à k est k parmi n multiplié par p élevé à la puissance k, multiplié par 1 moins p élevé à la puissance n moins k. Dans l'exemple donné, il s'agit de tirages successifs et indépendants pour lesquels le succès est de tirer une boule noire parmi 3 boules noires sur un total de 8 boules (soit une probabilité de 3/8). Ainsi, la variable x qui compte le nombre de boules noires obtenues suit une loi binomiale de paramètres n égal à 5 et p égal à 3/8. En effectuant les calculs, on obtient une probabilité de 20% que x soit égal à 3. Pour plus d'informations, consultez la FAQ.

Calcul brut de probabilités

Dans ce cours, nous abordons les premiers calculs avec la loi binomiale. La loi binomiale est caractérisée par les paramètres n=50 et p=0.23. Nous devons calculer trois probabilités. La première consiste à trouver la probabilité que p soit strictement inférieur à 12, ce qui est équivalent à la probabilité que x soit inférieur ou égal à 11. Cette donnée peut être obtenue sur toutes les calculatrices graphiques du lycée et nous trouvons une probabilité de 0.512. Ensuite, pour la probabilité que x soit supérieur ou égal à 4, nous pouvons considérer l'événement contraire, c'est-à-dire l'événement où x est inférieur ou égal à 3. En utilisant la fonction de calculatrice, nous trouvons une probabilité de 0.999. Enfin, la probabilité que x soit compris entre 5 et 8 peut être trouvée en faisant la différence entre la probabilité que x soit inférieur ou égal à 8 et la probabilité que x soit inférieur ou égal à 5. En utilisant la calculatrice, nous trouvons une probabilité de 0.14. Il est important de savoir utiliser la bonne fonction sur la calculatrice, ce qui peut être facilement trouvé en demandant à des camarades, en consultant la FAQ correspondant à votre modèle de calculatrice ou en recherchant sur Google.

Espérance et écart-type : graphique

Dans ce cours, nous apprenons comment utiliser les diagrammes en barre pour représenter les lois binomiales. Dans le premier exemple, nous avons une loi binomiale avec une probabilité de succès de 0,4, mais nous ne connaissons pas la valeur de N. Nous devons estimer la valeur de l'espérance, qui est généralement centrée autour de la moyenne de 10. En utilisant cette estimation, nous pouvons déduire que N est égal à 25. Ensuite, nous comparons cette première loi binomiale à une deuxième. Nous remarquons que la deuxième est plus centrée et a une plus petite étendue. L'écart-type est une mesure de dispersion et est plus faible lorsque la courbe est plus resserrée. Les valeurs importantes à retenir sont l'espérance (NxP), la variance (NPx-P) et l'écart-type (racine carrée de la variance). Enfin, dans un exercice supplémentaire, nous cherchons à trouver la valeur de P qui donne le plus grand écart-type. En utilisant une fonction de degré 2, nous trouvons que l'écart-type est maximum lorsque la probabilité vaut 1,5. Cela s'explique par le fait qu'une probabilité de 1,5 indique une incertitude égale entre les réussites et les échecs, ce qui peut entraîner des résultats très différents. En résumé, les diagrammes en barre nous permettent d'analyser et de comprendre les lois binomiales en termes d'espérance, de variance et d'écart-type.

Binomiale et tirage avec remise

Dans ce cours, on apprend à reconnaître et utiliser la loi binomiale. La première étape consiste à repérer un schéma de Bernoulli, qui est une expérience répétée plusieurs fois de manière indépendante avec deux résultats possibles, succès ou échec. Ensuite, on attribue une variable aléatoire x qui représente le nombre de succès. Cette variable suit une loi binomiale avec les paramètres n (nombre de répétitions) et p (probabilité de succès). On utilise la formule qui permet de calculer la probabilité que x soit égal à k. Dans l'exemple donné, on tire successivement et indépendamment des boules d'un ensemble de 8 boules, dont 3 sont noires. On peut donc dire que c'est un schéma de Bernoulli, avec p égal à 3/8. En attribuant à x le nombre de boules noires obtenues, on peut dire que x suit une loi binomiale avec n égal à 5 et p égal à 3/8. En utilisant la formule, on calcule que la probabilité que x soit égal à 3 est de 20%. Si vous avez d'autres questions, consultez la FAQ.

Classique : produit défectueux en usine

Ce cours porte sur les produits défectueux en usine et les tests effectués sur ces produits. L'usine effectue deux tests indépendants pour déterminer si un produit est défectueux. La probabilité qu'un produit défectueux passe le premier test est de 0.12 et de 0.08 pour le deuxième test. Si le produit passe les deux tests, il est vendu, sinon il est détruit. La première question est de savoir quelle est la probabilité qu'un produit défectueux soit mis en vente. Pour répondre à cette question, on utilise les notations suivantes : V pour la vente, T1 pour le premier test et T2 pour le deuxième test. Pour qu'un produit soit mis en vente, il doit passer les deux tests. Donc la probabilité de vente est égale à la probabilité que le produit passe T1 inter T2. Comme les tests sont indépendants, la probabilité est alors égale au produit de P(T1) et P(T2), soit 0.12 * 0.08. Le calcul donne une probabilité de mise en vente de moins de 1%, soit 0.96%. Ensuite, on nous demande quelle est la probabilité qu'au moins 3 produits défectueux soient mis en vente parmi 100 produits indépendants. On remarque que cela correspond à une situation de répétition d'expériences identiques et indépendantes avec deux résultats possibles : vente (réussite) et destruction (échec). On compte le nombre de ventes avec la variable aléatoire X. Pour répondre à cette question, on utilise une loi binomiale de paramètres 100 (nombre de produits indépendants) et 0.0096 (probabilité de vente). On cherche P(X ≥ 3), qui est équivalent à 1 - P(X < 3). On calcule donc P(X = 0), P(X = 1) et P(X = 2), et on les soustrait de 1. Les calculs donnent une probabilité de 38% d'avoir aucun produit défectueux en vente, 36% d'avoir un produit en vente défectueux et 18% d'avoir deux produits en vente défectueux. Finalement, la probabilité d'avoir trois ou plus produits défectueux en vente est de 7%. Les formules utilisées sont celles de la loi binomiale : P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k). La formule générale est appliquée pour chacun des cas calculés.

Déterminer le + grand entier

Dans cette vidéo, Corentin aborde un exercice sur les variables aléatoires suivant des lois binomiales. Plus précisément, il cherche à déterminer le plus grand entier cas (k) tel que la probabilité que X soit supérieur ou égal à k est supérieur ou égal à 0,9. Pour résoudre cet exercice, il commence par analyser les phénomènes en jeu. Il remarque que lorsque k augmente, la probabilité que X soit supérieur ou égal à k diminue, car l'ensemble X supérieur ou égal à k devient de plus en plus petit. Ainsi, son objectif est de trouver le cas où la probabilité que X soit supérieur ou égal à k+1 est strictement inférieure à 0,9, tandis que la probabilité que X soit supérieur ou égal à k est supérieur ou égal à 0,9. En utilisant sa calculatrice, il calcule la probabilité que X soit supérieur ou égal à 22, 21 et 20. Il remarque que la probabilité est égale à 0,80 pour k=22, 0,89 pour k=21 et 0,95 pour k=20. Il constate que pour k=21, la probabilité est strictement inférieure à 0,9, alors que pour k=20, elle est strictement supérieure à 0,9. Il en conclut donc que le plus grand entier k tel que la probabilité que X soit supérieur ou égal à k est supérieur ou égal à 0,9 est 20.

Déterminer le + petit entier

Dans cette vidéo, Corentin explique la troisième méthode pour déterminer le plus petit entier k tel que la probabilité que X soit inférieur ou égal à k soit supérieure ou égale à 0,5 pour une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale. La méthodologie utilisée est similaire à la méthode 2, mais cette fois-ci on raisonne à l'inverse. En augmentant k, la probabilité que X soit inférieur ou égal à k augmente également. Corentin utilise une calculatrice pour calculer les probabilités progressivement décroissantes jusqu'à atteindre la probabilité souhaitée. Dans cet exemple, il commence à 40 et diminue jusqu'à atteindre une probabilité de 0,93 pour X inférieur ou égal à 36. Il en conclut donc que k est égal à 37, car à ce stade, la probabilité est strictement supérieure à 0,95.