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Somme et produits
En calcul algébrique, on doit évaluer des expressions sous forme de somme et de produit. Pour une somme, on utilise le symbole SOM (sigma majuscule) qui peut être lu comme la somme pour k allant de 0 à n de x. Il faut ensuite remplacer k par une valeur de 0 à n à chaque terme et les ajouter. On peut également utiliser des propriétés comme la somme des 1 qui vaut (n+1) et sortir un facteur prénuméraire. Pour un produit, on utilise le symbole PI (pi majuscule) qui fonctionne de la même manière que la somme. Il est donc possible de sortir un facteur prénuméraire. En résumé, il ne faut pas se formaliser avec les symboles, mais plutôt se concentrer sur ce qu'ils représentent. Les réponses pour les QCM de l'exercice sont : B pour la somme, 1 pour la somme de moins 1 puissance p et B pour le produit.
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Sommes télescopiques
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Sommes des puissances
Dans cette vidéo, Matisse de Studio démontre comment sommer les premières puissances des entiers en utilisant la méthodologie de la récurrence. En notant a_n, b_n et c_n comme les sommes partielles pour k égal à 1 à n, k au carré et k au cube respectivement, il démontre que a_n est égal à n(n+1) sur 2, b_n est égal à n(n+1)(2n+1) sur 6 et c_n est égal à a_n au carré. Il utilise la méthodologie de la récurrence pour démontrer ces relations, en posant une propriété pour chaque cas (Pn pour a_n, Bn pour b_n et Cn pour c_n), en montrant l'initialisation pour n=1, l'hérédité en supposant que la propriété est vraie pour un rang quelconque, puis en synthétisant tout pour obtenir l'expression au rang suivant. En fin de compte, la somme pour k égal à 1 à n des k, k au carré et k au cube correspond respectivement à n(n+1) sur 2, n(n+1)(2n+1) sur 6 et n^2(n+1)^2 sur 4.
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Binôme de Newton
Ce cours porte sur le sujet des sommes avec le binôme de Newton, en utilisant la formule pour développer f(x)=1+xⁿ. La somme pour k=0 à n de k parmi n est équivalente à f(1)=2ⁿ. La somme pour k=0 à n de (-1)ᵏ⁺¹ fois k fois k parmi n équivaut à n fois 2ⁿ⁻¹. Enfin, la somme pour k=0 à n de (-1)ᵏ⁺¹ fois k parmi n est équivalente à zéro. Ces sommes peuvent être déterminées en utilisant des techniques telles que la manipulation des expressions en combinatoire et le changement d'indice.
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Combinatoire
En résumé, le cours traite des exercices de calcul sur les combinatoires, notamment la démonstration de l'égalité de k parmi n fois p parmi k et p parmi n fois n moins k parmi n moins p. En utilisant des manipulations sur les coefficients binomiaux et le binôme de Newton, on parvient à évaluer des sommes complexes pour aboutir à une réponse de k parmi n fois 2 à la puissance n et 0 si p est différent de n. Le cours souligne l'importance de la manipulation des factoriels pour résoudre de tels problèmes.
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Somme de coefficients binomiaux
Dans cette vidéo, Mathis de Studio explique comment calculer des sommes de coefficients binomiaux. La première question consiste à calculer la somme de 0 parmi n, 1 parmi n, ... jusqu'à n parmi n. Pour formaliser cela, on calcule la somme de k parmi n, où k varie de 0 à n. En utilisant le binôme de Newton, on trouve que la somme des coefficients binomiaux est égale à 2 puissance n. On demande ensuite de montrer que la somme des termes pairs pour les coefficients binomiaux est égale à la somme des coefficients impairs. En transformant l'équation et en développant les termes, on obtient la somme de (-1) puissance k fois le coefficient binomial k parmi n est égale à 0. On peut alors appliquer le binôme de Newton pour prouver que la somme des termes pairs est égale à la somme des termes impairs. Enfin, on demande de calculer la somme de 0 fois 0 parmi n plus 1 fois 1 parmi n et la somme de 1 sur k plus 1 fois k parmi n. En utilisant le binôme de Newton et des astuces pour manipuler les termes, on trouve que la première somme est égale à 2 puissance n moins 1, et la deuxième est égale à 1 sur n plus 1 fois (2 puissance n plus 1 moins 1). Il est important de formaliser les expressions mathématiques pour résoudre ces problèmes et de ne pas avoir peur de travailler sur l'expression du binôme de Newton.
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Systèmes linéaires
Dans cette vidéo, Mathis de Cydéo résout trois systèmes linéaires avec trois inconnues en utilisant la méthode du pivot de Gauss. Cette méthode permet de triangulariser le système afin d'obtenir une équation pour x, une pour y et une pour z et ainsi simplifier les calculs. Pour résoudre le premier système, il utilise le pivot de Gauss en soustrayant des combinaisons linéaires des lignes du système. Il obtient alors la solution unique (1, 0, 1). Pour le deuxième système, il applique la même méthode et obtient la solution unique (1, 2, 3). Enfin, pour le troisième système, qui a quatre inconnues, il obtient une solution paramétrée par une variable, et donc une infinité de solutions. La méthode du pivot de Gauss est une première approche pour résoudre des systèmes linéaires, d'autres méthodes existent notamment la résolution matricielle.
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Encadrements
Dans cette vidéo, Mathis de Studio nous explique comment encadrer des expressions mathématiques. Il commence par nous demander d'encadrer à la main x² + x + 1 pour x appartenant à (-1,0). Il évalue chaque terme de cette expression pour x compris entre -1 et 0, ce qui lui permet de déterminer un encadrement grossier, qui est amélioré en effectuant une transformation canonique du trinôme. Il en déduit le minimum et le maximum de cette expression pour x compris entre -1 et 0. Il applique ensuite la même méthode pour l'expression x+1/(x²+x+1), avec un encadrement grossier et un encadrement plus précis obtenu à partir du tableau de variation de la dérivée de cette expression. En conclusion, il souligne l'importance de l'étude précise de l'expression pour déterminer l'encadrement le plus adéquat.
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Moyennes
Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique différentes manières de calculer une moyenne, à savoir la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique et la moyenne harmonique. Il montre ensuite différentes inégalités entre ces moyennes, en utilisant des manipulations simples, telles que l'inversion ou la sommation. Il recommande également d'utiliser des équivalences au brouillon pour vérifier la validité des propositions. Enfin, il conclut en soulignant l'importance de se servir de ce qui a été fait avant pour démontrer des inégalités ou des relations entre les différentes moyennes.
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Partie entière
Bonjour à tous, dans cette vidéo, nous allons aborder les parties entières et démontrer différentes propriétés les concernant.
Tout d'abord, pour représenter la partie entière d'un nombre réel X, nous utilisons la notation [X]. Notre objectif est de montrer que pour tout réel X, [X+1] = [X]+1. Pour cela, nous utilisons la définition de la partie entière, qui dit que pour un entier relatif K, [K] est inférieur strictement à X et inférieur ou égal à X+1. En utilisant cette définition et la propriété selon laquelle il n'y a qu'un seul entier relatif strictement compris entre X et X+1, nous montrons que [X+1] = [X]+1. Cette propriété est valable pour l'addition de tous les entiers.
Ensuite, nous abordons la démonstration de la propriété selon laquelle la partie entière de la somme de deux nombres réels est inférieure ou égale à la somme des parties entières de ces deux nombres. En utilisant les mêmes relations que précédemment, nous montrons que [X+Y] ≤ [X]+[Y]. Pour cela, nous utilisons la croissance de la partie entière, qui nous permet d'utiliser la relation [X+Y] ≤ [X]+Y. Ensuite, en observant que [Y] est un entier relatif, nous pouvons le sortir de la partie entière pour obtenir [X]+[Y] ≤ [X+Y], ce qui prouve la propriété souhaitée.
Enfin, nous examinons une troisième propriété plus technique selon laquelle la partie entière de la somme de trois nombres entiers est inférieure ou égale à la somme des parties entières de ces trois nombres. Nous utilisons une approche par cas en fonction de la position de X et de Y par rapport à leurs parties entières respectives. En évaluant les différentes parties entières, nous montrons que la propriété est vérifiée dans tous les cas.
En conclusion, nous pouvons dire que pour tout couple de réels X et Y, la partie entière de X plus la partie entière de Y plus la partie entière de X+Y est inférieure ou égale à 2[X]+2[Y]. Il est important de retenir les différentes relations des parties entières, notamment la définition classique et la méthode de disjonction de cas basée sur la position des nombres par rapport à leur partie entière. Merci d'avoir suivi cette vidéo et à bientôt !
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Somme de parties entières
Dans cette vidéo, Baptiste de Studio montre comment démontrer que la somme pour k allant de 0 à n-1 de la partie entière de x plus kn, est égale à la partie entière de nx. Il s'agit d'un exercice compliqué qui nécessite de travailler avec des sommations de parties entières. Baptiste commence par noter que la somme va ajouter des petits décalages à x, ce qui permettra de retrouver la partie entière de nx à la fin. Il pose ensuite une inégalité pour situer x par rapport à sa partie entière et utilise cette inégalité pour évaluer les deux grandeurs recherchées. Enfin, il montre comment identifier la partie entière de x plus k/n et utiliser cette information pour évaluer la somme. Au final, Baptiste démontre que la partie entière de nx est bien égale à la somme des parties entières de x plus k/n.
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Partie entière
Dans cette vidéo, Mathis de Studio démontre que pour toute valeur de n, un entier naturel différent de zéro, pour tout réel x, la partie entière de la partie entière de nx divisé par n est égale à la partie entière de x. Pour aborder cet exercice, il conseille de poser des valeurs de n et x quelconques, puis on utilise la relation d'inégalité entre les deux parties entières pour construire la grandeur recherchée. En passant à la partie entière, on démontre la propriété voulue en peu de temps. Mathis conseille de ne pas se formaliser, mais plutôt de montrer qu'on a compris le cours et de manipuler les bonnes relations.
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Récurrence et coeff binomiaux
Dans cette vidéo, Mathis de Studio explique comment démontrer que la somme pour k allant de p à n, de p parmi k, est égale au binôme de Newton, p plus 1 parmi n plus 1. Il utilise la méthode de la récurrence pour montrer que cette propriété est vraie pour tout n appartenant à n. Il utilise également le triangle de Pascal pour trouver des relations entre les différents binômes successifs. La clé de l'exercice est l'analyse avant, ce qui permet de déterminer une méthode claire pour résoudre l'exercice.
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Inégalité de Cauchy Schwarz
Dans cette vidéo, Mathis de Studio démontre deux inégalités classiques pour n antinaturel non nul et deux suites de réels, a_i et b_i. Il montre que, pour la somme pour k allant de 1 à n des a_k b_k, la valeur absolue est inférieure ou égale à la somme pour k allant de 1 à n des valeurs absolues de a_k valeurs absolues b_k, ce qui est inférieur ou égal à la racine carrée de la somme pour k allant de 1 à n des a_k², multipliée par la racine carrée de la somme pour k allant de 1 à n des b_k². Il utilise un polynôme f(x) pour montrer que, dans les deux cas examinés, l'inégalité est vérifiée. En conclusion, la valeur absolue de la somme des a_k b_k est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de a_k valeurs absolues b_k, qui est inférieure ou égale à la racine carrée de la somme des a_k², multipliée par la racine carrée de la somme pour k allant de 1 à n des b_k².
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Sommes doubles
Dans cette vidéo, Mathis de Studio enseigne comment calculer des sommes doubles. Pour toute somme double, la méthode consiste à la dédoubler en deux sommes simples, c’est-à-dire à fixer un des deux indices pour permettre de calculer la somme sur un seul indice au lieu de deux. Pour la première somme donnée, il s’agit de la somme pour i et j de 1 à n de i + j au carré. En dédoublant cette somme, on obtient deux sommes simples, la première pour i allant de 1 à n des sommes pour j allant de 1 à n de 1 + j au carré, et la deuxième pour j allant de 1 à n des sommes pour i allant de 1 à n de 1 + i au carré. En utilisant les formules classiques de somme des carrés et de somme des entiers, on obtient que la somme initiale est égale à n*(n+1)*(7n+5)/6. Pour la deuxième somme donnée, il s’agit de la somme pour i plus grand que i mais plus petit que j strictement, et j qui est plus petit que n, des i fois j. En fixant j et en utilisant une formule classique, on obtient que cette somme est égale à n*(n+1)*(3n²-n-2)/24.Pour la troisième somme donnée, il s’agit de la somme pour i et j de 1 à n du minimum de i et j. En séparant cette somme en deux sommes, une pour laquelle j est plus grand que i et l’autre pour laquelle j est plus petit que i, on obtient que cette somme est égale à n*(n+1)*(2n+1)/6.Enfin, pour la quatrième somme donnée, il s’agit de la somme pour i plus grand que 1, plus petit que j, plus petit que n, des i divises par j. En sortant j en premier, on peut obtenir que cette somme est égale à n*(n+3)/4.
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Systèmes linéaires
Dans cette vidéo, le sujet abordé est les droites paramétriques dans un repère orthonormé. L'équation d'une droite dm est donnée par 3m-1x +m+1y = m-5.
La première question consiste à montrer que toutes les droites dm ont en commun un point A et de trouver ses coordonnées. Pour cela, on isole le paramètre m dans l'équation et on obtient m = (3x+y-1)/m+x+y-5. En considérant que m peut prendre toutes les valeurs réelles, il faut que le facteur devant m soit nul, ce qui donne deux équations : 3x+y-1 = 0 et x+y-5 = 0. En résolvant ce système d'équations, on trouve les coordonnées du point A qui sont x=3.5 et y=-7.5.
Ensuite, on se demande si toute droite passant par A est une droite dm. Pour le démontrer, on peut soit en prendre une quelconque et montrer que c'est vrai, soit en trouver une seule qui ne vérifie pas l'équation. On écrit l'équation cartésienne d'une droite passant par A sous la forme AY - YA + BX - XA = 0, puis en remplaçant les valeurs de A, on obtient AY + 7.5 + BX - 3.5 = 0. On essaye alors de trouver une droite, d1, qui passe par A mais ne vérifie pas l'équation dm. On pose d1 = 1/2Y + 7/2 + 1/2X - 3/2 = 0. On vérifie ensuite si d1 vérifie les conditions de l'équation dm, c'est-à-dire si 3m-1 = 1/2 et m+1 = 1/2. On en déduit que m doit être égal à 1/2 et à -1/2, ce qui est contradictoire. Par conséquent, on a démontré qu'il n'existe pas de m tel que d1 appartienne à l'ensemble des dm. Ainsi, toute droite passant par A n'appartient pas forcément à l'ensemble des dm. Cet exercice est intéressant pour développer le raisonnement mathématique et la logique.
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