Cours de Calcul Intégral en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Calcul Intégral

Introduction

Ce cours est une introduction au nouveau sous-chapitre sur les intégrales, les applications et calculs. Le premier point abordé est l'utilisation des méthodes d'intégration pour calculer des primitives plus complexes, telles que l'intégration par parties. Ensuite, il est possible de calculer des aires entre des courbes en utilisant le lien établi entre les aires et les primitives dans le sous-chapitre précédent. De plus, la définition de la valeur moyenne d'une fonction est présentée, avec différentes méthodes associées. En résumé, ce cours aborde le calcul des aires sous une courbe, entre deux courbes, la valeur moyenne d'une fonction, ainsi que les méthodes d'intégration par parties. La partie la plus intéressante est l'accumulation d'exercices et de méthodes plus difficiles pour explorer les limites des calculs d'intégration par parties et d'aires. Bon courage pour cette partie et n'hésitez pas à consulter la FAQ en cas de questions ou de doutes. À bientôt pour la prochaine vidéo.

Intégration par Parties

Dans cette vidéo, nous abordons le thème de l'intégration par parties en mathématiques. L'intégration par parties est une formule qui permet de calculer des intégrales plus complexes. La formule de l'intégration par parties est la suivante : l'intégrale de uv' est égale à la primitive de uv moins l'intégrale de u'v. L'intégration par parties est ut

Aire entre 2 courbes

Dans cette vidéo, nous allons explorer comment calculer l'aire entre deux courbes. Le théorème affirme que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle i, et que f(x) est toujours plus petite que g(x), alors l'aire entre les courbes de f et g sur cet intervalle est donnée par l'intégrale de g(x) moins f(x) entre les bornes a et b. Pour illustrer cette propriété, on nous montre deux fonctions f et g. Lorsque f est au-dessus de g, l'aire entre les courbes est calculée sur l'intervalle [a,b], où a serait approximativement 0,2 et b serait environ 3,8, le point d'intersection des courbes. On peut appliquer le théorème précédent pour calculer cette aire, qui vaut l'intégrale de f(x) moins g(x) sur cet intervalle. Après le point d'intersection, il y a un changement de comportement et c'est g qui devient au-dessus. Donc, l'aire entre les courbes à ce stade est égale à l'intégrale de g(x) moins f(x) entre ce point et 5. Cette démonstration visuelle est ajoutée pour mieux comprendre la propriété. Si vous avez des questions, consultez la FAQ. À bientôt dans la prochaine vidéo.

Valeur Moyenne

La valeur moyenne d'une fonction f est définie comme étant le nombre µ égal à 1/(b-a) fois l'intégrale de f sur l'intervalle [a,b]. On peut la voir comme une moyenne arithmétique où la somme des valeurs de f est divisée par le nombre total de valeurs. Une autre façon de la visualiser est géométrique : µ est la valeur constante telle que l'aire sous la courbe de la fonction constante égale à µ est égale à l'aire sous la courbe de f. Pour trouver la valeur moyenne, il faut trouver le rectangle où les deux aires sont égales. C'est à ce moment-là que l'on obtient la valeur moyenne.

Intégration par Parties : Calcul

La méthode d'intégration par partie est une méthode utilisée en mathématiques pour calculer certaines intégrales. Elle repose sur une formule spécifique : l'intégrale de U'V est égale à UV moins l'intégrale de UV'. Cette formule découle de la dérivée du produit. Pour appliquer cette méthode, il faut choisir judicieusement les fonctions U et V'. Les critères sont les suivants : il doit y avoir un produit dans l'intégrale, au moins l'un des deux facteurs doit avoir une primitive facilement calculable et l'autre fonction doit faciliter la dérivation. Prenons l'exemple de l'intégrale de X ln de X entre 1 et E. On peut choisir U = X et V' = ln de X. La primitive de U est X²/2 et la dérivée de V est 1/X. En utilisant la formule d'intégration par partie, on simplifie l'intégrale initiale en une autre intégrale plus simple à calculer. Finalement, on évalue cette intégrale et obtient le résultat E² + 1/4. Il est important de noter que l'ordre des fonctions peut parfois être inversé, mais il est préférable de choisir la combinaison qui facilite le calcul. Il est également recommandé d'écrire clairement les fonctions U', U, V et V' pour éviter les erreurs. En résumé, la méthode d'intégration par partie permet de calculer des intégrales en échangeant une intégrale contre une autre. Le choix des fonctions U et V' est crucial pour simplifier le calcul.

Aire sous une Courbe : Calcul

Nous allons maintenant aborder le calcul des erreurs sous une courbe à l'aide des intégrales. Nous allons prendre deux exemples et calculer les erreurs sous les courbes, ce qui revient à calculer des intégrales. Le premier exemple concerne l'erreur entre la courbe CF, dont l'équation est f2x = x²-4, et l'axe d'étape 6 entre les droites d'équation x = -2 et x = 2. Mathématiquement, cela correspond à l'intégrale de x²-4dx entre -2 et 2. Nous cherchons alors la primitive de la fonction à l'intérieur de l'intégrale. La primitive de x²-4 est (1/3)x^3-4x. En utilisant le théorème fondamental, nous savons que l'erreur est égale à (1/3)x^3-4x évaluée entre -2 et 2. Après calculs, nous obtenons une erreur de -32/3. Pour le deuxième exemple, l'erreur b est calculée entre la courbe et l'axe des abscisses entre les droites d'équation x = -5 et x = 1. Nous effectuons l'intégrale de x²-4dx entre -5 et 1, ce qui donne la même primitive. Après simplification, nous trouvons une erreur de 18. Il est important de noter que la variable d'intégration est x, et que dans ces cas précis, elle ne peut pas être ailleurs. Il est crucial de faire attention à cela. En conclusion, nous avons calculé les erreurs grâce aux primitives et nous avons obtenu une erreur négative de -32/3 dans le premier exemple et une erreur de 18 dans le deuxième exemple. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à consulter notre FAQ.

Aire entre 2 Courbes

Dans ce cours, nous apprenons comment calculer l'R entre deux courbes, f(x) = x et g(x) = x², sur l'intervalle de x = 0 à x = 1. Pour calculer l'R, nous devons d'abord trouver les primitives des deux fonctions f et g. La primitive de f(x) = x est F(x) = x²/2, et la primitive de g(x) = x² est G(x) = x³/3. En utilisant le théorème fondamental du calcul, l'R se situe entre les courbes f et g, et peut être calculée en trouvant la différence entre les intégrales de f(x) et g(x) sur l'intervalle de x = 0 à x = 1. Dans ce cas, la fonction f(x) est toujours supérieure à la fonction g(x) sur l'intervalle de 0 à 1. Donc, nous calculons l'intégrale de f(x) - g(x), ce qui équivaut à l'intégrale de 0 à 1 de f(x) moins l'intégrale de 0 à 1 de g(x). En utilisant les primitives que nous avons trouvées, nous évaluons les intégrales et obtenons les valeurs I1 et I2. I1 est égal à 1/2 et I2 est égal à 1/3. Donc, la différence entre I1 et I2 est égale à 1/2 - 1/3, ce qui donne 1/6. Ainsi, l'R entre les courbes f(x) et g(x) sur l'intervalle de 0 à 1 est égale à 1/6. C'est ainsi que l'on calcule l'R entre deux courbes.

Calcul Valeur Moyenne

Le cours explique comment calculer la valeur moyenne d'une fonction à partir de deux exemples : la fonction f et la fonction g, avec des intervalles différents. La valeur moyenne est définie comme l'intégrale de la fonction sur l'intervalle divisée par la largeur de l'intervalle. Pour trouver cette valeur moyenne, on doit trouver une primitive de la fonction intégrale. Dans le premier exemple, on pose h égale à x² plus 3, et on utilise le théorème fondamental pour trouver que la valeur moyenne est de 13 tiers. Dans le deuxième exemple, on veut la valeur moyenne de g, qui est x sur x²-3. On remarque que c'est un quotient et on l'écrit comme u' sur u. On trouve que la primitive de g est un demi de ln de la valeur absolue de x²-3. On intègre cette fonction sur l'intervalle de e à 4 en se débarrassant de la valeur absolue. On obtient une expression avec des ln, et on simplifie si possible. Finalement, on conclut que le calcul de la valeur moyenne d'une fonction revient à faire un simple calcul d'intégrale.

Suite d'Intégrales

Une méthode pour étudier la convergence d'une suite d'intégrales est présentée dans cette transcription de vidéo. On nous donne une suite de fonctions qui vaut 1 plus t à la puissance n, et on cherche à trouver sa convergence. La première méthode consiste à encadrer cette fonction entre 1 et 1 moins t à la puissance n. On construit des inégalités en utilisant les propriétés des fonctions croissantes et décroissantes. Cependant, cette méthode ne fonctionne pas pour la deuxième inégalité. Donc, on utilise une deuxième méthode plus instinctive, qui consiste à faire la différence entre les deux termes de l'inégalité. On met tout au même dénominateur et on simplifie pour montrer que cette expression est positive. Ainsi, on conclut que 1 moins t à la puissance n est plus petit que 1 sur 1 plus t à la puissance n. Ensuite, on calcule l'intégrale de 1 moins t à la puissance n de 0 à 1 en utilisant la linéarité de l'intégrale. On trouve que cette intégrale est égale à n sur n plus 1. En utilisant l'encadrement précédemment obtenu, on déduit un encadrement pour l'intégrale im. On montre ensuite que la suite im converge vers 1 en utilisant le théorème d'encadrement.